북의 모양 듣기 문서 원본 보기

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[[파일:Isospectral_drums.svg|오른쪽|프레임| 수학적으로 이상적인 북은 서로 다른 두 가지 모양(그렇지만 그렇지 않으면 동일함)의 막을 사용하여 동일한 소리를 낸다. [[고윳값과 고유 벡터|고유진동수]]가 모두 동일하므로 [[음색|음색 스펙트럼]]에 동일한 배음이 포함되기 때문이다. 이 예는 고르돈, 웹 및 볼페르트에 의해 구성되었다. 두 다각형 모두 동일한 면적과 둘레를 가지고 있다.]]
'''북의 모양 듣기'''는 북이 내는 소리, 즉 [[배음]] 목록에서 북 경계의 모양에 대한 정보를 추론하는 것이다. 경계의 모양이 같은 북이 내는 소리들은 동일한데, 이와 반대로, 북이 내는 소리로 북의 모양이 유일하게 결정되는지에 대한 의문이 제기 되었다. 만약 이 추측이 참이라면, 북의 경계 모양과 배음 목록 사이에 1대1 대응이 존재하게 되나, 이는 평면 내부의 막에서 조차 일반적으로 거짓으로 증명되었다.

"북 모양을 들을 수 있는가?"라는 문구는 이 질문을 유명하게 만든 ''American Mathematical Monthly''의 Mark Kac의 1966년 논문 제목이다. 원래는 Lipman Bers에서 유래한다. 비슷한 질문은 1882년 물리학자 Arthur Schuster까지 거슬러 올라간다.<ref name="Crowell SciAm 2022">{{웹 인용|url=https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-are-trying-to-lsquo-hear-rsquo-shapes/|제목=Mathematicians Are Trying to 'Hear' Shapes—And Reach Higher Dimensions|성=Crowell|이름=Rachel|날짜=2022-06-28|웹사이트=Scientific American|확인날짜=2022-11-15}}</ref> 그의 논문으로 Kac은 1967년에 Lester R. Ford Award를, 1968년에는 Chauvenet Prize를 받았다<ref>{{웹 인용|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/can-one-hear-the-shape-of-a-drum|제목=Can One Hear the Shape of a Drum? &#124; Mathematical Association of America|확인날짜=2023-11-24|archive-date=2021-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506162704/https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/can-one-hear-the-shape-of-a-drum|url-status=}}</ref> 북을 고려하지 않더라도, 이 문제는 라플라스 연산자의 스펙트럼이 공간의 성질을 말해주는가의 문제이다. 이런 종류의 초기 결과 중 하나는 1911년 다비트 힐베르트의 적분 방정식 이론을 사용하여 유클리드 공간의 경계 영역의 부피가 라플라스 연산자의 디리클레 경계값 문제에 대한 고유값의 점근적 성질로부터 결정될 수 있음을 보여준 헤르만 바일에 의한 것이다

북의 막이 진동할 수 있는 주파수는 막 가장자리의 모양에 따라 다르다. 모양이 알려진 막의 주파수는 [[헬름홀츠 방정식]]을 통해 계산한다. 이러한 주파수는 주어진 공간 안의 [[라플라스 연산자]]의 [[고윳값과 고유 벡터|고유값]]이다. 핵심 질문은 주파수를 알면 모양을 예측할 수 있는지 여부이다. 예를 들어, [[뢸로 삼각형]]이 이런 방식으로 인식될 수 있는지 여부이다.<ref>{{저널 인용|제목=Can One Hear the Shape of a Drum?|저널=[[American Mathematical Monthly]]|성=Kac|이름=Mark|저자링크=Mark Kac|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/MarkKac.pdf|날짜=April 1966|권=73|호=4, part 2|쪽=16|doi=10.2307/2313748|jstor=2313748|access-date=2023-11-24|archive-date=2021-03-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20210302180323/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/MarkKac.pdf|url-status=}}</ref> Kac은 두 가지 다른 모양이 동일한 주파수 집합을 생성하는 것이 가능한지 여부를 알지 못했다고 인정했다. 주파수가 모양을 결정하는지에 대한 질문은 1990년대 초 고르돈, 웹 및 볼페르트에 의해 마침내 그렇지 않은 것으로 결론이 났다.

== 공식적 진술 ==
보다 공식적으로 북은 경계가 고정된 탄성 막으로 본다. 이는 수학적으로 [[2차원|평면]]에서 [[영역 (해석학)|영역]] ''<math>D</math>''이다. ''<math>D</math>''에 대한 디리클레 고유값을 <math>\lambda_n</math>으로 표시한다. 즉, [[라플라스 연산자]]에 대한 [[디리클레 문제|디르클레 문제]]의 [[고윳값과 고유 벡터|고유값]]이다.

: <math>
\begin{cases}
\Delta u + \lambda u = 0\\
u|_{\partial D} = 0
\end{cases}
</math>

두 영역이 동일한 고유값들을 갖는 경우 아이소스펙트럼(또는 동음성)이라고 한다. "동음"이라는 용어는 디리클레 고유값이 정확하게 북이 생성할 수 있는 기본 음이기 때문에 정당화된다. 이는 경계가 고정된 해 [[파동 방정식]]에서 푸리에 급수의 [[푸리에 급수|푸리에 계수]]로 자연스럽게 나타난다.

따라서 질문은 다음과 같이 다시 공식화될 수 있다. <math>\lambda_n</math>값만 알면 ''<math>D</math>''에 대해 무엇을 추론할 수 있는가? 또는 더 구체적으로 말하면, 스펙트럼이 같은 두 개의 서로 다른 영역이 있는가?

관련 문제는 더 높은 차원의 영역이나 [[리만 다양체]]의 라플라스 연산자에 대한 디리클레 문제뿐만 아니라 [[코시-리만 방정식|코시-리만 연산자]] 또는 [[디랙 연산자]]와 같은 기타 [[타원형 미분 연산자|타원 미분 연산자]]에 대해 공식화될 수 있다. 디르클레 조건 외에 [[노이만 경계 조건]]과 같은 다른 경계 조건을 적용할 수 있다. [[스펙트럼 기하학]] 참조

== 대답 ==
[[파일:Барабаны.gif|섬네일| 아이소스펙트럼 북의 단일 매개변수 족]]
[[파일:Eigenmodes_of_GWW_Isospectral_Domains.png|섬네일|306x306픽셀| GWW 도메인의 라플라스 연산자의 고유 모드 및 해당 고유 값]]
1964년에 [[존 밀너]]는 [[에른스트 비트]]가 제시한 격자에 관한 정리가 고유값들은 동일하지만 모양이 다른 한 쌍의 16차원 평면 원환체의 존재를 암시한다는 사실을 발견했다. 그러나 2차원 문제는 1992년 고르돈, 데이비드 웹 및 스콧 볼페르트가 스나다 방법을 기반으로 평면에서 모양은 다르지만 고유값은 동일한 한 쌍의 영역을 구성할 때까지 남아 있었다. 영역은 [[오목 다각형|오목한 다각형]]이다. 두 영역이 동일한 고유값을 갖는다는 증명은 라플라스 연산자의 대칭성을 사용한다. 이 아이디어는 수많은 비슷한 사례를 구성한 Buser, 콘웨이, 도일 및 Semmler{{Sfn|Buser|Conway|Doyle|Semmler|1994}}에 의해 일반화되었다. 따라서 Kac의 질문에 대한 대답은 다음과 같다. 많은 모양들에 대해 북 모양을 ''완전히'' 들을 수 없다. 그러나 일부 정보는 추론할 수 있다.

반면, 스티브 젤디치는 평면에서 [[해석 함수|해석적]] 경계가 있는 특정 [[볼록 집합|볼록]] 영역으로 제한하면 Kac의 질문에 대한 대답이 긍정적이라는 것을 증명했다. 두 개의 볼록하지 않은 해석적 영역이 동일한 고유값을 가질 수 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 주어진 영역과 스펙트럼이 같은 영역들의 집합은 <math>C^{\infty}</math> 위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다. 더욱이, (예를 들어)구는 [[Cheng의 고유값 비교 정리|쳉의 고유치 비교 정리]]에 의해 스펙트럼적으로 고정되어 있다. 오스굿, 필립스 및 사르낙의 결과에 따르면 주어진 종수의 [[리만 곡면]]의 모듈라이 공간은 어떤 점에서도 연속적인 아이소스펙트럼 흐름을 허용하지 않으며 프레셰-슈바르츠 위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다.

== 바일의 공식 ==
바일의 공식에 따르면 <math>\lambda_n</math>이 얼마나 빠르게 증가하는지 계산하여 북의 면적 <math>A</math>를 추론할 수 있다. <math>N(R)</math>을 <math>R</math>보다 작은 고유값의 수로 정의하면 다음을 얻는다.

: <math>A = \omega_d^{-1}(2\pi)^d \lim_{R\to\infty}\frac{N(R)}{R^{d/2}}</math>

여기서 <math>d</math>는 차원이고, <math>\omega_d</math>s는 <math>d</math>차원 단위 공의 부피이다. 바일은 또한 아래 근사의 다음 항이 <math>D</math>의 둘레를 제공할 것이라고 추측했다. 즉, ''<math>L</math>이'' 둘레의 길이(또는 더 높은 차원의 표면적)를 나타내는 경우 다음을 가져야 한다.

: <math>N(R) = (2\pi)^{-d}\omega_d AR^{d/2} \mp \frac{1}{4}(2\pi)^{-d+1}\omega_{d-1} LR^{(d-1)/2} + o(R^{(d-1)/2}).</math>

매끄러운 경계에 대해서는 1980년 빅토르 이브리가 이를 증명했다. 또한 다양체는 구에서처럼 주기적인 측지선의 2개 매개변수 족을 가질 수 없다.

== 바일-베리 추측 ==
매끄럽지 않은 경계의 경우 [[마이클 베리 (물리학자)|마이클 베리]]는 1979년에 수정이 다음과 같은 order로 이루어져야 한다고 추측했다.

: <math>R^{D/2}</math>

여기서 ''<math>D</math>''는 경계의 [[하우스도르프 차원]]이다. 그러나 이 추측은 브로사르와 카르모나에 의해 반증되었다. 이들은 하우스도르프 차원을 [[용량 차원|상위 상자 차원]]으로 대체해야 한다고 제안했다. 평면에서는 경계에 1차원이 있는지 여부가 증명되었다.(1993), 그러나 더 높은 차원에 대해서는 대부분 반증되었다(1996); 두 결과 모두 [[:fr:Michel Lapidus|Lapidus]] 와 Pomerance에 의한 것이다.

== 같이 보기 ==

* 가스만 세쌍
* [[스펙트럼 기하학]]
* 원형막의 진동
* 반복된 함수 시스템 프랙탈 도형의 확장<ref>{{서적 인용|제목=Can you hear the fractal dimension of a drum?|성=Arrighetti|이름=W.|성2=Gerosa|이름2=G.|연도=2005|총서=Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences|권=69|출판사=World Scientific|쪽=65–75|arxiv=math.SP/0503748|doi=10.1142/9789812701817_0007|isbn=978-981-256-368-2}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고문헌 ==

*  {{인용|url=https://www.ams.org/notices/199501/bers.pdf|first=William|last=Abikoff|title=Remembering Lipman Bers|journal=[[Notices of the AMS]]|date=January 1995|pages=8–18|volume=42|issue=1}}
* {{저널 인용|제목=Can one hear the dimension of a fractal?|저널=Comm. Math. Phys.|성=Brossard|이름=Jean|성2=Carmona|이름2=René|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104114935|연도=1986|권=104|호=1|쪽=103–122|bibcode=1986CMaPh.104..103B|doi=10.1007/BF01210795}}
* {{인용|url=Jürg Peter Buser}}
* {{저널 인용|제목=Drums that sound the same|저널=[[American Mathematical Monthly]]|성=Chapman|이름=S.J.|연도=1995|권=102|호=February|쪽=124–138|doi=10.2307/2975346|jstor=2975346}}
* {{저널 인용|제목=Hearing shapes of drums – mathematical and physical aspects of isospectrality|저널=Reviews of Modern Physics|성=Giraud|이름=Olivier|성2=Thas, Koen|저자링크2=Thas, Koen|연도=2010|권=82|호=3|쪽=2213–2255|arxiv=1101.1239|bibcode=2010RvMP...82.2213G|doi=10.1103/RevModPhys.82.2213}}
*  {{인용|first1=Carolyn|last1=Gordon|author1-link=Carolyn S. Gordon|first2=David|last2=Webb|author2-link=David Webb (mathematician)|title=You can't hear the shape of a drum|journal=[[American Scientist]]|year=1996|volume=84|issue=January–February|pages=46–55|bibcode=1996AmSci..84...46G}}
*  {{인용|doi=10.1007/BF01231320|first1=C.|last1=Gordon|author1-link=Carolyn S. Gordon|first2=D.|last2=Webb|author2-link=David Webb (mathematician)|first3=S.|last3=Wolpert|title=Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds|journal=Inventiones Mathematicae|volume=110|year=1992|issue=1|pages=1–22|bibcode=1992InMat.110....1G|s2cid=122258115}}
*  {{인용|first=V. Ja.|last=Ivrii|title=The second term of the spectral asymptotics for a Laplace–Beltrami operator on manifolds with boundary|journal=Funktsional. Anal. I Prilozhen|volume=14|issue=2|year=1980|pages=25–34|doi=10.1007/BF01086550|s2cid=123935462}} (In [[러시아어|Russian]]).
* {{저널 인용|제목=Can One Hear the Shape of a Drum?|저널=[[American Mathematical Monthly]]|성=Kac|이름=Mark|저자링크=Mark Kac|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/MarkKac.pdf|날짜=April 1966|권=73|호=4, part 2|쪽=1–23|doi=10.2307/2313748|jstor=2313748|access-date=2023-11-24|archive-date=2021-03-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20210302180323/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/MarkKac.pdf|url-status=}}
* {{인용|first=Michel L.|last=Lapidus|chapter=Can One Hear the Shape of a Fractal Drum? Partial Resolution of the Weyl-Berry Conjecture|title=Geometric Analysis and Computer Graphics|volume=17|pages=119–126|series=Math. Sci. Res. Inst. Publ.|issue=17|publisher=Springer|location=New York|year=1991|doi=10.1007/978-1-4613-9711-3_13|isbn=978-1-4613-9713-7}}
* {{인용|first=Michel L.|last=Lapidus|contribution=Vibrations of fractal drums, the [[리만 가설|Riemann hypothesis]], waves in fractal media, and the Weyl–Berry conjecture|title=Ordinary and Partial Differential Equations, Vol IV, Proc. Twelfth Internat. Conf. (Dundee, Scotland, UK, June 1992)|editor1=B. D. Sleeman|editor2=R. J. Jarvis|series=Pitman Research Notes in Math. Series|volume=289|publisher=Longman and Technical|location=London|year=1993|pages=126–209}}
* {{인용|first1=M. L.|last1=Lapidus|first2=M.|last2=van Frankenhuysen|title=Fractal Geometry and Number Theory: Complex dimensions of fractal strings and zeros of zeta functions|publisher=Birkhauser|location=Boston|year=2000}}.(Revised and enlarged second edition to appear in 2005.)
* {{인용|doi=10.1112/plms/s3-66.1.41|first1=Michel L.|last1=Lapidus|first2=Carl|last2=Pomerance|title=The Riemann zeta-function and the one-dimensional Weyl-Berry conjecture for fractal drums|journal=Proc. London Math. Soc.|series=Series 3|volume=66|issue=1|year=1993|pages=41–69|title-link=Riemann zeta-function|citeseerx=10.1.1.526.854}}
* {{인용|doi=10.1017/S0305004100074053|first1=Michel L.|last1=Lapidus|first2=Carl|last2=Pomerance|title=Counterexamples to the modified Weyl–Berry conjecture on fractal drums|journal=Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.|volume=119|issue=1|year=1996|pages=167–178|bibcode=1996MPCPS.119..167L|s2cid=33567484}}
* {{인용|first=John|last=Milnor|author-link=John Milnor|title=Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|volume=51|issue=4|year=1964|pages=542ff|bibcode=1964PNAS...51..542M|doi=10.1073/pnas.51.4.542|pmid=16591156|pmc=300113|doi-access=free}}
* {{인용|doi=10.2307/1971195|first=T.|last=Sunada|author-link=Toshikazu Sunada|title=Riemannian coverings and isospectral manifolds|journal=Ann. of Math.|series=2|volume=121|issue=1|year=1985|pages=169–186|jstor=1971195}}
*  {{인용|doi=10.1007/PL00001633|first=S.|last=Zelditch|title=Spectral determination of analytic bi-axisymmetric plane domains|journal=Geometric and Functional Analysis|volume=10|issue=3|year=2000|pages=628–677|arxiv=math/9901005|s2cid=16324240}}

== 외부 링크 ==

* 두 개의 북에서 파동 방정식의 해를 보여주는 [https://www.youtube.com/watch?v=RaQZ11ydBZo 시뮬레이션]
* University of Delaware의 Toby Driscoll이 [https://web.archive.org/web/20210225100031/http://www.math.udel.edu/~driscoll/research/drums.html 제작한 등분광 북]
* Peter Buser, [[존 호턴 콘웨이|John Horton Conway]], Peter Doyle 및 Klaus-Dieter Semmler의 [http://math.dartmouth.edu/~doyle/docs/drum/drum.pdf 일부 평면 등분광 영역]
* [https://www.youtube.com/watch?v=1nOQF8MRK3w Buser-Conway-Doyle-Semmler 동음 북의 3D 렌더링]
* 미국수학협회 웹사이트의 Ivars Peterson이 쓴 [https://web.archive.org/web/20110727051224/http://enterprise.maa.org/mathland/mathland_4_14.html 비슷한 소리의 북]
* {{springer|id=d/d130170|title=Dirichlet eigenvalue|last=Benguria|first=Rafael D.}}

[[분류:스펙트럼 이론]]
[[분류:편미분 방정식]]