부분 순서 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Hasse diagram of powerset of 3.svg|섬네일|세 원소 집합의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(\{x,y,z\})</math> 위의, 포함 관계에 의한 부분 순서를 그린 [[하세 도형]]]]
[[순서론]]에서 '''부분 순서 집합'''(部分順序集合, {{llang|en|partially ordered set, poset}}) 또는 '''반순서'''(半順序)는 먼저와 나중, 크고 작음, 멀고 가까움, 좋고 나쁨, [[선호]] 등의 순서적 개념을 추상화한 [[이항 관계]]를 갖춘 [[집합]]이다. 사람들 사이의 조상-후손 관계를 예로 들 수 있다. 부분 순서 집합은 비교 불가능한 두 원소를 가질 수 있다. 예를 들어, 어떤 두 사람은 둘 다 상대방의 조상이 아닐 수 있다. 또한, 부분 순서는 [[추이적 관계]]이어야 하며 (조상의 조상은 조상), [[반대칭 관계|반대칭적]]이어야 한다 (동시에 조상이자 후손일 수 없음). 부분 순서는 [[반사 관계|반사적]]인 것(<math>3\le 3</math>, <math>3\le10</math>에서의 <math>\le</math>)과 비반사적인 것(<math>5\nless5</math>, <math>5<7</math>에서의 <math><</math>)으로 나뉜다. 두 종류의 부분 순서는 [[일대일 대응]]하며, 어느 한 종류의 부분 순서가 주어지면 남은 하나도 자동으로 따라온다.

[[유한 집합|유한]] 부분 순서 집합은 [[하세 도형]]을 통해 시각적으로 나타낼 수 있다.<ref>{{서적 인용|language=en|last1=Merrifield |first1=Richard E. |last2=Simmons|first2=Howard E.|authorlink2=Howard Ensign Simmons, Jr.|title=Topological Methods in Chemistry |year=1989|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|isbn=0-471-83817-9 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471838179.html|accessdate=27 July 2012 |pages=28|quote=A partially ordered set is conveniently represented by a ''Hasse diagram''...}}</ref> 예를 들어, [[가계도]]는 어떤 가문의 조상-후손 부분 순서를 그린 [[하세 도형]]이다. 하세 도형에서, 집합의 원소들은 원으로 나타내며, 원소 사이의 순서 관계는 두 원을 잇는 [[선분]]으로 나타낸다. 원이나 선분은 서로 겹치지 않아야 하며, 작은 원소는 큰 원소보다 낮은 곳에 있어야 한다. 유한 개의 원소를 갖는 경우, 이는 항상 만족 가능하다.

부분 순서 집합의 개념은 [[원순서 집합]]보다 강하고, [[전순서 집합]]보다 약하다. [[전순서 집합]]는 임의의 두 원소가 비교 가능한 부분 순서 집합이다. [[원순서 집합]]의 개념은 부분 순서 집합의 개념에서, 서로 다른 두 원소가 똑같은 순위를 가지는 경우를 허용하여 얻는다. [[범주론]]적으로, 부분 순서 집합의 개념은 서로 다른 대상이 [[동형]]이 아닌 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]의 개념과 [[동치]]이다. [[위상수학]]적으로, 부분 순서 집합은 [[알렉산드로프 공간|알렉산드로프]] [[콜모고로프 공간]]의 개념과 [[동치]]이다. 즉, 이들 개념은 같은 이론의 서로 다른 측면들이다.

== 정의 ==
=== 순서론적 정의 ===
부분 순서 집합의 개념은 통상적으로 [[반사 관계]]를 사용하여 정의된다. [[집합]] <math>X</math> 위의 '''(반사/비절대/비순) 부분 순서'''((反射/非絶對/非純)部分順序, {{llang|en|(reflexive/non-strict) partial order}})는 다음 세 조건을 만족시키는 [[이항 관계]] <math>\le\subseteq X^2</math>이다.
* ([[반사 관계]]) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\le x</math>
* ([[추이적 관계]]) 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <math>x\le y\le z</math>라면 <math>x\le z</math>
* ([[반대칭 관계]]) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x\le y\le x</math>라면 <math>x=y</math>
'''부분 순서 집합''' <math>(X,\le)</math>은 부분 순서를 갖춘 [[집합]]이다. 여기에서 반대칭 조건을 생략하면, [[원순서]]의 개념을 얻는다. 부분 순서 집합이 다음 조건을 추가로 만족시키면, '''[[전순서 집합]]'''이라고 한다.
* ([[완전 관계]]) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x\le y</math>이거나 <math>y\le x</math>

다음 정의는 비반사 관계를 사용하며, 반사 관계를 통한 사용한 정의와 [[동치]]이다. [[집합]] <math>X</math> 위의 '''비반사/절대/순 부분 순서'''(絶對/純部分順序, {{llang|en|irreflexive/strict partial order}})는 다음 두 조건을 만족시키는 [[이항 관계]] <math><\subseteq X^2</math>이다.
* (비반사 관계) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\not<x</math>
* ([[추이적 관계]]) 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <math>x<y<z</math>라면 <math>x<z</math>
두 조건으로부터 추가로 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.<ref>{{서적 인용|language=en|last1=Flaška|first1=V.|last2=Ježek|first2=J.|last3=Kepka|first3=T.|last4=Kortelainen|first4=J.|title=Transitive Closures of Binary Relations I|year=2007|publisher=School of Mathematics - Physics Charles University|location=Prague|page=1|url=http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf?|확인날짜=2013년 8월 20일|보존url=https://web.archive.org/web/20131102214049/http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf|보존날짜=2013년 11월 2일|url-status=dead}} Lemma 1.1 (iv).</ref>
* (비대칭 관계) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x<y</math>라면 <math>y\not<x</math>
'''부분 순서 집합''' <math>(X,<)</math>은 비반사 부분 순서를 갖춘 [[집합]]이다. 부분 순서 집합이 다음 조건을 추가로 만족시키면, '''[[전순서 집합]]'''이라고 한다.
* (삼분성) 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <math>x<y</math>이거나, <math>x=y</math>이거나, <math>y<x</math>

반사 관계를 통한 정의와 비반사 관계를 통한 정의는 서로 [[동치]]이다. 구체적으로, 반사 부분 순서 <math>\le\subseteq X^2</math>가 주어졌을 때, 이항 관계
:<math>x<y\iff x\le y\ne x\qquad(x,y\in X)</math>
는 비반사 부분 순서를 이룬다. 반대로, 비반사 부분 순서 <math><\subseteq X^2</math>가 주어졌을 때, 이항 관계
:<math>x\le y\iff x<y\lor x=y\qquad(x,y\in X)</math>
는 반사 부분 순서이다. 또한, 두 방향의 대응 관계는 서로의 역이며, 따라서 주어진 집합 위 반사 부분 순서와 비반사 부분 순서 사이의 [[일대일 대응]]을 이룬다.

부분 순서 집합 <math>(X,\le)</math>에서, <math>x\ge y</math>는 <math>y\le x</math>를 뜻하는 표기이다. <math>x>y</math>는 <math>y<x</math>를 뜻한다.

=== 범주론적 정의 ===
[[범주론]]적으로, [[원순서 집합]]의 개념은 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]의 개념과 [[동치]]이다. 구체적으로, 임의의 [[원순서 집합]] <math>(X,\le)</math>은 다음과 같은 [[범주 (수학)|범주]]로 여길 수 있다.
* <math>(X,\le)</math>의 대상은 <math>X</math>의 원소이다.
* <math>(X,\le)</math>의 [[사상 (수학)|사상]]은 다음과 같다. 만약 <math>x\le y</math>라면, 유일한 사상 <math>x\to y</math>이 존재한다. 만약 <math>x\nleq y</math>라면, 사상 <math>x\to y</math>은 존재하지 않는다.
이 경우, '''부분 순서 집합'''은 다음 조건을 추가로 만족시키는 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]이다.
* [[뼈대 범주]]이다. 즉, 서로 다른 두 대상은 [[동형]]이 아니다.

=== 위상수학적 정의 ===
[[위상수학]]에서, [[원순서 집합]]의 개념은 [[알렉산드로프 공간]]의 개념과 [[동치]]이다. 이 경우, [[원순서 집합]] <math>(X,\le)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>(X,\le)</math>는 부분 순서 집합이다.
* <math>(X,\le)</math>에 대응하는 [[알렉산드로프 공간]]은 [[콜모고로프 공간]]이다.
따라서, 부분 순서 집합의 개념은 [[콜모고로프 공간]]인 [[알렉산드로프 공간]]의 개념과 [[동치]]이다. 사실, 서로 [[수반 함자]]를 이루는 두 함자 <math>\operatorname{Proset}\leftrightarrows\operatorname{Top}</math>를 적절히 제한하면, 부분 순서 집합의 범주 <math>\operatorname{Poset}</math>와 [[콜모고로프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Kolm}</math> 사이의 한 쌍의 [[수반 함자]]
:<math>\operatorname{Poset}\leftrightarrows\operatorname{Kolm}</math>
를 얻는다. 또한, <math>\operatorname{Kolm}</math> 대신 [[콜모고로프 공간|콜모고로프]] [[알렉산드로프 공간]]의 범주를 사용하면, 두 범주 사이의 동형을 얻는다.

=== 순서 보존 함수 ===
[[파일:Monotonic but nonhomomorphic map between lattices.gif|섬네일|순서 반사 함수가 아닌 순서 보존 함수의 예]]
[[파일:Birkhoff120.svg|섬네일|두 집합 사이의 순서 동형. 왼쪽은 120의 약수들의 집합 위의, 약수 관계에 의한 부분 순서. 오른쪽은 120의 소수 거듭제곱 꼴 약수들의 집합 위의, 부분 집합 관계에 의한 부분 순서.]]
두 부분 순서 집합 <math>(X,\le)</math>, <math>(Y,\le)</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''순서 보존 함수'''({{llang|en|order-preserving map}})라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>x\le y</math>라면 <math>f(x)\le f(y)</math>
또한, <math>f</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''순서 반사 함수'''({{llang|en|order-reflecting map}})라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>f(x)\le f(y)</math>라면 <math>x\le y</math>
또한, 순서 보존 순서 반사 함수를 '''순서 매입'''({{llang|en|order-embedding}})라고 하며, [[전사 함수|전사]] 순서 매입를 '''순서 동형'''({{llang|en|order isomorphism}})라고 한다.

예를 들어, 자연수 집합(약수 관계에 의한 부분 순서)에서 그 [[멱집합]](포함 관계에 의한 부분 순서)으로 가는 함수 <math>f:\N\to\mathcal{P}(\N)</math>가 임의의 자연수를 [[소인수]]들의 집합으로 대응시킨다면, 이는 순서 보존 사상이다. 임의의 자연수는 그의 약수의 소인수를 소인수로 가지기에 그러하다. 하지만 이는 [[단사 함수|단사]]가 아니며 (<math>f(6)=f(12)=\{2,3\}</math>) 순서 반사도 아니다(<math>\{2,3\}\subseteq\{2,3\}</math>, 하지만 <math>12\not\le 6</math>). 자연수를 소수 거듭제곱 형식의 약수들의 집합으로 대응시키는 함수 <math>g:\N\to\mathcal{P}(\N)</math>는 순서 보존, 순서 반사이며 따라서 순서 매입이다, 전단사가 아니므로 (<math>\{4\}</math>의 역상이 존재하지 않는다) 순서 동형은 아니다. 그러나 [[공역]]을 <math>g(\N)</math>으로 제한하면 순서 동형이 된다. 집합과 멱집합 사이의 순서 동형은 더 넓은 의미의 부분 순서인 [[분배 격자]]로 일반화할 수 있다([[버코프의 표현 정리]] 참조).

=== 극값 ===
[[파일:Hasse diagram of powerset of 3 no greatest or least.svg|섬네일|{{nowrap|{{mset|''x'', ''y'', ''z''}}}}의 멱집합에서 공집합과 자기 자신을 제외한 집합. 위의 세 원소는 극대 원소이며, 아래의 세 원소는 극소 원소이다. 최대 원소와 최소 원소는 존재하지 않는다. {{nowrap|{{mset|''x'', ''y''}}}}는 부분 집합 {{nowrap|{{mset|{{mset|''x''}}, {{mset|''y''}}}}}}의 상계이다.]]
[[파일:Infinite lattice of divisors.svg|섬네일|약수 관계에 의한 순서를 부여한 음이 아닌 정수 집합. 최대 원소는 0, 최소 원소는 1.]]
부분 순서 집합 <math>P</math>에는 [[최대 원소와 최소 원소|최대 · 최소]], [[극대 원소와 극소 원소|극대 · 극소]], [[상계와 하계|상계 · 하계]]의 개념이 존재한다.

; [[최대 원소와 최소 원소]]
: 모든 <math>a\in P</math>에 대해 <math>g\ge a</math>인 <math>g\in P</math>를 <math>P</math>의 최대 원소라고 한다. 모든 <math>a\in P</math>에 대해 <math>l\le a</math>인 <math>l\in P</math>를 <math>P</math>의 최소 원소라고 한다. 부분 순서 집합은 최대 · 최소 원소를 많아야 하나씩 가질 수 있다.
; [[극대 원소와 극소 원소]]
: <math>a>M</math>인 <math>a\in P</math>가 존재하지 않는 <math>M\in P</math>를 <math>P</math>의 극대 원소라고 한다. <math>a<m</math>인 <math>a\in P</math>가 존재하지 않는 <math>m\in P</math>를 <math>P</math>의 극소 원소라고 한다. 만약 최대 원소가 존재한다면 그가 바로 유일한 극대 원소이다. 그렇지 않은 경우 극대 원소는 여러 개 있을 수 있다. 극소 원소와 최소 원소 사이에도 비슷한 관계가 있다.
; [[상계와 하계]]
: <math>P</math>의 부분집합 <math>A</math>에 대하여, <math>A</math>의 상계 <math>x</math>는 <math>a\le x</math>를 모든 <math>a\in A</math>에 대해 성립하게 하는 <math>P</math>의 원소이다. <math>A</math>의 하계 <math>x</math>는 <math>a\ge x</math>를 모든 <math>a\in A</math>에 대해 성립하게 하는 <math>P</math>의 원소이다. 상계와 하계 모두 <math>A</math>에 속하지 않을 수 있다. <math>A</math>의 최대 원소와 최소 원소가 존재한다면, 그들은 각각 <math>A</math>의 하나의 상계, 하계이다.

예를 들어 양의 정수 집합과 약수 관계로 이루어진 부분 순서 집합 <math>(\Z^+,|)</math>를 생각하면, 1은 그의 최소 원소이다. 최대 원소와 극대 원소는 존재치 않는다. 여기에 0을 추가하면 0이 최대 원소가 된다. 1보다 큰 정수만을 생각하면, 최소 원소가 존재하지 않게 되고, 모든 [[소수 (수론)|소수]]가 극소 원소가 된다. 이러한 집합에서, 부분 집합 <math>\{2,3,5,10\}</math>은 상계 60을 가지며 하계는 존재하지 않는다. 2의 거듭제곱들의 집합은 2를 하계로 가지며 상계가 존재하지 않는다.

== 연산 ==
[[파일:Lexicographic order on pairs of natural numbers.svg|섬네일|ℕ×ℕ 위의 사전식 순서]]
[[파일:N-Quadrat, gedreht.svg|섬네일|ℕ×ℕ 위의 직접곱 순서]]
[[파일:Strict product order on pairs of natural numbers.svg|섬네일|ℕ×ℕ 위의, 절대 순서 직접곱의 [[반사 폐포]]. (3, 3)보다 큰 원소들은 (3, 3)과 빨간 선으로 이어져있고, (3, 3)보다 작은 원소들은 (3, 3)과 초록 선으로 이어져 있다.]]

=== 반대 순서 집합 ===
부분 순서 집합 <math>(X,\le)</math>이 주어졌을 때, <math>X</math> 위에 다음과 같은 부분 순서 <math>\ge</math>를 정의할 수 있다.
:<math>x\ge y\iff y\le x\qquad(x,y\in X)</math>
이 경우, <math>(X,\ge)</math>를 <math>(X,\le)</math>의 '''반대 순서 집합'''이라고 한다.

부분 순서 <math>\le</math> · 절대 부분 순서 <math><</math> · 반대 부분 순서 <math>\ge</math> · 반대 부분 순서의 절대 부분 순서 <math>></math> 가운데 임의의 하나가 결정되면, 나머지 셋 역시 결정된다.

=== 선형합 ===
부분 순서 집합의 전순서 집합 <math>(\{(X_i,\le_i)\}_{i\in I},\le)</math>이 주어졌을 때, [[분리 합집합]] <math>\textstyle\sqcup_{i\in I}X_i</math> 위에 다음과 같은 부분 순서 <math>\le</math>를 정의할 수 있다.
:<math>x\le y\iff i<j\lor(i=j\land x\le y)\qquad(x\in X_i,\;y\in X_j)</math>
이를 '''선형합'''({{llang|en|linear sum}})이라고 한다.

=== 직접곱 ===
부분 순서 집합의 족 <math>\{(X_i,\le_i)\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, [[곱집합]] <math>\textstyle\prod_{i\in I}X_i</math> 위에 다음과 같은 부분 순서 <math>\le</math>를 정의할 수 있다.
:<math>(x_i)_{i\in I}\le(y_i)_{i\in I}\iff\forall i\in I\colon x_i\le y_i\qquad(x_i,y_i\in X_i)</math>
이 경우, <math>\textstyle(\prod_{i\in I}X_i,\le)</math>를 <math>\{(X_i,\le_i)\}_{i\in I}</math>의 '''직접곱'''({{llang|en|direct product}})이라고 한다.

=== 절대 부분 순서의 직접곱의 반사 폐포 ===
마찬가지로, 절대 부분 순서 집합의 직접곱을 정의할 수 있으며, 이에 대응하는, 곱집합 위의 부분 순서는 다음과 같다.
:<math>(x_i)_{i\in I}\le(y_i)_{i\in I}\iff(x_i)_{i\in I}=(y_i)_{i\in I}\lor\forall i\in I\colon x_i<y_i\qquad(x_i,y_i\in X_i)</math>

=== 사전식 순서 ===
부분 순서 집합의 [[정렬 집합]] <math>(\{(X_i,\le_i)\}_{i\in I},\le)</math>이 주어졌을 때, 곱집합 <math>\textstyle\prod_{i\in I}X_i</math> 위에 다음과 같은 이항 관계 <math>\le</math>를 정의할 수 있다.
:<math>(x_i)_{i\in I}\le(y_i)_{i\in I}\iff(x_i)_{i\in I}=(y_i)_{i\in I}\lor x_{\min\{i\colon x_i\ne y_i\}}<y_{\min\{i\colon x_i\ne y_i\}}\qquad(x_i,y_i\in X_i)</math>
이를 '''[[사전식 순서]]'''라고 한다.

== 성질 ==
=== 부분 순서의 수 ===
크기 <math>n</math>의 집합 위의 부분 순서의 수는 다음과 같다. (<math>n=0,1,2,\dots</math>)
:1, 1, 3, 19, 219, 4231, 130023, ... {{OEIS|A1035}}
크기 <math>n</math>의 집합 위의 부분 순서의 동형류의 수는 다음과 같다. (<math>n=0,1,2,\dots</math>)
:1, 1, 2, 5, 16, 63, 318, 2045, 16999, 183231, 2567284, ... {{OEIS|A112}}

== 예 ==
모든 [[전순서]]는 부분 순서이다. 예를 들어, [[자연수]] 집합 <math>\mathbb N</math>이나 [[정수]] 집합 <math>\mathbb Z</math>, [[유리수]] 집합 <math>\mathbb Q</math>, [[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math> 위의 표준적인 순서는 전순서이므로 부분 순서이다.

집합 <math>S</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(S)</math> 위의 포함 관계 <math>\subseteq</math>는 부분 순서이며, 만약 <math>S</math>가 두 개 이상의 원소를 갖는다면 이는 [[전순서]]가 아니다. 또한, 이를 <math>\mathcal P(S)</math>의 부분 집합에 국한시켜도 역시 부분 순서를 이룬다. 예를 들어,

* [[군 (수학)|군]]의 부분군들의 집합
* [[벡터 공간]]의 부분 벡터 공간들의 집합
* [[환 (수학)|환]]의 [[아이디얼]]들의 집합
* [[그래프]]의 [[부합 (그래프 이론)|부합]]들의 집합

등등은 특정한 부분 집합들의 집합이므로 포함 관계를 통해 부분 순서를 갖는다.

[[부분수열]]에 의한 관계는 특정한 집합 (예를 들어 어떤 수열의 부분수열들의 집합, 집합 <math>X</math>의 원소를 항으로 하는 수열들의 집합) 위의 부분 순서이다. 이는 일반적으로 전순서가 아니다. 이와 비슷하게 [[문자열]]들의 집합에서 [[부속문자열]]에 의한 관계는 부분 순서이다.

양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math> 위의 [[약수]] 관계 <math>\mid</math>(<math>a\mid b</math>는 <math>a</math>가 <math>b</math>의 약수라는 의미)는 부분 순서이며, 이는 전순서가 아니다.

[[비순환 유향그래프]]의 꼭짓점들의 집합은 [[도달가능성]]에 의한 부분 순서를 가진다.

부분 순서 집합 <math>S</math>의 [[수열 공간]] <math>S^{\N}</math>에 정의된 [[성분별 순서]]는 부분 순서이다.
:<math>(a_n)_{n\in\N}\le(b_n)_{n\in\N}\ \iff\ \forall n\in\N:a_n\le b_n</math>

== 응용 ==
부분 순서 <math>\le\subseteq X^2</math>에 대하여, [[전순서]] <math>\le\subseteq\le^*\subseteq X^2</math>를 <math>\le</math>의 선형 확장이라고 한다. 예를 들어, 부분 순서 집합의 직접곱의 한 가지 선형 확장은 사전식 순서이다. [[선택 공리]] 아래, 임의의 부분 순서는 선형 확장을 갖는다. [[컴퓨터 과학]]에서, [[위상 정렬]]은 부분 순서의 선형 확장을 구하는 [[알고리즘]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[순서론]]
* [[전순서]]
* [[격자 (순서론)]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|language=en|first=Jayant V. |last=Deshpande|title= On Continuity of a Partial Order|journal= Proceedings of the American Mathematical Society|volume= 19|year= 1968|pages= 383–386|issue= 2|doi=10.1090/S0002-9939-1968-0236071-7|postscript=.}}
* {{서적 인용|language=en|first=Bernd S. W. |last=Schröder|title= Ordered Sets:  An Introduction |publisher=Birkhäuser, Boston|year=2003}}
* {{서적 인용|language=en|first=Richard P.|last=Stanley|title=Enumerative Combinatorics 1|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=49|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-66351-2}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용|Hasse diagram}}
* {{SpringerEOM|title=Order (on a set)}}
* {{SpringerEOM|title=Partially ordered set}}
* {{매스월드|id=PartialOrder|title=Partial order}}
* {{매스월드|id=PartiallyOrderedSet|title=Partially ordered set}}

{{전거 통제}}

[[분류:순서론]]
[[분류:관계 (수학)]]