분류 공간 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''분류 공간'''(分流空間, {{llang|en|classifying space}})는 어떤 [[위상군]]을 [[올다발|올]]로 하는 모든 [[주다발]]들을 [[호모토피류]]들로 나타낼 수 있는 [[올다발]]이다.

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[위상군]]이라고 하자. 어떤 <math>G</math>-[[주다발]] <math>\pi\colon\mathrm EG\to\mathrm BG</math>이 주어졌을 때, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[연속 함수]] <math>X\to \mathrm BG</math>에 대하여, <math>G</math>-[[주다발]] <math>\pi^*\mathrm EG \to X</math>를 [[당김 올다발|당겨서]] 정의할 수 있다.

만약 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, <math>X</math> 위에 존재하는 <math>G</math>-[[주다발]] <math>E\to X</math>는 [[연속 함수]] <math>\phi\colon X\to\mathrm BG</math>의 [[호모토피류]] <math>[\phi]</math>들과 위와 같은 사상을 통해 [[일대일 대응]]한다면, <math>\pi\colon \mathrm EG\to\mathrm BG</math>를 <math>G</math>의 '''분류 공간'''이라고 한다.

이 경우, <math>\mathrm BG</math>를 <math>G</math>의 '''분류 공간''', <math>\mathrm EG</math>를 <math>G</math>의 '''전체 분류 공간'''({{llang|en|total classifying space}})이라고 한다. 즉, <math>G</math>-주다발들은 <math>G</math>의 분류 공간을 [[공역]]으로 하는 [[호모토피류]]들과 일대일 대응한다.

== 성질 ==
주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 분류 공간은 [[호모토피 동치]] 아래 유일하다.

두 [[위상군]]의 [[직접곱]]의 분류 공간은 각 [[위상군]]의 분류 공간의 [[곱공간]](과 [[호모토피 동치]])이다.
:<math>B(G_1\times G_2)\simeq BG_1\times BG_2</math>

[[벡터 다발]]의 경우, 항상 [[리만 계량]] (또는 에르미트 계량)을 줘 그 구조군 O(''n'') (실수 벡터 다발의 경우) 또는 U(''n'') (복소수 벡터 다발의 경우)의 [[주다발]]로 나타낼 수 있다. 따라서 벡터 다발은 그 구조군의 분류 공간으로 분류된다.

==예 ==
{| class="wikitable"
! 군 <math>G</math> || 분류 공간 <math>\mathrm BG</math> || 전체 공간 <math>\mathrm EG</math>
|-
| [[아벨 군]] <math>\mathbb Z</math> || [[원]] <math>S^1</math> || <math>\mathbb R</math>
|-
| [[순환군]] <math>\mathbb Z/(n)</math> || 무한 차원 [[렌즈 공간]] <math>L^\infty(n)=S^\infty/\mathbb Z_n</math> ||무한 차원 초구 <math>S^\infty</math>
|-
| <math>\mathbb Z/(2)</math> || 무한 차원 [[실수 사영 공간]] <math>\mathbb{RP}^\infty</math> || 무한 차원 초구 <math>S^\infty</math>
|-
| ''n''개의 생성원의 [[자유군]] <math>\langle a_1,a_2,\dotsc,a_n\rangle</math> || ''n''개의 [[원 (기하학)|원]]들의 [[쐐기합]] <math>\bigwedge^nS^1</math>
|-
| [[유니터리 군]] U(''n'') || 복소수 [[그라스만 다양체]] <math>\operatorname{Gr}(n,\infty;\mathbb C)</math> || 그라스만 다양체의 [[보편 다발]](tautological bundle)
|-
| [[원군]] U(1) || 무한 차원 복소 [[사영 공간]] <math>\mathbb CP^\infty</math> || 무한 차원 초구 <math>S^\infty</math>
|-
| [[직교군]] O(''n'') || 실수 [[그라스만 다양체]] <math>\operatorname{Gr}(n,\infty;\mathbb R)</math> || 그라스만 다양체의 [[보편 다발]](tautological bundle)
|}

== 같이 보기 ==
* [[모듈라이 공간]]
* [[에일렌베르크-매클레인 공간]]
* [[신경 (범주론)]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Classifying space}}
* {{nlab|id=classifying space|title=Classifying space}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/calgary/BG.html|제목=Classifying Spaces Made Easy|이름=John|성=Baez|날짜=2009|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/56363/list-of-classifying-spaces-and-covers|제목=List of Classifying Spaces and Covers|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:올다발]]