부피 형식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''부피 형식'''({{llang|en|Volume form}}) 또는 '''최고차 형식'''({{llang|en|top-dimensional form}})은 미분 다양체 차원과 동일한 차수를 가진 [[미분 형식]]이다. 따라서 <math>n</math>차원 다양체 <math>M</math>에서 부피 형식은 제 <math>n</math>[[미분 형식]]이다. [[선다발]] <math>\textstyle{\bigwedge}^n(T^*M)</math>의 [[단면 (올다발)|단면]] 공간 <math> \Omega^n(M)</math>의 원소이다. 다양체는 방향을 잡을 수 있는 경우에만 사라지지 않는 부피 형식을 허용한다. [[방향 (다양체)|유향 다양체]]는 무한히 많은 부피 형식을 가진다. 왜냐하면 부피 형식을 여기서에도 모든 곳에서 영이 되지 않는 실수 값 함수로 곱하면 또 다른 부피 형식이 생성되기 때문이다. 방향이 지정되지 않는 다양체에서는 대신 [[밀도 다발|밀도]]라는 약한 개념을 정의할 수 있다.

부피 형식은 미분 다양체에서 [[함수]]의 [[적분]]을 정의 할 수 있게 한다. 다른 말로, 부피 형식은 함수가 적절한 [[르베그 적분]]에 의해 적분될 수 있는 것과 관련하여 [[측도]]를 제공한다. 부피 형식의 절대값은 부피 요소 로 꼬인 부피 형식 또는 준 ''부피 형식''이라고도 다양하게 알려져 있다. 또한 측도를 정의하지만 방향 지정 가능 여부에 관계없이 미분 가능 다양체에 존재한다.

[[리만 기하학]]에서 '''부피 형식'''은 [[유향 다양체|유향]] [[준 리만 다양체]]에 대하여 정의되는 특별한 최고 차수 실수 [[미분 형식]]이다. 이를 적분하여, 다양체의 구역의 부피를 정의할 수 있다.

[[복소다양체|복소 다양체]]인 [[켈러 다양체]]는 자연적으로 방향이 지정되어 있으므로 부피 형식을 가진다. 보다 일반적으로,  [[심플렉틱 다양체]]에서 심플렉틱 형식의 <math>n</math>[[외대수|외승]]은 부피 형식이다. 많은 다양체 종류들에는 정규 부피 형식이 있다: 선호하는 부피 형식을 선택할 수 있는 추가 구조가 있다. 유향 [[준 리만 다양체|준-리만 다양체]]는 연관된 표준 부피 형식을 가진다.

== 방향 ==
다음은 미분 다양체의 방향에 관한 것이다(위상 다양체에서 정의된 보다 일반적인 개념임).

다양체는 모든 추이 함수에 양의 [[야코비 행렬|야코비 행렬식]]을 갖는 아틀라스가 있는 경우 [[방향 (다양체)|유향]]이다. 이러한 극대 아틀라스의 선택은 <math>M</math>에서 방향을 결정한다. <math>M</math> 위의 부피 형식 <math>\omega</math>은 <math>M</math>의 아틀라스처럼 자연스러운 방식으로 <math>\omega</math>를 유클리드 부피 형식 <math>dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n</math>의 양의 배수로 보내는 방향을 제시한다.

부피 형식은 또한 <math>M</math>에서 선호하는 틀의 지정을 허용한다. 접벡터의 기저 <math>(X_1, \ldots, X_n)</math>가 만약{{NumBlk|:|<math>\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) = 1.</math>|{{EquationRef|1}}}}이면 오른손잡이라고 한다. 양의 행렬식을 가진 <math>n</math>차원 [[일반선형군|일반 선형 사상군]] <math>\mathrm{GL}^+(n)</math>이 모든 오른손잡이 틀의 모임에 [[군의 작용|작용]]한다. 이는 <math>M</math>의 [[틀다발|선형 틀 다발]]의 [[주다발|<math>\mathrm{GL}^+(n)</math>]]-부분 [[주다발]]을 형성하고, 따라서 부피 형식와 관련된 방향은 <math>M</math>의 틀 다발을 구조 군 <math>\mathrm{GL}^+(n)</math>이 있는 부분 다발로 표준 축소를 제공한다. 즉, 부피 형식이 <math>M</math>의 [[구조 다양체|<math>\mathrm{GL}^+(n)</math>-구조]]에 발생한다. 틀을 고려하면 더 많은 축소가 가능하다.<math display="block">\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) > 0.</math>따라서 부피 형식은 <math>\mathrm{SL}(n)</math> -구조를 발생시킨다. 반대로 주어진 <math>\mathrm{SL}(n)</math>-구조에 대해, 특수 선형 틀이 ({{EquationNote|1}})을 만족하도록 하고, 필요한 <math>n</math>-형식 <math>\omega</math>이 동차성을 가져야함을 통해 풀면 부피 형식을 복원 할 수 있다.

다양체는 여기서에도 모든 곳에서 영이 아닌 부피 형식이 있는 경우에만 방향을 지정할 수 있다. 물론, <math>\mathrm{GL}^+ = \mathrm{SL} \times \R^+</math>이므로 <math>\mathrm{SL}(n) \to \mathrm{GL}^+(n)</math>는 [[변형 수축]]이다. 여기서 [[양수 (수학)|양의 실수]]는 스칼라 행렬로 포함된다. 따라서, 모든 <math>\mathrm{GL}^+(n)</math> 구조는 <math>\mathrm{SL}(n)</math> 구조로 축약가능하며, <math>\mathrm{GL}^+(n)</math> 구조는 <math>M</math>에 주어진 방향과 일치한다. 보다 구체적으로, 행렬식 다발 <math>\Omega^n(M)</math>의 자명함  은 다양체의 가향성과 동일하며 선다발은 모든 곳에서 영이 아닌 단면이 있는 경우에만 자명하다. 따라서 부피 형식의 존재는 가향성과 동일하다.

== 측도와의 관계 ==
유향 다양체에 주어진 부피 형식 <math>\omega</math>에 대해, [[밀도 다발|밀도]] <math>|\omega|</math>는 방향을 잊어버리고 얻은 무방향 다양체의 준 부피 형식이다. 밀도는 비방향성 다양체에서 더 일반적으로 정의될 수도 있다.

모든 준 부피 형식 <math>\omega</math>(따라서 모든 부피 형식)은 [[보렐 집합]]에 대한 측도를 다음과 같이 정의한다.<math display="block">\mu_\omega(U) = \int_U\omega .</math>차이점은 측도값이 (Borel) ''부분 집합''에 대해 적분될 수 있는 반면 부피 양식은 방향이 있는 상자에 대해서만 적분 될 수 있다는 것이다. 일변수 [[미적분학|미적분]]에서 <math display="inline">\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx</math>임은 <math>dx</math>를 단순한 측도가 아닌 부피 형식으로 본다는 뜻이다, 그리고 <math display="inline">\int_b^a</math>는 "상자 <math>[a,b]</math> 전체에서 반대 방향으로 적분"을 나타낸다."

또한 일반적인 측도는 연속적이거나 매끄러울 필요가 없다. 부피 형식으로 정의할 필요가 없으며 더 구체적으로, 주어진 부피 형식에 대한 [[라돈-니코딤 정리|라돈-니코딤 도함수]]가 [[절대 연속 측도|절대 연속]]일 필요는 없다.

== 발산 ==
<math>M</math>에 주어진 부피 형식 <math>\omega</math>에 대해 [[벡터장]] <math>X</math>의 [[발산 (벡터)|발산]]을 <math>\operatorname{div} X</math>로 표시되는 유일한 스칼라 값 함수로 정의할 수 있다.<math display="block">(\operatorname{div} X)\omega = L_X\omega = d(X \mathbin{\!\rfloor} \omega) ,</math>여기서 <math>L_X</math>는 <math>X</math>를 따른 [[리 미분]]을 나타낸다. 그리고 <math>X \mathbin{\!\rfloor} \omega</math>는 [[내부곱]] 또는 <math>X</math>을 따른 <math>\omega</math>의 왼쪽 수축을 나타낸다. 만약에 <math>X</math>가 [[지지집합|콤팩트 지지]] 벡터장이며 <math>M</math>는 [[다양체|경계가 있는 다양체]]이면 스토크스의 정리는 다음을 의미한다.<math display="block">\int_M (\operatorname{div} X)\omega = \int_{\partial M} X \mathbin{\!\rfloor} \omega,</math>이는 [[발산 정리]]의 일반화이다.

솔레노이드 벡터장은 <math>\operatorname{div} X = 0 </math>이 성립하는 벡터장이다. 리 미분의 정의에 따르면 솔레노이드 벡터장의 흐름에서 부피 형식이 보존된다. 따라서 솔레노이드 벡터장은 정확히 부피 보존 흐름을 갖는 것이다. 이 사실은 예를 들어 속도장의 발산이 유체의 압축성을 측도하는 [[유체역학]]에서 잘 알려져 있으며, 이는 다시 유체의 흐름을 따라 부피가 보존되는 정도를 나타낸다.

== 주요 예제들 ==
=== 리 군 ===
모든 [[리 군]]에 대해 자연스러운 부피 형식은 병진 변환에 의해 정의될 수 있다. 즉, 만약 <math>\omega_e</math>가 <math>{\textstyle\bigwedge}^n T_e^*G,</math>의 원소이면, 왼쪽 불변 형식은 <math>\omega_g = L_{g^{-1}}^*\omega_e,</math>과 같이 정의될 수 있다. 여기서 <math>L_g</math>는 왼쪽 병진 변환이다. 결과적으로 모든 리 군에 방향을 지정할 수 있다. 이 부피 형식은 스칼라곱을 기준으로 유일하며 해당 측도를 [[하르 측도]]라고 한다.

=== 심플렉틱 다양체 ===
모든 [[심플렉틱 다양체]](또는 버금 심플렉틱 다양체)에는 자연스러운 부피 형식이 있다. 만약에 <math>M</math>이 [[심플렉틱 벡터 공간|심플렉틱 형식]] <math>\omega</math>이 주어진 <math>2 n</math> 차원 의 차원 다양체이면,  <math>\omega^n</math>는 심플렉틱 형식의 비퇴화성의 결과로 모든곳에서 0이 아니다. 결과적으로 모든 심플렉틱 다양체는 방향을 지정할 수 있다(실제로, 방향이 지정되어 있다). 다양체가 심플렉틱이면서 리만인 경우 다양체가 [[켈러 다양체|켈러]]이면 두 부피 형식이 일치한다.

=== 리만 부피 형식 ===
임의의 [[방향 (다양체)|유향]] [[준 리만 다양체|준-리만]]([[리만 다양체|리만]]을 포함) [[다양체]]는 자연스러운 부피 형식을 가지고 있다. 국소 좌표계에서, 이는<math display="block">\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n</math>로 표현될 수 있다. 여기서 <math>dx^i</math>는 다양체의 [[공변접다발|여접다발]]에 대해 양의 방향 기저를 형성하는 제 1미분형식이다. 여기서, <math>|g|</math>는 다양체에서 계량 텐서의 행렬 표현의 [[행렬식]]의 절대값이다. 부피 형식은 다음과 같이 다양하게 표시된다.<math display="block">\omega = \mathrm{vol}_n = \varepsilon = {\star}(1).</math>여기서, <math>{\star}</math>는 [[호지 쌍대|호지 별]]이므로 마지막 형식 <math>{\star} (1)</math>은 부피 형식이 [[레비치비타 기호|레비-치비타 ''텐서'']] <math>\varepsilon</math>와 동일한 다양체의 상수 사상의 호지 쌍대임을 강조한다.

그리스 문자 <math>\omega</math>는 부피 형식을 나타내는 데 자주 사용되지만 이 표기법은 완전히 보편적이지는 않다. 기호 <math>\omega</math>는 종종 [[미분기하학|미분 기하학]]에서 많은 다른 의미(예: 심플렉틱 형식)를 뜻한다.

== 부피 형식의 불변량 ==
부피 형식은 유일하지 않다. 그것들은 다음과 같이 다양체에서 모든 곳에서 영이 아닌 함수 위에 꼬임을 형성한다: <math>M</math>에 부피 형식 <math>\omega</math>과 모든 곳에서 영이 아닌 함수 <math>f</math>가 주어지면, <math>f\omega</math>는 <math>M</math>의 부피 형식이다.  반대로 두 가지 부피 형식 <math>\omega, \omega'</math>이 주어지면 이들이 비는 모든 곳에서 영이 아닌 함수이다(동일한 방향을 정의하면 양수, 반대 방향을 정의하면 음수).

좌표에서 둘 다 단순히 모든 곳에서 영이 아닌 함수 곱하기 [[르베그 측도]]이며 비는 좌표 선택과 무관한 함수의 비이다. 내재적으로 이것은 <math>\omega</math>에 대한 <math>\omega'</math>의 [[라돈-니코딤 정리|라돈-니코딤 도함수]]이다. 유향 다양체에서 두 부피 형식의 비는 [[라돈-니코딤 정리]]의 기하학적 형태로 생각할 수 있다.

=== 국소 구조의 부재 ===
다양체의 부피 형식은 작은 열린 집합에서 주어진 부피 형식와 유클리드 공간의 부피 형식을 구별하는 것이 불가능하다는 점에서 국소 구조가 없다 {{하버드 인용|Kobayashi|1972}}. 즉, 모든 점 <math>p\in M</math>에 대해 <math>p</math>의 열린 이웃 <math>U</math>과 <math>U</math>에서 부피 형식이 <math>\varphi</math>를 따라 <math>dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math>를 당긴 것이 되는 <math>U</math>에서  <math>\R^n</math>의 열린 집합으로 가는 [[미분동형사상]] <math>\varphi</math>가 존재한다.

결과적으로, 만약 <math>M</math>, <math>N</math>이 각각 부피 형식 <math>\omega_M, \omega_N </math>을 갖는 두 가지 다양체이면, 모든 점 <math>m \in M, n \in N </math>에 대해 <math>m</math>의 열린 이웃 <math>U</math>과 <math>n</math>의 열린 이웃 <math>V</math>, 그리고 <math>V</math>에 제한된 <math>N</math> 위의 부피 형식이 <math>U</math>에 제한된 <math>M</math>의 부피 형식으로 당겨지는(즉, <math>f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U</math>) 함수<math>f : U \to V</math>가 있다.

1차원에서 다음과 같이 증명할 수 있다. <math>\R</math>에 주어진 부피 형식 <math>\omega</math>에 대해<math display="block">f(x) := \int_0^x \omega.</math>로 정의 하자. 그러면 표준 [[르베그 측도]] <math>dx</math>는 <math>\omega</math>로 [[당김 (미분기하학)|당겨진다]]. 즉, <math>f</math> : <math>\omega = f^*dx</math>. 구체적으로, <math>\omega = f'\,dx</math>. 더 높은 차원에서, 어떤 점 <math>m \in M</math>이 주어졌을 때, 그것은 국소적으로 <math>\R\times\R^{n-1} </math>과 위상동형인 이웃을 가지고 있고, 동일한 절차를 적용할 수 있다.

=== 대역 구조: 부피 ===
연결 다양체 <math>M</math>의 부피 형식은 단일 전역 불변량, 즉 (전체) 부피 <math>\mu(M)</math>를 가진다. 이는 부피 형식 보존 사상에 대해 불변이다. 이것은 <math>\R^n</math>에서 르베그 측도과 같이 무한대 일 수 있다. 연결이 아닌 다양체에서 각 연결 성분의 부피는 불변량이다.

만약 <math>f : M \to N</math>가 <math>\omega_N</math>를 <math>\omega_M</math>로 당기는 위상 동형이면,<math display="block">\mu(N) = \int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M = \mu(M)\,</math>이고 두 다양체는 동일한 부피를 가진다.

[[피복 공간|피복 사상]]으로 부피 형식을 다시 가져올 수도 있다. 이 경우 부피에 올의 [[기수 (수학)|기수]]를 곱한다(공식적으로는 올를 따라 적분하여). 무한 덮개의 경우(예: <math>\R \to S^1</math>), 유한 부피 다양체의 부피 형식은 무한 부피 다양체의 부피 형식으로 당겨진다.

== 준 리만 다양체에서 정의 ==
<math>n=p+q</math>차원 [[유향 다양체|유향]] [[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 부피 형식은 다음과 같은 <math>n</math>차 실수 [[미분 형식]]
:<math>\omega \in \Omega^n(M;\mathbb R)</math>
이다.
:<math>\omega = \sqrt{(-)^q\det g}\,\mathrm dx^1\wedge\dotsb\wedge\mathrm dx^n</math>
여기서
* <math>(x_1,\dotsc,x_n)</math>은 <math>M</math>의 (홀로노믹) 국소 좌표계이며, 그 [[방향 (다양체)|방향]]은 양의 방향이다.
* <math>\det g</math>는 다음과 같은, [[리만 계량]]의 성분으로 구성된 <math>n\times n</math> [[대칭 행렬]]의 [[행렬식]]이다.
*:<math>\begin{pmatrix}
g_{11}&\dotsm & g_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
g_{n1} & \dotsm & g_{nn}
\end{pmatrix}</math>

<math>\det g</math>는 만약 <math>q</math>가 짝수라면 양수이며, <math>q</math>가 홀수라면 음수이다. 즉,
:<math>(-)^q \det g = \left|\det g\right|</math>
이다.

== 성질 ==
부피 형식은 [[준 리만 다양체]]의 [[방향 (다양체)|방향]]에 의존한다. 만약 방향을 뒤집는다면, 부피 형식은
:<math>\omega\mapsto -\omega</math>
로 변환한다. 비가향 다양체의 경우, 부피 형식을 정의할 수 없다(다만, 부피의 개념 자체는 밀도의 개념을 사용하여 정의될 수 있다).

== 같이 보기 ==
* [[원통좌표계]]의 부피 형식
* [[측도]]
* [[푸앵카레 메트릭|푸앵카레 측도]]는 [[복소평면|복소 평면]]에서 부피 형식을 준다
* [[구면좌표계]]의 부피 형식

== 참고 문헌 ==
* {{인용| first = S. | last = Kobayashi | title = Transformation Groups in Differential Geometry | series = Classics in Mathematics | publisher = Springer | year = 1972 | isbn = 3-540-58659-8 | oclc = 31374337}}.
* {{인용|first=Michael|last=Spivak|title=Calculus on Manifolds|year=1965|publisher=W.A. Benjamin, Inc.|publication-place=Reading, Massachusetts|isbn= 0-8053-9021-9}}.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=volume form|title=Volume form}}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:미분 형식]]
[[분류:행렬식]]