부대칭 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Matrix symmetry qtl2.svg|섬네일|5 × 5 반대각선 대칭행렬의 예]]
[[수학]]에서 '''부대칭 행렬'''(副對稱行列, {{llang|en|secondary symmetric matrix, persymmetric matrix}}) 또는 '''반대각선 대칭 행렬'''(反對角線對稱行列, {{llang|en|skew-diagonal symmetric matrix}})은 왼쪽 아래와 오른쪽 위를 잇는 대각선에 대하여 대칭인 [[정사각 행렬]]이다.<ref name="Golub">{{서적 인용|성1=Golub|이름1=Gene H.|성2=Van Loan|이름2=Charles F.|제목=Matrix computations|url=https://archive.org/details/matrixcomputatio0004golu|언어=en|판=4|총서=Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences|출판사=The Johns Hopkins University Press|위치=Baltimore|날짜=2013|isbn=978-1-4214-0794-4|mr=3024913|zbl=1268.65037|lccn=2012943449}}</ref><ref name="Reid">{{저널 인용
|url=https://www.jstor.org/stable/2133114
|성=Reid
|이름=Russell M.
|제목=Some Eigenvalue Properties of Persymmetric Matrices
|언어=en
|저널=SIAM Review
|권=39
|호=2
|쪽=313-316
|출판사=Society for Industrial and Applied Mathematics
|날짜=1997-06
}}</ref><ref name="De Maio">{{저널 인용
|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0165168402004504
|성1=De Maio
|이름1=Antonio
|제목=Maximum likelihood estimation of structured persymmetric covariance matrices
|언어=en
|저널=Signal Processing
|권=83
|호=3
|쪽=633–640
|날짜=2003
|issn=0165-1684
|doi=10.1016/S0165-1684(02)00450-4
}}</ref>

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> '''[[교환 행렬]]'''은 다음과 같다.
:<math>J\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>
:<math>J_{ij}=\delta_{i,n+1-j}=\begin{cases}
1 & i=n+1-j \\
0 & i\ne n+1-j
\end{cases}</math>

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 '''부전치'''(副轉置, {{llang|en|secondary transpose}})는 <math>JM^\top J</math>이다. 여기서 <math>M^\top</math>은 [[전치 행렬]]이다. 이는 <math>M</math>을 [[부대각선]]에 대하여 전치한 것과 같다. 즉, 각 <math>i,j</math>에 대하여
:<math>(JM^\top J)_{ij}=M_{n+1-j,n+1-i}</math>
이다.

부전치를 사용하여 다음과 같은 행렬의 종류들을 정의할 수 있다.
* 만약 <math>JM^\top J=M</math>라면, <math>M</math>을 '''부대칭 행렬'''이라고 한다.<ref name="Golub" /><ref name="Reid" />
* 만약 <math>M</math>이 [[대칭 행렬]]이면서 부대칭 행렬이라면, <math>M</math>을 '''쌍대칭 행렬'''(雙對稱行列, {{llang|en|bisymmetric matrix}})이라고 한다.<ref name="Reid" />
* 만약 <math>JM^\top J=-M</math>라면, <math>M</math>을 '''부반대칭 행렬'''(反副對稱行列, {{llang|en|secondary skew-symmetric matrix, per-antisymmetric matrix}})이라고 한다.<ref name="Reid" />
* 만약 <math>JM^\top J=M^{-1}</math>라면, <math>M</math>을 '''부직교 행렬'''(副直交行列, {{llang|en|secondary orthogonal matrix}})이라고 한다.

2차 [[자기 동형]] <math>\bar{\quad}</math>을 갖는 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 '''부켤레 전치'''(副-轉置, {{llang|en|secondary conjugate transpose}})는 <math>JM^\dagger J</math>이다. 여기서 <math>M^\dagger</math>는 [[켤레 전치]]이다. 이는 <math>M</math>을 [[부대각선]]에 대하여 켤레 전치한 것과 같다. 즉, 각 <math>i,j</math>에 대하여
:<math>(JM^\dagger J)_{ij}=\overline{M_{n+1-j,n+1-i}}</math>
이다.

부켤레 전치를 사용하여 다음과 같은 행렬의 종류들을 정의할 수 있다.
* 만약 <math>JM^\dagger J=M</math>라면, <math>M</math>을 '''부에르미트 행렬'''(副-行列, {{llang|en|secondary Hermitian matrix, per-Hermitian matrix}})이라고 한다.<ref name="Reid" />
* 만약 <math>JM^\dagger J=-M</math>라면, <math>M</math>을 '''부반에르미트 행렬'''(副-行列, {{llang|en|secondary skew-Hermitian matrix}})이라고 한다.
* 만약 <math>JM^\dagger J=M^{-1}</math>라면, <math>M</math>을 '''부유니터리 행렬'''(副-行列, {{llang|en|secondary Unitary matrix}})이라고 한다.
* 만약 <math>M(JM^\dagger J)=(JM^\dagger J)M</math>라면, <math>M</math>을 '''부정규 행렬'''(副正規行列, {{llang|en|secondary normal matrix}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
쌍대칭 행렬의 합, 곱, [[역행렬]], [[전치 행렬]], 부전치는 쌍대칭 행렬이다.<ref name="Reid" />

== 같이 보기 ==
* [[중심대칭행렬]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:행렬]]