부분집합 문서 원본 보기

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[[파일:Set subsetAofB.svg|섬네일|200px|부분집합 관계를 표현한 벤 다이어그램. ''A''는 ''B''의 부분집합이다.]]

[[집합론]]에서 [[집합]] ''B''의 '''부분집합'''(部分集合, {{llang|en|subset}}) ''A''는, 모든 원소가 ''B''에도 속하는 집합이다. 이런 관계를 주로 ''A'' ⊆ ''B''라 표기한다. 예를 들어 집합 {1, 2}는 {1, 2, 3}의 부분집합이다. [[벤 다이어그램]]에서는 부분집합 관계를 하나가 하나를 완전히 감싼 두 원으로 나타낸다. ''A'' = ''B''인 경우에도 A는 B의 부분집합이 되는데, 그렇지 않은 부분집합을 '''진부분집합'''(眞部分集合, {{llang|en|proper subset}})이라고 한다.

임의의 집합의 원소에 일정한 제약을 가해 그 집합의 부분집합을 만들 수 있다. 이는 [[ZFC]]의 [[분류 공리꼴]]에도 반영된다.

집합의 모든 부분집합을 모아놓은 집합을 [[멱집합]]이라고 한다.

== 정의, 용어, 표기법 ==
집합 ''A'', ''B''가 주어졌을 때, ''A''의 모든 원소가 ''B''의 원소인 경우, 즉
:<math>\forall x \in A : x \in B</math>
가 성립하는 ''포함된다''', 또는 ''B''가 ''A''를 '''포함한다'''({{llang|en|include, contain}})고도 한다. 기호로는

:<math>A \subseteq B</math> 또는 <math>B \supseteq A</math>

로 나타낸다.

''A''가 ''B''의 부분집합이지만 같지는 않은 경우, 즉 ''A''가 ''B''의 부분집합이고, ''A''에 속하지 않는 ''B''의 원소가 적어도 하나 존재하는 경우, ''A''는 ''B''의 '''진부분집합'''이라고 한다. 기호로는

:<math>A \subsetneq B</math> 또는 <math>B \supsetneq A</math>

로 나타낸다.

때로는 부분집합, 진부분집합 관계를 각각 <math>\subset, \subsetneq</math> 기호로 나타내거나, 각각 <math>\subseteq, \subset</math>로 나타낸다.

드물게 ''A''가 ''B''의 부분집합이라 하는 대신 ''B''가 ''A''의 '''초집합'''(超集合) 또는 '''상위집합'''(上位集合, {{llang|en|superset}}), ''A''가 ''B''의 진부분집합이라 하는 대신 ''B''가 ''A''의 '''진초집합''' 또는 '''진상위집합'''이라 표현하는 경우도 있다.

== 다음에서 A,B,C는 집합, S는 [[전체집합]]이다.
* [[공집합]] ∅은 모든 집합의 부분집합이다.
* A ⊆ A
* A ⊆ B 이고 B ⊆ A 이면, A = B이며, 또한 [[역 (수학)|역]]도 [[참 (수학)|참]]이다.
* A ⊆ B 이고 B ⊆ C 이면, A ⊆ C이다.
* A ⊆ S
* A ⊆ (A ∪ B)
* A ⊆ C 이고 B ⊆ C 이면, (A ∪ B) ⊆ C
* A ∩ B ⊆ A
* C ⊆ A 이고 C ⊆ B 이면, C ⊆ (A ∩ B)
* 다음은 [[동치]]이다.
** A ⊆ B
** A ∩ B = A
** A ∪ B = B
** A − B = ∅
** B의 [[여집합]] ⊆ A의 [[여집합]]

== 예 ==
(부분집합 관계가 만족하는 더 많은 성질은 [[집합대수#포함관계 대수 법칙|여기]] 참고)

모든 집합은 [[공집합]]과 자기 자신을 부분집합으로 갖는다. 어떤 집합의 부분집합을 모두 모아놓은 집합을 그 집합의 [[멱집합]]이라고 하는데, 이는 자연히 적어도 공집합과 그 집합을 원소로 둔다. 부분집합 관계는 집합의 멱집합 위에서 자주 다루어지며, 이는 [[부분순서]]의 전형적인 예이다.

== 같이 보기 ==
* [[멱집합]]
* [[전체집합]]

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]