볼츠만 운송 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[통계역학]]에서 '''볼츠만 운송 방정식'''(Boltzmann運送方程式, {{llang|en|Boltzmann transport equation}})은 충돌로만 상호작용하는 [[이상 기체]]의 비평형 통계역학[[계 (물리학)|계]]를 다루는 [[적분 미분 방정식]]이다.<ref name="Huang">{{서적 인용 | 이름=Kerson | 성=Huang | 제목=Statistical mechanics | 위치=New York | 출판사=Wiley | 판=2판 | 날짜=1987 | isbn=0-471-81518-7 | 언어=en | url=http://www.mit.edu/people/kerson/BookDescript/statmech.htm | 확인날짜=2014-04-06 | 보존url=https://web.archive.org/web/20140407104003/http://www.mit.edu/people/kerson/BookDescript/statmech.htm# | 보존날짜=2014-04-07 | url-status=dead }}</ref>{{rp|52–62}} 1입자 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]] 위의 입자수 분포의 [[시간 변화]]를 나타내며, 입자들 사이의 상호작용은 두 입자의 충돌로 근사한다.

== 역사 ==
[[루트비히 볼츠만]]이 1872년 〈기체 분자의 열평형에 대한 추가 연구〉({{llang|de|Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen}})라는 논문에서 [[H 정리]]와 같이 발표하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Ludwig|성=Boltzmann|저자링크=루트비히 볼츠만|날짜=1872|제목=Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen|저널=Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe|권=66|쪽=275–370|언어=de}}</ref><ref>{{웹 인용|제목=Boltzmann’s work in statistical physics|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|성=Uffink|이름=Jos|날짜=2004-11-17|url=http://plato.stanford.edu/entries/statphys-Boltzmann/|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
볼츠만 운송 방정식은 2입자 충돌로만 상호작용하는 [[이상 기체]]의 비평형 통계역학을 다룬다. 이 경우, 입자들이 충돌하지 않는 동안에는 [[고전역학]]적으로 근사하지만, 두 입자의 충돌은 [[양자역학]]적으로 다룬다. 충돌을 다루려면 소위 '''분자 혼돈'''(分子混沌, {{llang|en|molecular chaos}})이라는 통계적인 가정을 추가하여야 한다.

<math>N</math>개의, 질량이 <math>m</math>인 동일한 고전적 입자가 존재한다고 하자. 하나의 입자의 운동은 [[해밀턴 역학]]으로 다룰 수 있다고 가정하고, 하나의 입자의 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]을 <math>X</math>, 하나의 입자만을 다루는 [[해밀토니언]]을 <math>H</math>라고 하자.

이 위에 시간에 따른 입자수 밀도
:<math>f\colon\mathbb R\times X\to[0,\infty)</math>
:<math>f\colon(t,x,p)\mapsto f(t,x,p)</math>
를 생각하자. 계의 총 입자수는 시간에 따라 변화하지 않는다.
:<math>N=\int_Xf(t,x,p)\,dx\,dp</math>
:<math>\frac{dN}{dt}=0</math>
그렇다면 '''볼츠만 운송 방정식'''은 다음과 같은 [[적분 미분 방정식]]이다.
:<math>\frac{\partial f}{\partial t}+\{f,H\}=\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}}</math>
여기서 우변은 일반적으로 적분항이다. 이는 계에 따라서 다르고, 입자 사이의 상호작용에 의하여 발생한다.

만약 [[유클리드 공간]]에서 자유 입자의 충돌을 생각한다면, 상호작용항은 다음과 같다. 양자역학적으로, 2입자 [[산란 (물리학)|산란]] 문제가 다음과 같은 [[산란 행렬]]을 가진다고 하자.
:<math>S=1+iT</math>
즉, 충돌 이전 상태가 <math>|p,k\rangle</math>, 충돌 이후 상태가 <math>|p',k'\rangle</math>일 [[확률 진폭]]은 다음과 같다. (<math>p\ne p'</math>, <math>k\ne k'</math>)
:<math>\langle p',k'|T|p,k\rangle</math>
또한, 서로 충돌하려는 두 입자의 운동량이 서로 [[상관관계|상관]]되어 있지 않다고 가정하자. 이 가정은 '''분자 혼돈 가정'''(分子混沌假定, {{llang|en|molecular chaos assumption}}) 또는 '''슈토스찰안자츠'''({{llang|de|Stoßzahlansatz}}, 충돌수 [[가설 풀이]])라고 한다.

분자 혼돈을 가정하면, 상호작용항은 다음과 같이 쓸 수 있다.<ref name="Huang"/>{{rp|62}}
:<math>\left(\frac{\partial f(t,x,p)}{\partial t}\right)_{\text{coll}}=\int dk\,dp'\,dk'\,\delta(p+k-p'-k')|\langle p',k'|T|p,k\rangle|^2</math>

== 같이 보기 ==
* [[포커르-플랑크 방정식]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=cond-mat/0601566|제목=Ludwig Boltzmann, Transport Equation and the Second Law|이름=K. P. N.|성=Murthy|언어=en}}
* {{서적 인용 | 이름=Raj K.|성=Pathria | 공저자=Paul D. Beale| 제목=Statistical mechanics | 판=3판| 출판사=Academic Press | 날짜=2011-02 |isbn= 978-0-12-382188-1|doi= 10.1016/B978-0-12-382188-1.00020-7|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://www.math.psu.edu/bressan/PSPDF/boltz.pdf|제목=Notes on the Boltzmann equation|이름=Alberto|성=Bressan|날짜=2005|언어=en|확인날짜=2014-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20130610145643/http://www.math.psu.edu/bressan/PSPDF/boltz.pdf|보존날짜=2013-06-10|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:통계역학]]
[[분류:수송현상]]
[[분류:물리학 방정식]]
[[분류:1872년 과학]]
[[분류:루트비히 볼츠만]]