뵈처 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[루찬 뵈처]]의 이름을 딴 '''뵈처 방정식'''(Böttcher's equation)은 [[함수 방정식]]

:: <math>F(h(z)) = (F(z))^n </math>

이다. 여기서

* <math> h</math>는 <math> a</math>에서 <math> n</math>차 초끌개 고정점을 가진 해석 함수로 주어진다. (즉, <math> a</math>의 이웃에서 <math> h(z)=a+c(z-a)^n+O((z-a)^{n+1}) </math>이고 <math> n\geq2</math>)
* <math> F</math>가 찾던 함수이다.

이 함수 방정식의 [[로그 (수학)|로그]]는 [[슈뢰더 방정식]]과 같다.

== 해 ==
[[함수 방정식]]의 해는 [[음함수와 양함수|음함수 형태]]의 [[함수]]이다.

루찬 에밀 뵈처는 1904년에 해의 존재성에 대한 증명을 스케치했다. 고정점 ''<math> a</math>'' 부근의 해석 함수 ''<math> F</math>''는 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis (in Russian)|저널=Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch.|성=Böttcher|이름=L. E.|연도=1904|권=14|쪽=155&ndash;234}}</ref>

: <math>F(a)= 0 </math>

이 해는 때때로 다음과 같이 불린다.

* 뵈처 좌표
* 뵈처 함수<ref>[https://www.ams.org/journals/tran/1920-021-03/S0002-9947-1920-1501149-6/S0002-9947-1920-1501149-6.pdf J. F. Ritt. On the iteration of rational functions . Trans. Amer. Math. Soc. 21 (1920) 348-356. MR 1501149.]</ref>
* 뵈처 사상

완전한 증명은 1920년 조지프 릿에 의해 출판되었는데,<ref>{{저널 인용|제목=On the iteration of rational functions|저널=Trans. Amer. Math. Soc.|성=Ritt|이름=Joseph|저자링크=Joseph Ritt|연도=1920|권=21|호=3|쪽=348–356|doi=10.1090/S0002-9947-1920-1501149-6}}</ref> 원래 공식을 알지 못했다.

뵈처 좌표([[슈뢰더 방정식|슈뢰더 함수]]의 로그)는 <math> h(z)</math>를 고정점 부근의 함수 <math> z^n</math>에 켤레화한다. 특히 중요한 경우는 <math> h(z)</math>가 <math> n</math> 차 다항식이고 ''<math> a=\infty</math>''인 경우이다.<ref>{{저널 인용|제목=Analytic solutions of Böttcher's functional equation in the unit disk|저널=[[Aequationes Mathematicae]]|성=Cowen|이름=C. C.|연도=1982|권=24|쪽=187–194|doi=10.1007/BF02193043}}</ref>

=== 명시적 형식 ===
다음에 대한 뵈처 좌표를 명시적으로 계산할 수 있다.<ref>[https://math.stackexchange.com/questions/4220754/explicitly-calculating-greens-function-in-complex-dynamics/4243188#4243188 math.stackexchange question: explicitly-calculating-greens-function-in-complex-dynamics]</ref>

* 사상 <math>z\to z^d</math>
* [[체비쇼프 다항식]]

==== 예 ====
함수 <math> h</math> 및 n=2의 경우<ref>[https://books.google.com/books?id=SvT_AwAAQBAJ&dq=%22boettcher+function%22&pg=PA49 Chaos by Arun V. Holden Princeton University Press, 14 lip 2014 - 334]</ref>

: <math>h(x)= \frac{x^2}{1 - 2x^2}</math>

뵈처 함수 ''<math> F</math>''는 다음과 같다.

: <math>F(x)= \frac{x}{1 + x^2}</math>

== 응용 ==
뵈처의 방정식은 하나의 [[복소해석학|복소 변수]] [[다항식]] [[반복문|반복]]을 연구하는 정칙 동적계의 일부에서 근본적인 역할을 한다.

뵈처 좌표의 전역 속성은 파투<ref>{{서적 인용|url=http://bookstore.ams.org/hmath-38/|제목=Early Days in Complex Dynamics: A history of complex dynamics in one variable during 1906–1942|성=Alexander|이름=Daniel S.|성2=Iavernaro|이름2=Felice|날짜=2012|isbn=978-0-8218-4464-9|성3=Rosa|이름3=Alessandro}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Sur les équations fonctionnelles, I|저널=Bulletin de la Société Mathématique de France|성=Fatou|이름=P.|저자링크=Pierre Fatou|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1919__47__161_0|연도=1919|권=47|쪽=161&ndash;271|doi=10.24033/bsmf.998|jfm=47.0921.02}}; {{저널 인용|제목=Sur les équations fonctionnelles, II|저널=Bulletin de la Société Mathématique de France|성=Fatou|이름=P.|저자링크=Pierre Fatou|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1920__48__33_0|연도=1920|권=48|쪽=33&ndash;94|doi=10.24033/bsmf.1003|jfm=47.0921.02}}; {{저널 인용|제목=Sur les équations fonctionnelles, III|저널=Bulletin de la Société Mathématique de France|성=Fatou|이름=P.|저자링크=Pierre Fatou|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1920__48__208_1|연도=1920|권=48|쪽=208&ndash;314|doi=10.24033/bsmf.1008|jfm=47.0921.02}}</ref>와 두아디 및 허바드에 의해 연구되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Étude dynamique de polynômes complexes (première partie)|저널=Publ. Math. Orsay|성=Douady|이름=A.|성2=Hubbard|이름2=J.|url=http://portail.mathdoc.fr/PMO/afficher_notice.php?id=PMO_1984_A1|연도=1984|보존url=https://web.archive.org/web/20131224233739/http://portail.mathdoc.fr/PMO/afficher_notice.php?id=PMO_1984_A1#|보존날짜=2013-12-24|url-status=dead|확인날짜=2012-01-22}}; {{저널 인용|제목=Étude dynamique des polynômes convexes (deuxième partie)|저널=Publ. Math. Orsay|성=Douady|이름=A.|성2=Hubbard|이름2=J.|url=http://portail.mathdoc.fr/PMO/afficher_notice.php?id=PMO_1985_A3|연도=1985|보존url=https://web.archive.org/web/20131224230602/http://portail.mathdoc.fr/PMO/afficher_notice.php?id=PMO_1985_A3#|보존날짜=2013-12-24|url-status=dead|확인날짜=2012-01-22}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[슈뢰더 방정식]]
* 외부 광선

== 각주 ==
<references />

[[분류:함수 방정식]]