분리 사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''분리 사상'''(分離寫像, {{llang|en|separated morphism}}, {{llang|fr|morphisme séparé}})은 [[스킴 (수학)|스킴]] 사이의 사상의 일종이다. [[정수환]]의 스펙트럼으로 가는 유일한 사상이 분리 사상인 스킴을 '''분리 스킴'''(分離scheme, {{llang|en|separated scheme}}, {{llang|fr|schéma séparé}})이라고 한다. 스킴이 분리 스킴인 것은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이 [[하우스도르프 공간]]인 것과 유사한 조건이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|95}}

== 정의 ==
[[스킴 (수학)|스킴]]의 범주는 모든 [[올곱]]을 갖는다. 임의의 [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여 [[올곱]] <math>X\times_YX</math>을 취할 수 있으며, [[대각 사상]] <math>\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX</math>이 항상 [[보편 성질]]에 의하여 존재한다.

[[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''준분리 사상'''(準分離寫像, {{llang|en|quasiseparated morphism}})이라고 한다.
* [[대각 사상]] <math>\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX</math>은 [[준콤팩트 함수]]이다.
'''준분리 스킴'''(準分離scheme, {{llang|en|quasiseparated scheme}})은 <math>X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>가 준분리 사상인 스킴 <math>X</math>이다.

[[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 사상을 '''분리 사상'''이라고 한다.
* [[대각 사상]] <math>\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX</math>의 [[상 (수학)|상]]이 [[닫힌집합]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|96, Corollary II.4.2}}
* [[대각 사상]] <math>\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX</math>이 [[닫힌 몰입]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|96}}
* (값매김 조건 {{llang|en|valuative criterion}})<ref name="EGA2">{{저널 인용
 |last         = Grothendieck
 |first        = Alexandre
 |last2        = Dieudonné
 |first2       = Jean
 |author2-link = 장 디외도네
 |year         = 1961
 |title        = Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes
 |journal      = Publications Mathématiques de l’IHÉS
 |issn         = 0073-8301
 |volume       = 8
 |mr           = 0217084
 |url          = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
 |doi          = 10.1007/bf02699291
 |언어       = fr
 |access-date  = 2016-02-26
 |archive-date = 2017-01-12
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20170112024503/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
 |url-status   = dead
}}</ref>{{rp|142, Proposition 7.2.3}} 준분리 사상이며, 임의의 [[값매김환]] <math>R</math> 및 표준적 포함 사상 <math>i\colon\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R\to\operatorname{Spec}R</math>에 대하여, 오른쪽 올림이 만약 존재한다면 유일하다. 즉, 임의의 [[값매김환]] <math>R</math> 및 임의의 사상 <math>x\colon\operatorname{Spec}R\to X</math> 및 임의의 사상 <math>\bar y\colon\operatorname{Spec}R\to X</math>에 대하여, 만약 <math>\bar y\circ i=f\circ x</math>라면, <math>x=\bar x\circ i</math>인 사상 <math>\bar x\colon\operatorname{Spec}R\to X</math>는 만약 존재한다면 유일하다.
*:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R&\xrightarrow x&X\\
{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow{\scriptstyle\bar x}&\downarrow\scriptstyle f\\
\operatorname{Spec}R&\xrightarrow[\bar y]{}&Y
\end{matrix}</math>

'''분리 스킴'''은 <math>X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>가 분리 사상인 스킴 <math>X</math>이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|96}}

=== 뇌터 스킴의 값매김 조건 ===
만약 <math>Y</math>가 [[국소 뇌터 스킴]]이며, <math>f</math>가 [[국소 유한형 사상]]이라면, 값매김 조건에서 "모든 [[값매김환]] <math>R</math> …"를 "모든 [[이산 값매김환]] <math>R</math> …"로 약화시킬 수 있다.<ref name="EGA2"/>{{rp|142, Proposition 7.2.3}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|97, Theorem II.4.3}} [[국소 뇌터 스킴]]을 정의역으로 하는 모든 [[스킴 사상]]은 준분리 사상이므로, 만약 <math>X</math> 또한 국소 뇌터 스킴이라고 가정한다면 "<math>f</math>는 준분리 사상이며, …" 역시 생략할 수 있다.

분리 사상의 값매김 조건에서 "존재한다면 유일하다"를 "유일하게 존재한다"로 바꾸면, [[고유 사상]]의 값매김 조건을 얻는다.

== 성질 ==
임의의 두 [[아핀 스킴]] 사이의 사상은 분리 사상이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|96, Proposition II.4.1}} 특히, 모든 [[아핀 스킴]]은 분리 스킴이다. 이 경우, 대각 사상
:<math>\operatorname{Spec}R\to\operatorname{Spec}R\times\operatorname{Spec}R</math>
은 자연스러운 [[환 준동형 사상]]
:<math>\phi\colon R\otimes R\to R</math>
:<math>\sum_ir_i\otimes s_i\mapsto\sum_ir_is_i</math>
이다. 이는 항상 전사 준동형임을 알 수 있다.

모든 분리 스킴은 준분리 스킴이다.

== 예 ==
모든 [[대수다양체]]는 분리 스킴이다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 두 개의 아핀 직선 <math>\mathbb A^1_K</math>을, 0을 제외한 열린 집합 <math>\mathbb A^1_K\setminus\{0\}</math>에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|75–76, Example II.2.3.6; 96, Example II.4.0.1}}

== 역사 ==
원래 그로텐디크는 《[[대수기하학 원론]]》 1권 초판<ref name="EGA1-1ed">{{저널 인용|제목=Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas|이름=Alexander|성=Grothendieck|저자링크=알렉산더 그로텐디크|이름2=Jean|성2=Dieudonné|저자링크2=장 디외도네|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=PMIHES_1960__4__5_0|저널=Publications Mathématiques de l’IHÉS|issn= 0073-8301|권=4|호=1|쪽=5–214|mr=0217083|zbl=0118.36206|doi=10.1007/BF02684778|날짜=1960|언어=fr}}</ref>에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"({{llang|en|prescheme}}, {{llang|fr|préschéma}})라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판<ref name="EGA1">{{서적 인용|제목=Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas|판=2|이름=Alexander|성=Grothendieck|저자링크=알렉산더 그로텐디크|이름2=Jean|성2=Dieudonné|저자링크2=장 디외도네|총서=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권=166|출판사=Springer|isbn=978-3-540-05113-8|zbl=0203.23301|날짜=1971|언어=fr}}</ref>에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|xv}}

== 같이 보기 ==
* [[고유 사상]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Scheme}}
* {{nlab|id=separated morphism of schemes|제목= Separated morphism of schemes}}
* {{nlab|id=valuative criterion of separatedness|제목=Valuative criterion of separatedness}}
* {{nlab|id=quasi-separated morphism|제목= Quasi-separated morphism}}
* {{nlab|id=semiseparated scheme|제목= Semiseparated scheme}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/30419/separated-schemes|제목=Separated schemes|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/37/non-quasi-separated-morphisms|제목=Non-quasi-separated morphisms|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:스킴 이론]]