부분공간 위상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|부분공간|[[벡터 공간]]의 부분공간|부분 벡터 공간}}
[[위상수학]]에서 '''부분공간 위상'''({{lang|en|subspace topology}})이란 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''X'' 의 위상으로부터 자연스럽게 유도되는 ''X'' 의 부분집합의 위상이다. 부분공간 위상을 갖는 ''X'' 의 부분집합을 '''부분공간'''({{lang|en|subspace}})라 한다.

== 정의 ==
''X'' 가 ''T''를 위상으로 갖는 위상 공간이라 하자. 이 때, ''X'' 의 임의의 부분집합 ''Y''에 대해 다음과 같이 정의된 모임
:<math>T_Y = \{ Y \cap U | U \in T \}</math>
는 ''Y'' 의 위상이 되며 이러한 위상을 '''부분공간 위상'''이라 한다. 그리고 이 위상을 갖는 [[부분 집합]] (''Y'', ''T''<sub>''Y''</sub>)를 '''부분공간'''이라 한다. 보통 위상 공간의 부분 집합을 말할 때, 특별한 말이 없는 경우 부분공간 위상을 갖는 것으로 간주한다.

=== 부분공간 위상의 기저 ===
전체 위상 공간 ''X'' 의 위상 ''T''에 대한 기저 ''B'' 가 주어지면 부분공간의 위상에 대한 기저도 자연스럽게 얻어진다. 부분공간 위상의 정의와 마찬가지로 아래의 모임
:<math>B_Y = \{ b \cap Y  | b \in B \}</math>
은 부분공간 위상의 기저가 된다.

== 예 ==
여기서 <math>\mathbb R</math> 은 표준적 위상을 갖는 [[실수선]]이다.
* 실수 <math>\mathbb R</math>의 부분공간으로서의 [[자연수]] 집합 <math>\mathbb N</math>의 부분공간 위상은 [[이산 위상]]이다.
* 실수 <math>\mathbb R</math>의 부분공간으로서의 [[유리수]] 집합 <math>\mathbb Q</math>의 부분공간 위상은 [[이산 위상]]이 아니다. (예를 들어, {0} 이 [[열린 집합]]이 아니다. 0이외에도 임의의 유리수 점 q를 잡아 아무리 작은 입실론 값을 잡아 오픈 셋을 형성해도 유리수의 조밀성에 의해 {q}만 남게 만들 수가 없으므로 이산 위상이 아니다.)
* 실수 <math>\mathbb R</math>의 부분공간으로서의 [[폐구간]] [0,1] 은 부분공간 위상에선 열리고 닫힌 집합이지만, 실수 전체에서 보면 열린 집합은 아니지만 닫힌 집합이다.
* 실수 <math>\mathbb R</math>의 부분공간으로서의 <math>[0,1]\cup[2,3]</math> 은 서로 만나지 않는 두 열린 집합의 합집합이므로 [[비연결공간]]이다.
* 실수 <math>\mathbb R</math>의 부분공간으로서의 ''S'' = [0,1)에서 [0,&frac12;)는 열린 집합이지만, 실수 전체에선 열린 집합이 아니다. 마찬가지로, [&frac12;, 1)는 ''S''에서 닫힌 집합이지만 실수 전체에선 닫힌 집합이 아니다. ''S'' 자체는 ''S''에서 열린 집합이고 닫힌 집합이지만, 실수 전체에선 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아니다.

== 성질 ==
* ''Y'' 가 ''X''에서 열린 집합이면 ''Y''에서 열린 집합은 ''X''에서도 열린 집합이다.
* ''Y''<sub>1</sub>, ''Y''<sub>2</sub> 가 각각 ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub> 의 부분집합이면 ''Y''<sub>1</sub> × ''Y''<sub>2</sub> 의 [[곱위상]]은 ''X''<sub>1</sub> × ''X''<sub>2</sub> 의 부분공간 위상과 같다.

== 같이 보기 ==
* [[곱위상]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}

[[분류:일반위상수학]]