부분 아핀 공간 문서 원본 보기

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[[파일:Affine subspace.svg|thumb]]
[[아핀 기하학]]에서 '''부분 아핀 공간'''(部分{{lang|en|affine}}空間, {{llang|en|affine subspace}})은 새로운 [[아핀 공간]]을 이루는 주어진 아핀 공간의 [[부분 집합]]이다. 즉, 이는 [[부분 벡터 공간]]이 주어진 아핀 공간 위에 [[평행 이동]]으로 [[군의 작용|작용]]하는 데 대한 [[군의 작용|궤도]]이며, [[벡터 공간]]의 부분 아핀 공간은 평행 이동에 대한 부분 벡터 공간의 [[상 (수학)|상]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[아핀 공간]] <math>A</math>의 [[부분 집합]] <math>B\subseteq A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>B</math>를 <math>A</math>의 '''부분 아핀 공간'''이라고 한다.
* <math>B-a</math>가 <math>V(A)</math>의 [[부분 벡터 공간]]이 되는 <math>a\in B</math>가 존재한다. (여기서 <math>B-a=\{b-a\colon b\in B\}</math>이며, <math>V(-)</math>는 [[평행 이동]]의 [[벡터 공간]]이다.)
* 임의의 <math>a\in B</math>에 대하여, <math>B-a</math>는 <math>V(A)</math>의 부분 벡터 공간이다.
부분 아핀 공간 <math>B\subseteq A</math>에 대하여, <math>V(B)=B-a</math>는 <math>a\in B</math>의 선택과 무관하며, 이는 <math>B</math>의 평행 이동들로 구성된다. 또한, 임의의 <math>a\in B</math>에 대하여,
:<math>B=a+V(B)</math>
이다.

=== 생성된 부분 공간 ===
체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 부분 집합 <math>\varnothing\ne S\subseteq A</math>가 [[공집합]]이 아니라고 하자. '''<math>S</math>로 생성된 부분 아핀 공간'''({{llang|en|affine subspace spanned by <math>S</math>}}) <math>\operatorname{Aff\,Span}_K(S)</math>는 <math>S</math>를 포함하는 <math>A</math>의 가장 작은 부분 아핀 공간이다. 이는 <math>S</math>를 포함하는 <math>A</math>의 모든 부분 아핀 공간의 [[교집합]]과 같다. 또한, 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{Aff\,Span}_K(S)=s+\operatorname{Span}_K(S-s)</math>
이다. 여기서 <math>\operatorname{Span}_K(-)</math>는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.

=== 평행 ===
체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 두 부분 아핀 공간 <math>B,C\subseteq A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>B,C</math>를 '''[[평행]]'''한다고 하고, 이를 <math>B\parallel C</math>로 표기한다.
* <math>V(B)=V(C)</math>
* <math>C=B+u</math>인 <math>u\in V(A)</math>가 존재한다.

체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 두 부분 아핀 공간 <math>B,C\subseteq A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>B</math>를 <math>C</math>에 '''약하게 평행'''({{llang|en|weakly parallel}})한다고 한다.
* <math>V(B)\subseteq V(C)</math>
* <math>B\parallel B'</math>인 부분 아핀 공간 <math>B'\subseteq C</math>가 존재한다.

== 성질 ==
체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 부분 집합 <math>\varnothing\ne B\subseteq A</math>가 공집합이 아니며, <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>B</math>는 <math>A</math>의 부분 아핀 공간이다.
* 임의의 <math>a,b\in B</math>에 대하여, <math>\operatorname{Aff\,Span}_K(\{a,b\})\subseteq B</math>이다.
즉, 체의 표수가 2가 아닐 경우, 주어진 부분 집합이 부분 아핀 공간일 필요충분조건은 [[아핀 직선]]에 대하여 닫혀있는 것이다. 표수 2의 체의 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 크기 2의 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math> 위의 아핀 공간의 모든 부분 집합은 아핀 직선에 대하여 닫혀있다.

주어진 아핀 공간의 부분 아핀 공간의 평행은 [[동치 관계]]를 이루며, 약한 평행은 [[부분 순서]]를 이룬다. 평행은 약한 평행을 함의한다. 체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 두 부분 아핀 공간 <math>B,C\subseteq A</math>가 약하게 평행한다면, <math>B=C</math>이거나 <math>B\cap C=\varnothing</math>이다. 또한, 임의의 부분 아핀 공간 <math>B\subseteq A</math> 및 이에 포함되지 않는 점 <math>a\in A\setminus B</math>에 대하여, <math>a\in B'</math>이며 <math>B\parallel B'</math>인 유일한 부분 아핀 공간 <math>B'\subseteq A</math>가 존재한다. 이는 [[에우클레이데스]]의 [[평행선 공준]]의 내용과 일치한다.

체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 부분 아핀 공간 <math>B,C\subseteq A</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\dim\operatorname{Aff\,Span}_K(B\cup C)=\begin{cases}
\dim(V(B)+V(C))+1&B\cap C=\varnothing\\
\dim(V(B)+V(C))&B\cap C\ne\varnothing
\end{cases}</math>

=== 해석기하학적 성질 ===
체 <math>K</math> 위의 유한 <math>d</math>차원 아핀 공간 <math>A</math>와 음이 아닌 정수 <math>0\le d'\le d</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 부분 집합 <math>B\subseteq A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>B</math>는 <math>A</math>의 <math>d'</math>차원 부분 아핀 공간이다.
* 다음을 만족시키는 <math>d-d'</math>차원 부분 벡터 공간 <math>V\subseteq\operatorname{Hom}_K(A,K)</math>가 존재한다. (여기서 <math>\operatorname{Hom}_K(-,K)</math>는 [[아핀 형식]]들로 구성된 벡터 공간이다.)
** <math>1\not\in V</math>
** <math>B=V^\perp</math> (여기서 <math>(-)^\perp</math>는 [[직교 여공간]]이다.)
이에 따라, 직교 여공간은 <math>A</math>의 <math>d'</math>차원 부분 아핀 공간들과 [[상수 함수]]를 포함하지 않는 <math>\operatorname{Hom}_K(A,K)</math>의 <math>d-d'</math>차원 부분 벡터 공간들 사이의 일대일 대응이며, 후자의 기저를 통해 전자를 [[연립 일차 방정식]]의 해의 공간으로 나타낼 수 있다. 즉, <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]
:<math>(f_1,\dots,f_{d-d'})\subseteq V</math>
가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
:<math>B=\ker f_1\cap\cdots\cap\ker f_{d-d'}</math>
이 경우, 주어진 <math>B</math>의 직교 여공간 <math>V</math>는 유일하나, 이를 해의 공간으로 하는 연립 일차 방정식은 <math>V</math>의 기저의 선택에 의존하므로 유일하지 않다.

== 예 ==
주어진 아핀 공간의 0차원 부분 아핀 공간은 [[한원소 집합]]들이며, 유한 <math>d</math>차원 아핀 공간의 <math>d</math>차원 부분 아핀 공간은 자기 자신으로 유일하다. 체 <math>K</math> 위의 아핀 공간 <math>A</math>의 두 점 <math>a,b\in A</math>로 생성된 부분 아핀 공간은 <math>a\ne b</math>일 경우 <math>a</math>, <math>b</math>를 지나는 [[아핀 직선]]이다.

=== 3차원 공간의 부분 공간 ===
체 <math>K</math> 위의 3차원 아핀 공간 <math>A</math>의 [[아핀 기저]] <math>(o;e_1,e_2,e_3)</math>이 주어졌다고 하자. <math>A</math>의 2차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다.
:<math>\{o+xe_1+ye_2+ze_3\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=0\}</math>
여기서 <math>(a,b,c)\in K^3\setminus\{(0,0,0)\}</math>이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다.
:<math>a+Ku+Kv=\{a+\lambda u+\mu v\colon\lambda,\mu\in K\}</math>
여기서 <math>a\in A</math>이며 <math>\{u,v\}\subseteq V(A)</math>는 [[선형 독립 집합]]이다. 이 경우 <math>(a;u,v)</math>는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다. 1차원 부분 아핀 공간은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합들이다.
:<math>\{o+xe_1+ye_2+ze_3\colon x,y,z\in K,\;ax+by+cz+d=a'x+b'y+c'z+d'=0\}</math>
여기서 <math>\{(a,b,c),(a',b',c')\}\subseteq K^3\setminus\{(0,0,0)\}</math>은 선형 독립 집합이다. 이는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 부분 집합과 동치이다.
:<math>a+Ku=\{a+\lambda u\colon\lambda\in K\}</math>
여기서 <math>a\in A</math>이며 <math>u\in V(A)\setminus\{0\}</math>이다. 이 경우 <math>(a;u)</math>는 이 부분 아핀 공간의 아핀 기저이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Audin
|이름=Michèle
|제목=Geometry
|언어=en
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2003
|isbn=978-3-540-43498-6
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-642-56127-6
}}
* {{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|저자링크=마르셀 베르제
|제목=Geometry I
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-540-93815-6
}}
* {{서적 인용|성=Gallier|이름=Jean|제목=Geometric methods and applications|언어=en|판=2|총서=Texts in Applied Mathematics|권=38|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2011|issn=0939-2475|isbn=978-1-4419-9960-3|doi=10.1007/978-1-4419-9961-0|lccn=2011929342}}

[[분류:아핀기하학]]
[[분류:선형대수학]]