부호 측도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|조르당 분해|선형대수학 용어|조르당 표준형}}
[[측도론]]에서 '''부호 측도'''(符號測度, {{llang|en|signed measure}})는 [[측도]]를 음의 값을 취할 수 있도록 일반화한 개념이다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>

== 정의 ==
[[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math> 위의 '''부호 측도'''는 다음 조건들을 만족시키는 함수 <math>\mu\colon\Sigma\to\bar\mathbb R</math>이다.
* (가산 가법성) 임의의 가산 개의 [[서로소 집합]]들의 족 <math>\mathcal A\subset\Sigma</math> (<math>|\mathcal A|\le\aleph_0</math>)에 대하여, <math>\textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal A\right)=\sum_{A\in\mathcal A}\mu(A)</math>
** 특히, 이는 <math>\mu(\varnothing)=0</math>을 함의한다.
** 특히, 부호 측도는 양과 음의 무한대 값을 동시에 가질 수 없다.
{{증명}}
가산 가법성에서 <math>\mathcal A=\varnothing</math>을 취하면 <math>\mu(\varnothing)=0</math>을 얻는다.

만약
:<math>\mu(A)=\infty</math>
:<math>\mu(B)=-\infty</math>
인 두 가측 집합 <math>A,B\in\Sigma</math>가 존재한다면,
:<math>\infty=\mu(A)+\mu(B\setminus A)=\mu(A\cup B)=\mu(B)+\mu(A\setminus B)=-\infty</math>
이며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
=== 한 분해와 조르당 분해 ===
[[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math> 위의 부호 측도 <math>\mu</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>X</math>의 두 [[가측 집합]] <math>X^+,X^-\in\Sigma</math>가 존재하며, 이를 <math>\mu</math>의 '''한 분해'''(-分解, {{llang|en|Hahn decomposition}})라고 한다.
:<math>X^+\cap X^-=\varnothing</math>
:<math>X=X^+\cup X^-</math>
:<math>\mu(A\cap X^-)\le 0\le\mu(A\cap X^+)\qquad\forall A\in\Sigma</math>
한 분해는 일반적으로 유일하지 않지만, <math>\mu</math>의 두 한 분해 <math>(X^+_1,X^-_1)</math>, <math>(X^+_2,X^-_2)</math>에 대하여, 항상 다음이 성립한다.
:<math>\mu(A\cap(X^+_1\bigtriangleup X^+_2))=\mu(A\cap(X^-_1\bigtriangleup X^-_2))=0\qquad\forall A\in\Sigma</math>
여기서 <math>\bigtriangleup</math>은 [[대칭차]]이다.

[[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math> 위의 부호 측도 <math>\mu</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, <math>(X,\Sigma)</math> 위의 [[특이 측도]] <math>\mu^+</math>, <math>\mu^-</math>가 유일하게 존재하며, 이를 <math>\mu</math>의 '''조르당 분해'''(-分解, {{llang|en|Jordan decomposition}})라고 한다.
:<math>\mu=\mu^+-\mu^-</math>
만약 특이 조건을 없앨 경우 이러한 분해는 유일하지 않다. 조르당 분해는 두 측도의 차로의 분해 가운데 ‘최소’이다. 즉, <math>\mu=\nu-\lambda</math>를 만족시키는 두 측도 <math>\nu</math>, <math>\lambda</math>에 대하여, 항상
:<math>\mu^+\le\nu</math>
:<math>\mu^-\le\lambda</math>
이다.

조르당 분해는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\mu^+(A)
=\mu(A\cap X^+)
=\sup_{{\scriptstyle B\in\Sigma\atop\scriptstyle B\subseteq A}}\mu(B)
</math>
:<math>\mu^-(A)
=\mu(A\cap X^-)
=\sup_{{\scriptstyle B\in\Sigma\atop\scriptstyle B\subseteq A}}(-\mu(B))
\qquad\forall A\in\Sigma</math>

=== 전변동 ===
[[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math> 속의 [[가측 집합]] <math>A\in\Sigma</math>에 대하여, <math>\operatorname{Part}(A)</math>가 <math>A</math>의 [[가산 집합|가산]] [[가측 집합|가측]] [[집합의 분할|분할]]들의 집합이라고 하자.

[[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math> 위의 부호 측도 <math>\mu</math>의 '''전변동 측도'''(全變動測度, {{llang|en|total variation measure}}) <math>|\mu|</math>는 다음과 같다.
:<math>|\mu|(A)
=\mu^+(A)+\mu^-(A)
=\sup_{\mathcal P\in\operatorname{Part}(A)}\sum_{P\in\mathcal P}|\mu(P)|
\qquad\forall A\in\Sigma</math>

[[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math> 위의 부호 측도 <math>\mu</math>의 '''전변동 노름'''(全變動-, {{llang|en|total variation norm}})은 다음과 같다.
:<math>\|\mu\|=|\mu|(X)</math>

=== 시그마 유한 부호 측도와 유한 부호 측도 ===
'''시그마 유한 부호 측도'''(-有限符號測度, {{llang|en|sigma-finite signed measure}})는 전변동 측도가 [[시그마 유한 측도]]인 부호 측도이다. '''유한 부호 측도'''(有限符號測度, {{llang|en|finite signed measure}})는 전변동 측도가 [[유한 측도]]인 부호 측도이다. 즉, 전변동 노름이 유한한 부호 측도이다.

[[측도]]와 마찬가지로, 주어진 [[시그마 유한 측도]]에 대한 모든 [[절대 연속 부호 측도]]는 [[라돈-니코딤 도함수]]를 갖는다. 특히, 모든 시그마 유한 부호 측도는 전변동 측도에 대한 [[라돈-니코딤 도함수]] <math>\mathrm d\mu/\mathrm d|\mu|</math>를 가지며, 이는 <math>|\mu|</math>-거의 어디서나 유한하므로 유한한 값의 함수로 취할 수 있다. 유한 부호 측도는 <math>\mathrm d\mu/\mathrm d|\mu|</math>가 적분 가능한 조건과 [[동치]]이다. 시그마 유한 부호 측도 <math>\mu</math>에 대하여,
:<math>X^+=\left\{x\in X\colon\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d|\mu|}\ge 0\right\}</math>
:<math>X^-=\left\{x\in X\colon\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d|\mu|}<0\right\}</math>
은 <math>\mu</math>의 한 분해를 이루며, <math>\mu</math>의 조르당 분해는
:<math>\mu^+=\int_X\max\left\{\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d|\mu|},0\right\}\mathrm d|\mu|</math>
:<math>\mu^+=\int_X\max\left\{-\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d|\mu|},0\right\}\mathrm d|\mu|</math>
이다.

[[측도]]와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 부호 측도에 대하여, 모든 시그마 유한 부호 측도는 [[르베그 분해]]를 갖는다.

[[가측 공간]] <math>(X,\Sigma)</math> 위의 유한 부호 측도의 집합은 자연스럽게 [[실수 벡터 공간]]을 이루며, 전변동 노름을 갖췄을 때 [[실수 바나흐 공간]]을 이룬다.<ref name="Athreya" />{{rp|124, Proposition 4.2.6}}

함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[유계 변동 함수]]이다.
* 어떤 <math>(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> 위의 유한 부호 측도 <math>\mu</math>에 대하여 <math>f\colon x\mapsto\mu([a,x])</math> (<math>x\in[a,b]</math>) 꼴로 나타낼 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[전변동]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Signed measure}}
* {{eom|제목=Hahn decomposition}}
* {{eom|제목=Jordan decomposition (of a signed measure)}}
* {{매스월드|id=JordanMeasureDecomposition|제목=Jordan measure decomposition}}

[[분류:측도]]