볼츠만 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Boltzmann_distribution_graph.svg|오른쪽|섬네일| 볼츠만 인자 ''p <sub>i</sub>''&nbsp;/&nbsp;여러 에너지 차이 ''ε <sub>i에</sub>'' ''대한 온도 T'' ''의 함수로서의 p <sub>j</sub>'' (수직 축)&nbsp;-&nbsp;''ε <sub>J.</sub>'']]
[[통계역학|통계 역학]] 및 [[수학]]에서 '''볼츠만 분포'''(Boltzmann distribution)는 시스템이 해당 상태의 에너지와 온도의 함수로 특정 상태 에 있을 확률을 제공하는 [[확률 분포]] 또는 확률 척도이다. 체계. 분포는 다음과 같은 형식으로 표현된다.

: <math>p_i \propto e^{-{\varepsilon_i}/{(kT)}}</math>

여기서 {{수학 변수|p<sub>i</sub>}}는 시스템이 상태 {{수학 변수|i}} 에 있을 확률이고 {{수학 변수|ε<sub>i</sub>}}는 해당 상태의 에너지이며 {{수학 변수|kT}} [[볼츠만 상수|는 볼츠만 상수]] {{수학 변수|k}} 와 열역학적 온도 {{수학 변수|T}} 의 곱이다. <math display="inline">\propto</math> 은 [[비례]]를 나타낸다.

''여기서 시스템''이라는 용어는 매우 넓은 의미를 갖는다. 그것은 '충분한 수'의 원자(단, 단일 원자는 아님)의 집합에서 천연 가스 저장 탱크 와 같은 거시적 시스템에 이르기까지 다양하다. 따라서 볼츠만 분포는 매우 다양한 문제를 해결하는 데 사용할 수 있다. 분포는 에너지가 낮은 상태가 항상 점유될 확률이 더 높다는 것을 보여준다.

두 상태의 확률 ''비율'' '''은 볼츠만 인자'''로 알려져 있으며 특징적으로 상태의 에너지 차이에만 의존한다.

: <math>\frac{p_i}{p_j} = e^{{(\varepsilon_j - \varepsilon_i)}/{(kT)}}</math>

[[열평형|1868년 열평형 상태]]의 가스 [[통계역학|통계 역학]] 연구 중에 처음 공식화한 [[루트비히 볼츠만]]의 이름을 따서 명명되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Studien über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten|저널=Wiener Berichte|성=Boltzmann|이름=Ludwig|저자링크=Ludwig Boltzmann|연도=1868|권=58|쪽=517–560|번역제목=Studies on the balance of living force between moving material points}}</ref> Boltzmann의 통계 작업은 그의 논문 "On the Relationship between the Second Fundamental of the Theory of Heat and Probability Calculations about the Conditions for Thermal Equilibrium"<ref>{{웹 인용|url=http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf|제목=Archived copy|보존url=https://web.archive.org/web/20210305005604/http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf|보존날짜=2021-03-05|url-status=dead|확인날짜=2017-05-11}}</ref> 분포는 나중에 1902년 기브스에 의해 현대적인 일반 형태로 광범위하게 조사되었다.<ref name="gibbs">{{서적 인용|제목=Elementary Principles in Statistical Mechanics|url=https://archive.org/details/elementaryprinc02gibbgoog|성=Gibbs|이름=Josiah Willard|저자링크=Josiah Willard Gibbs|연도=1902|출판사=[[Charles Scribner's Sons]]|위치=New York}}</ref>

일반화된 볼츠만 분포는 [[엔트로피]]의 통계역학 정의( 깁스 엔트로피 공식 <math display="inline">S = -k_{\mathrm{B}}\sum_i p_i \log p_i</math> ) 및 엔트로피의 열역학적 정의( <math display="inline">\mathrm{d} S = \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}</math>, 그리고 기본적인 열역학 관계 ).<ref>{{저널 인용|제목=The generalized Boltzmann distribution is the only distribution in which the Gibbs-Shannon entropy equals the thermodynamic entropy|저널=The Journal of Chemical Physics|성=Gao|이름=Xiang|성2=Gallicchio|이름2=Emilio|날짜=2019|권=151|호=3|쪽=034113|arxiv=1903.02121|doi=10.1063/1.5111333|pmid=31325924|성3=Roitberg|이름3=Adrian}}</ref>

볼츠만 분포는 [[맥스웰-볼츠만 분포]] 또는 [[맥스웰-볼츠만 통계]]와 혼동되어서는 안 된다. 볼츠만 분포는 시스템이 해당 상태 에너지의 함수로 ''특정 상태''에 있을 확률을 제공하는<ref name="Atkins, P. W. 2010">Atkins, P. W. (2010) Quanta, W. H. Freeman and Company, New York</ref> 맥스웰-볼츠만 분포는 이상 기체 ''의 입자 속도'' 또는 ''에너지 확률을 제공한다.''

== 분포 ==
볼츠만 분포는 [[확률 분포]]를 그 상태의 에너지 및 온도의 함수이다.<ref name="McQuarrie, A. 2000"/> 다음과 같이 주어진다.

: <math>
p_i=\frac{1}{Q}} {e^{- {\varepsilon}_i / (k T)}=\frac{e^{- {\varepsilon}_i / (k T)}}{\sum_{j=1}^{M}{e^{- {\varepsilon}_j / (k T)}}}
</math>

''p가 <sub>난</sub>'' 상태 ''I의'' 확률이고, ''<sub>i 개의</sub>'' 상태의 에너지 ''난을'' ''ε'' 볼츠만 상수 ''K,'' ''T는'' 시스템의 절대 온도, ''M은'' 관심의 시스템에 액세스하는 모든 상태의 수이다.<ref name="McQuarrie, A. 2000">{{서적 인용|제목=Statistical Mechanics|url=https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0|성=McQuarrie|이름=A.|연도=2000|출판사=University Science Books|위치=Sausalito, CA|isbn=1-891389-15-7}}</ref><ref name="Atkins, P. W. 2010">Atkins, P. W. (2010) Quanta, W. H. Freeman and Company, New York</ref> 정규화 분모 ''Q'' (일부 작성자는 ''Z'' 로 표시)는 [[분배 함수 (통계역학)|정규 분할 함수이다.]]

: <math>
Q={\sum_{i=1}^{M}{e^{- {\varepsilon}_i / (k T)}}}
</math>

모든 접근 가능한 상태의 확률을 합하면 1이 되어야 한다는 제약 조건에서 비롯된다.

[[엔트로피|볼츠만 분포는 엔트로피]]를 최대화하는 분포이다.

: <math>H(p_1,p_2,\cdots,p_M) = -\sum_{i=1}^{M} p_i\log_2 p_i</math>

라는 제약 조건에 따라 <math display="inline">
\sum {p_i {\varepsilon}_i}
</math> 특정 평균 에너지 값과 같다( [[라그랑주 승수법|라그랑주 승수를]] 사용하여 증명할 수 있음).

관심 시스템에 액세스할 수 있는 상태의 에너지를 알고 있으면 분할 함수를 계산할 수 있다. 원자의 경우 파티션 함수 값은 NIST 원자 스펙트럼 데이터베이스에서 찾을 수 있다.<ref>[http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/levels_form.html NIST Atomic Spectra Database Levels Form] at nist.gov</ref>

분포는 에너지가 낮은 상태가 에너지가 높은 상태보다 항상 차지할 확률이 더 높다는 것을 보여준다. 또한 점령 중인 두 상태의 확률 사이의 양적 관계를 제공할 수도 있다. ''상태 i'' 와 ''j에'' 대한 확률의 비율은 다음과 같이 주어진다.

: <math>
{\frac{p_i}{p_j}}=e^{({\varepsilon}_j-{\varepsilon}_i) / (k T)}
</math>

여기서 ''p <sub>i</sub>''는 상태 ''i'' 의 확률, ''p <sub>j</sub>'' 상태 ''j'' 확률, ''ε <sub>i</sub>'' 와 ''ε <sub>j</sub>''는 각각 ''상태 i'' 와 ''j'' 의 에너지이다. 에너지 준위 인구의 해당 비율은 [[축퇴 에너지 수준|퇴화]] 도 고려해야 한다.

볼츠만 분포는 원자나 분자와 같은 입자가 접근할 수 있는 경계를 넘어선 분포를 설명하는 데 자주 사용된다. 많은 입자로 구성된 시스템이 있는 경우 입자가 상태 ''i''에 있을 확률은 실제로 해당 시스템에서 임의의 입자를 선택하고 어떤 상태인지 확인하면 상태 ''i에 있음을 찾을 확률이다.'' . 이 확률은 상태 ''i'' 의 입자 수를 시스템의 총 입자 수로 나눈 값, 즉 상태 ''i''를 차지하는 입자의 비율과 같다.

: <math>
p_i={\frac{N_i}{N}}
</math>

여기서 ''<sub>Ni</sub>'' ''는 상태 i'' 의 입자 수이고 ''N'' 은 시스템의 총 입자 수이다. 우리는 볼츠만 분포를 사용하여 우리가 보았듯이 상태 i에 있는 입자의 비율과 동일한 이 확률을 찾을 수 있다. ''따라서 상태 i'' 의 입자 비율을 해당 상태 에너지의 함수로<ref name="Atkins, P. W. 2010">Atkins, P. W. (2010) Quanta, W. H. Freeman and Company, New York</ref>

: <math>
{\frac{N_i}{N}}={\frac{e^{- {\varepsilon}_i / (k T)}}{\sum_{j=1}^{M}{e^{- {\varepsilon}_j / (k T)}}}}
</math>

[[분광학|이 방정식은 분광학]]에서 매우 중요하다. 분광학에서 우리는 한 상태에서 다른 상태로 전이되는 원자 또는 분자 의 스펙트럼 라인을 관찰한다.<ref name="Atkins, P. W. 2010">Atkins, P. W. (2010) Quanta, W. H. Freeman and Company, New York</ref><ref>{{서적 인용|제목=Physical Chemistry|성=Atkins|이름=P. W.|성2=de Paula|이름2=J.|연도=2009|판=9th|출판사=Oxford University Press|위치=Oxford|isbn=978-0-19-954337-3}}</ref> 이것이 가능하려면 전이를 겪을 첫 번째 상태의 일부 입자가 있어야 한다. 우리는 이 조건이 첫 번째 상태에서 입자의 분율을 구함으로써 충족됨을 알 수 있다. 무시할 수 있는 경우에는 계산이 수행된 온도에서 전이가 관찰되지 않을 가능성이 매우 높다. 일반적으로 첫 번째 상태의 분자 비율이 클수록 두 번째 상태로의 전이 횟수가 더 많다.<ref>{{서적 인용|제목=Principles of Instrumental Analysis|성=Skoog|이름=D. A.|성2=Holler|이름2=F. J.|연도=2006|출판사=Brooks/Cole|위치=Boston, MA|isbn=978-0-495-12570-9|성3=Crouch|이름3=S. R.}}</ref> 이것은 더 강한 스펙트럼 라인을 제공한다. 그러나 스펙트럼 선의 강도에 영향을 미치는 다른 요소가 있다(예: 허용 [[금지선|된 전환 또는 금지된 전환)]] .

[[소프트맥스 함수|머신러닝에서 일반적으로 사용되는 소프트맥스 함수]]는 볼츠만 분포와 관련이 있다.

== 통계역학에서 ==

[[열평형|볼츠만 분포는 열 평형]] (에너지 교환에 대한 평형)에 있는 고정 구성의 닫힌 시스템을 고려할 때 [[통계역학|통계 역학]]에서 나타난다. 가장 일반적인 경우는 표준 앙상블에 대한 확률 분포이다. 일부 특별한 경우(정규 앙상블에서 파생됨)는 다양한 측면에서 볼츠만 분포를 보여준다.

; [[바른틀 앙상블|Canonical 앙상블]] (일반적인 경우)
: [[바른틀 앙상블|표준 앙상블]] [[열원|은 열 수조]]와 열 평형 상태에서 고정 체적의 닫힌 시스템의 다양한 가능한 상태에 대한 [[확률]]을 제공한다. 표준 앙상블은 볼츠만 형식의 상태 확률 분포를 갖는다.
; 하위 시스템 상태의 통계 빈도(비상호작용 컬렉션에서)
: 관심 시스템이 더 작은 하위 시스템의 상호 작용하지 않는 많은 복사본의 모음인 경우 컬렉션 중에서 주어진 하위 시스템 상태의 통계적 빈도를 찾는 것이 때때로 유용하다. 표준 앙상블은 이러한 컬렉션에 적용될 때 분리 가능성의 속성을 갖는다. 상호 작용하지 않는 하위 시스템이 고정 구성을 갖는 한, 각 하위 시스템의 상태는 다른 하위 시스템과 독립적이며 표준 앙상블도 특징이다. 결과적 [[기댓값|으로 하위 시스템 상태의 예상]] 통계적 빈도 분포는 Boltzmann 형식을 갖는다.
; [[맥스웰-볼츠만 통계|고전 가스의 Maxwell–Boltzmann 통계]] (비상호작용 입자 시스템)
: 입자 시스템에서 많은 입자는 동일한 공간을 공유하고 정기적으로 서로 위치를 바꾼다. 그들이 차지하는 단일 입자 상태 공간은 공유 공간이다. [[맥스웰-볼츠만 통계|Maxwell-Boltzmann 통계]]는 평형 상태에서 상호 작용하지 않는 입자 [[고전역학|의 고전적인]] 기체에서 주어진 단일 입자 상태에서 발견되는 예상 입자 수를 제공한다. 이 예상 숫자 분포는 볼츠만 형식을 갖는다.

이러한 경우는 매우 유사하지만 중요한 가정이 변경될 때 서로 다른 방식으로 일반화되기 때문에 구별하는 것이 도움이 된다.

* ''시스템이 에너지 교환 및 입자 교환'' 과 관련하여 열역학적 평형 상태에 있을 때 고정 구성의 요구 사항이 완화되고 [[큰 바른틀 앙상블|표준 앙상블보다 큰 바른틀 앙상블]]이 획득된다. 반면에 구성과 에너지가 모두 고정되어 있으면 [[작은 바른틀 앙상블]] 이 대신 적용된다.
* 모음 내의 서브 시스템이 서로 상호 작용 ''할'' 경우, 서브 시스템의 예상 주파수는 더 이상 볼츠만 분포를 따르지 않는다.<ref>A classic example of this is [[magnetic ordering]]. Systems of non-interacting [[Spin (physics)|spins]] show [[paramagnetic]] behaviour that can be understood with a single-particle canonical ensemble (resulting in the [[Brillouin function]]). Systems of ''interacting'' spins can show much more complex behaviour such as [[ferromagnetism]] or [[antiferromagnetism]].</ref> 그러나 표준 앙상블은 전체 시스템이 열 평형 상태에 있는 경우 전체 시스템으로 간주되는 전체 시스템 ''의 집합적 상태에 여전히 적용될 수 있다.''
* ''[[양자역학|상호 작용하지 않는 입자의 양자]]'' 가스가 평형 상태에 있을 때, 주어진 단일 입자 상태에서 발견되는 입자의 수는 Maxwell-Boltzmann 통계를 따르지 않으며, 표준 앙상블에서 양자 가스에 대한 단순 폐쇄형 표현이 없다. 그랜드 캐노니컬 앙상블에서 양자 가스의 상태 채우기 통계는 입자가 각각 [[페르미온]] 인지 [[보손|보존]] [[페르미-디랙 통계|인지에 따라 페르미-디락 통계]] 또는 [[보스-아인슈타인 통계|보스-아인슈타인 통계로 설명된다.]]

== 수학에서 ==
보다 일반적인 수학적 설정에서 볼츠만 분포는 깁스 측정 이라고도 한다. 통계 및 [[기계 학습]]에서는 로그 선형 모델 이라고 한다. [[딥 러닝]]에서 볼츠만 분포는 볼츠만 기계, 제한된 볼츠만 기계, 에너지 기반 모델 및 [[딥 러닝|심층 볼츠만 기계]]와 같은 확률적 신경망 [[표본 분포|의 샘플링 분포]]에 사용된다. 딥 러닝에서 볼츠만 머신 [[비지도 학습|은 비지도 학습]] 모델 중 하나로 간주된다. 딥 러닝에서 볼츠만 기계 의 설계에서 노드의 수가 증가함에 따라 실시간 응용 프로그램에서 구현의 어려움이 중요해지기 때문에 제한적 볼츠만 기계 라는 다른 유형의 아키텍처가 도입되었다.

배출권 거래에서 허가를 할당하기 위해 볼츠만 분포를 도입할 수 있다.<ref name="Park, J.-W. 2012">Park, J.-W., Kim, C. U. and Isard, W. (2012) Permit allocation in emissions trading using the Boltzmann distribution. Physica A 391: 4883–4890</ref><ref>[http://www.technologyreview.com/view/425051/the-thorny-problem-of-fair-allocation/ The Thorny Problem Of Fair Allocation]. ''Technology Review'' blog. August 17, 2011. Cites and summarizes Park, Kim and Isard (2012).</ref> Boltzmann 분포를 사용하는 새로운 할당 방법은 여러 국가에서 배출 허가의 가장 가능성 있고 자연적이며 편향되지 않은 분포를 설명할 수 있다.

Boltzmann 분포는 다항 로짓 모델과 같은 형식을 갖는다. 이산 선택 모델로서 이것은 Daniel McFadden 이 무작위 효용 극대화와 연결한 이후로 경제학에서 매우 잘 알려져 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Advanced Econometrics|성=Amemiya|이름=Takeshi|연도=1985|출판사=Basil Blackwell|위치=Oxford|쪽=295–299|장=Multinomial Logit Model|isbn=0-631-13345-3|ref=none}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[보스-아인슈타인 통계]]
* [[페르미-디랙 통계]]
* [[소프트맥스 함수]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:통계역학]]
[[분류:루트비히 볼츠만]]