부호규약 문서 원본 보기

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[[물리학]]에서 '''부호규약'''({{Llang|en|sign convention}})은 임의적으로 [[부호 (수학)|부호]]를 선택할 수 있는 경우에, 부호를 선택하여 물리적인 의미를 부여하는 것이다. 여기서 "임의적"이란 부호가 정해진 어느 물리적인 체계에서 그 부호를 서로 바꿔 선택하더라도 여전히 일관적으로 그 체계를 선택할 수 있는 것을 말한다. 이런 부호의 선택은 저자마다 다를 수 있다. 이러한 특징 때문에 책이나 문서 등에 이러한 부호규약을 명확히 나타내지 않으면 독자로 하여금 혼란이나 오해를 심어줄 수 있고, 심지어 연구에서도 명백한 오류를 일으킬 수 있다. [[수직선 (수학)|수직선]]에서 양수의 방향(오른쪽)와 음수의 방향(왼쪽)을 정하는 것 역시 하나의 부호규약이라고 볼 수 있다.

== 좌표계 ==
[[파일:Coordinate systems.png|섬네일|왼손잡이 좌표계와 오른손잡이 좌표계]]
3차원 공간의 좌표계를 정할 때 좌표계를 정할 수 있는 방식은 두 가지가 있다. 하나는 주로 물리학에서 쓰이는 오른손잡이 좌표계로, [[오른손 법칙]]을 따르는 좌표계이다. 다른 하나는 왼손잡이 좌표계로 오른손 좌표계의 3번째 [[기저 (선형대수학)|기저]]가 반대로 되어 있는 좌표계이다. 왼손 좌표계는 오른손 법칙을 따르지 않는다.

== 상대성이론 ==

=== 메트릭 부호수 ===
[[일반 상대성이론]]에서 4차원 시공간의 [[계량 부호수|메트릭 부호수]]는 {{수학|(+,−,−,−)}} 또는 {{수학|(−,+,+,+)}}으로 정하는 경우가 많다. (이 문서에서 [[메트릭 텐서|메트릭]]을 표현할 때 시간을 0차원으로 하고, 공간을 1차원 이상으로 본다. 즉, {{수학|(+,−,−,−)}}에서 첫번째 요소는 시간을, 나머지 요소는 공간을 의미한다.) 고차원 상대론 이론에서도 유사하게 규약을 사용한다. 즉, {{수학|(+,−,−,−,...)}} 또는 {{수학|(−,+,+,+,...)}}이다.
{| class="wikitable plainrowheaders"
|+[[일반 상대성이론|일반 상대성 이론]]에서의 메트릭 부호수 비교
! scope="row" | 메트릭  부호수
! scope="col" | {{말풍선|{{math|(+,−,−,−)}}|plus minus minus minus signature}}
! scope="col" | {{말풍선|{{math|(−,+,+,+)}}|minus plus plus plus signature}}
|-
! scope="row" | [[시공간]] 간격규약
| 시간꼴(timelike)
| 공간꼴(spacelike)
|-
! scope="row" | 주로 사용하는 분야
| [[입자물리학]], [[일반 상대성이론]]
| [[일반 상대성이론]]
|- style="text-align: center"
! scope="row" | 대응하는 [[계량 텐서|메트릭 텐서]]
| <math display="inline">\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}</math>
| <math display="inline">\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
|- style="text-align: center"
! scope="row" | 질량과 [[사차원 운동량|4차원 운동량]] 간의 관계
| <math display="inline">m^2 = p^{\mu}p_{\mu}</math>
| <math display="inline">m^2 = -p^{\mu}p_{\mu}</math>
|}
대표적으로 {{수학|(+,−,−,−)}}는 [[레프 란다우|란다우]]-[[예브게니 립시츠|립시츠]]의 이론물리학 교과서 시리즈인 Курс теоретической физики([[:en:Course of Theorical Physics]])에서 사용되었고, {{수학|(-,+,+,+)}}는 [[찰스 W. 미스너]], [[킵 S. 손]], [[존 아치볼드 휠러]]의 공저인《Gravitation》에서 사용되었다.

=== 곡률 ===
[[리치 곡률 텐서|리치 텐서]]는 [[리만 곡률 텐서|리만 텐서]]의 수축으로 정의된다. 일부는 리치텐서의 성분을 축약형으로 <math>R_{ab} \, = R^c{}_{acb}</math>를 사용하지만, 어떤 사람들은 반전된 형태로 <math>R_{ab} \, = R^c{}_{abc}</math>를 사용한다. 리만 텐서의 대칭성으로 인해 이 두 정의는 부호가 다르다.

사실, 리치 텐서의 두 번째 정의는 다음과 같다. <math>R_{ab} \, = {R_{acb}}^c</math> . 리치 텐서의 부호는 바뀌지 않았는데, 두 부호 규약이 리만 텐서의 부호와 관련되기 때문이다. 두 번째 정의는 부호를 보상할 뿐이며, 리만 텐서의 두 번째 정의와 함께 작동한다(Barrett O'Neill의 Semi-riemannian geometry 참조).

== 기하광학 ==
[[파일:Lens Radii Sign Conventions.png|섬네일|왼쪽을 중심으로 곡률반경에 대한 부호규약을 설명한 그림]]
[[기하광학]]에서 광선의 진행방향에 따라서 부호를 결정할 수 있다. 구면 렌즈나 구면 거울의 곡률에 대해 부호규약을 정할 수 있다. 다음은 부호규약의 한 예시이다.

{| class="wikitable plainrowheaders"
! scope="row" | 부호
! scope="col" | 양수
! scope="col" | 음수
|-
! scope="row" | <math>s_o</math>, <math>f_o</math>
| <math>V</math>의 왼쪽
| <math>V</math>의 오른쪽
|-
! scope="row" | <math>s_i</math>, <math>f_i</math>
| <math>V</math>의 오른쪽
| <math>V</math>의 왼쪽
|-
! scope="row" | <math>R</math>
| 원의 중심이 V의 왼쪽
| 원의 중심이 V의 오른쪽
|-
! scope="row" | <math>y_o</math>, <math>y_i</math>
| 광축보다 위
| 광축보다 아래
|-
! scope="row" | <math>f</math>
| 오목거울
| 볼록거울
|}

여기서 모든 빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 나아간다고 가정하며, <math>V</math>는 광학계(렌즈와 거울)와 광축이 만나는 점을 의미한다. <math>s_o</math>와 <math>s_i</math>는 각각 물체와 상이 점 <math>V</math>로부터 떨어진 거리이고, <math>f</math>는 거울의 초점거리, <math>f_o</math>와 <math>f_i</math>는 각각 렌즈에서의 물체 쪽과 상 쪽의 초점거리이다. <math>R</math>는 구면렌즈나 구면거울의 곡률반경이고, <math>y_o</math>와 <math>y_i</math>는 각각 물체와 상의 광축에 대한 높이이다.<ref>{{서적 인용|저자1=Eugene Hecht |제목=Optics |출판사=Addison Wesley |연도=2002 |판=4 |장=5 |isbn=0-321-18878-0}}</ref>

이 부호규약을 통해 주어지는 렌즈 제작자 공식과 렌즈의 공식은 다음과 같다.
:<math>\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=(n_i -1)\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right)</math> (렌즈 제작자 공식)

:<math>\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=\frac{1}{f}</math> (렌즈의 공식)

== 다른 분야의 부호규약 ==

* 기준계에서의 [[시간의 화살|시간]]과 고유시간에서의 부호 선택: 통상적으로 미래의 경우 '''+''', 과거의 경우 '''-'''를 사용한다.
* [[디랙 방정식]]에서 <math>\pm</math>의 결정.
* [[맥스웰 방정식|고전 전기역학]]과 [[게이지 이론]]에서 [[전하]]의 부호, [[전자기장 텐서|전기장 세기 텐서]] <math>\, F_{ab}</math>.
* 양의 주파수 파동의 시간 의존성(예: [[파동 방정식]] 참조 ):
** <math>\, e^{-i\omega t}</math> (주로 물리학에서 사용)
** <math>\, e^{+j\omega t}</math> (주로 공학에서 사용함)
* [[유전율]]의 허수부에 대한 부호(사실 시간 의존성에 대한 부호 선택에 따라 결정됨).
* [[열역학 제1법칙]]에서의 일의 표시.
* 공변 메트릭 텐서의 행렬식 가중치와 같은 텐서 밀도 가중치의 부호.
* [[전기공학|전기 공학]]에서의 [[전류]], [[전압]] 및 [[전력]]의 능동 및 수동 부호규약.

== 관련문서 ==

* [[대칭 (물리학)|대칭(물리)]]
* [[게이지 이론]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=[[중력 (서적)|Gravitation]]|성=[[찰스 W. 미스너|Charles Misner]]; [[킵 S. 손|Kip S. Thorne]] & [[존 아치볼드 휠러|John Archibald Wheeler]]|연도=1973|출판사=W. H. Freeman|위치=San Francisco|isbn=0-7167-0344-0}}
[[분류:수리물리학]]