부분 대상과 몫 대상 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''부분 대상'''(部分對象, {{llang|en|subobject}})은 어떤 범주에서 주어진 대상의 일부분으로 여길 수 있는 구조이며, '''몫 대상'''(-對象, {{llang|en|quotient object}})은 어떤 범주에서 주어진 대상에 [[동치 관계]]를 가한 것으로 여길 수 있는 구조이다. [[부분집합]]이나 [[부분군]] 및 [[동치류]] 집합, [[몫군]]의 개념을 추상화한 것이다.

== 정의 ==
부분 대상과 몫 대상은 서로 쌍대되는 개념이다. 즉, 범주 <math>\mathcal C</math>에서 대상 <math>X</math>의 부분 대상 범주 <math>\operatorname{Sub}_{\mathcal C}(X)</math>가 주어졌다면,
:<math>(\operatorname{Sub}_{\mathcal C}(X))^{\operatorname{op}}\equiv\operatorname{Quot}_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X)</math>
이다. 여기서 <math>\equiv</math>는 범주의 동형이다.

=== 부분 대상 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>의 '''부분 대상'''은 <math>X</math>를 [[공역]]으로 하는 [[단사 사상]]들의 [[동치류]]이다. 여기서 사용되는 [[동치 관계]]는 다음과 같다. 만약
:<math>f\colon Y\hookrightarrow X</math>
:<math>g\colon Z\hookrightarrow X</math>
이며,
:<math>f=g\circ h</math>
:<math>g= f \circ\tilde h</math>
인 사상
:<math>h\colon Y\to Z</math>
:<math>\tilde h\colon Z\to Y</math>
이 존재한다면,
:<math>f\sim g</math>
로 놓는다. (이 경우 <math>h</math>와 <math>\tilde h</math>는 유일하며, [[동형 사상]]이며, 서로 [[역사상]]이다.)

<math>X</math>의 부분 대상의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{Sub}(X)</math>에는 다음과 같은 자연스러운 [[부분 순서]] <math>\le</math>가 정의된다.
:<math>[f]\le[g]\iff\exists h\colon f=g\circ h</math>
이에 따라, <math>\operatorname{Sub}(X)</math>는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) [[범주 (수학)|범주]]로 간주할 수 있다.

=== 몫 대상 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>의 '''몫 대상'''은 <math>X</math>를 [[정의역]]으로 하는 [[전사 사상]]들의 [[동치류]]이다. 여기서 사용되는 [[동치 관계]]는 다음과 같다. 만약
:<math>f\colon X\twoheadrightarrow Y</math>
:<math>g\colon X\twoheadrightarrow Z</math>
이며,
:<math>f=h\circ g</math>
:<math>g=\tilde h\circ f</math>
인 사상
:<math>h\colon Z\to Y</math>
:<math>\tilde h\colon Y\to Z</math>
이 존재한다면,
:<math>f\sim g</math>
로 놓는다. (이 경우 <math>h</math>와 <math>\tilde h</math>는 유일하며, [[동형 사상]]이며, 서로 [[역사상]]이다.)

<math>X</math>의 몫 대상의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{Quot}(X)</math>에는 다음과 같은 자연스러운 [[부분 순서]] <math>\le</math>가 정의된다.
:<math>[f]\le[g]\iff\exists h\colon h\circ f=g</math>
이에 따라, <math>\operatorname{Quot}(X)</math>는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) [[범주 (수학)|범주]]로 간주할 수 있다.

=== 정멱 범주 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에서, 주어진 대상 <math>X</math>의 부분 대상 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{Sub}(X)</math>은 [[고유 모임]]일 수 있다. 만약 모든 대상의 부분 대상 모임이 [[집합]]이라면, <math>\mathcal C</math>를 '''정멱 범주'''(整冪範疇, {{llang|en|well-powered category}})라고 한다.

마찬가지로, [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 모든 대상의 몫 대상 모임이 [[집합]]이라면, <math>\mathcal C</math>를 '''쌍대 정멱 범주'''(雙對整冪範疇, {{llang|en|co-well-powered category}})라고 한다.

정의에 따라, [[부분 대상 분류자]]를 갖는 [[국소적으로 작은 범주]]는 정멱 범주이다.

== 예 ==
[[순서수]]의 [[고유 모임]]에 [[최대 원소]]를 추가하여 만든 [[정렬 전순서 집합|정렬 전순서 모임]]
:<math>\operatorname{Ord}+1=\operatorname{Ord}\sqcup\{\infty\}</math>
은 범주로서 정멱 범주가 아니다.

[[우리손 공간]]과 [[연속 함수]]들의 범주 <math>\operatorname{Ury}</math>는 쌍대 정멱 범주가 아니다.<ref name="Schröder">{{저널 인용
|성1=Schröder
|이름1=Joachim
|제목=The category of Urysohn spaces is not cowellpowered
|언어=en
|저널=Topology and its Applications
|권=16
|호=3
|쪽=237–241
|날짜=1983
|issn=0166-8641
|doi=10.1016/0166-8641(83)90020-2
|mr=0722116
|zbl=0534.54004
}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[부분 대상 분류자]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Subobject}}
* {{eom|title=Quotient object}}
* {{nlab|id=subobject|title=Subobject}}
* {{nlab|id=quotient object|title=Quotient object}}
* {{nlab|id=well-powered category|title=Well-powered category}}

[[분류:범주론]]