볼차노-바이어슈트라스 정리 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]과 [[일반위상수학]]에서 '''볼차노-바이어슈트라스 정리'''(Bolzano-Weierstraß定理, {{llang|en|Bolzano–Weierstrass theorem}})는 [[유클리드 공간]]에서 [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]과 [[점렬 콤팩트 공간]]의 개념이 일치한다는 정리이다.

== 특례 ==
=== 실수 ===
[[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math>에 대한 '''볼차노-바이어슈트라스 정리'''에 따르면, 실수 [[유계 수열]]은 [[수렴 수열|수렴]] [[부분 수열]]을 갖는다.<ref name="Bartle">Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 102쪽.</ref>

=== 실수에 대한 증명 ===
이는 단조 부분 수열 정리 및 [[단조 수렴 정리 (미적분학)|단조 수렴 정리]]를 사용하여 증명할 수 있다.

'''단조 부분 수열 정리'''에 따르면, 실수 수열은 항상 단조 부분 수열을 갖는다. 증명은 다음과 같다.

실수 수열 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, 자연수의 성질 <math>\phi</math>를 다음과 같이 도입하자.
:<math>\phi(n)\iff\forall m>n\colon x_n>x_m\qquad(\forall n\in\mathbb N)</math>
즉, <math>n</math>번째 항이 뒤에 오는 모든 항보다 크다는 성질이다.

만약 <math>\phi</math>를 만족하는 무한 개의 자연수
:<math>n_1<n_2<n_3<\cdots</math>
가 존재한다면, <math>(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}</math>은 단조 부분 수열이다.

만약 <math>\phi</math>를 만족하는 자연수가 유한 개라면,
:<math>n_0=\max\{n\in\mathbb N\colon\phi(n)\}+1</math>
라고 하였을 때, <math>\lnot\phi(n_0)</math>이므로,
:<math>x_{n_0}\le x_{n_1}</math>
인 <math>n_1>n_0</math>이 존재한다. 마찬가지로,
:<math>x_{n_0}\le x_{n_1}\le x_{n_2}\le\cdots</math>
인 <math>n_0<n_1<n_2<\cdots</math>가 존재한다. 즉, <math>(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}</math>은 단조 부분 수열이다.

실수 유계 수열 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, 위 정리에 따라, 단조 부분 수열 <math>(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}</math>이 존재한다. 또한, 이는 동시에 유계 수열이므로, [[단조 수렴 정리]]에 따라 수렴 수열이다. 즉, 실수 유계 수열은 항상 수렴 부분 수열을 갖는다.

=== 유클리드 공간 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>에 대한 '''볼차노-바이어슈트라스 정리'''에 따르면, <math>\mathbb R^n</math> 속 유계 수열 <math>(x_k)_{k\in\mathbb N}</math>은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 유계 [[닫힌집합]] <math>S\subseteq\mathbb R^n</math>은 [[점렬 콤팩트 공간]]이다.

더 나아가, 유클리드 공간의 부분 집합 <math>S\subseteq\mathbb R^n</math>에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
* <math>S</math>는 점렬 콤팩트 공간이다.
* <math>S</math>는 유계 닫힌집합이다.

=== 유클리드 공간에 대한 증명 ===
유클리드 공간에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리는 실수에 대한 정리로부터 유도할 수 있다.

(유계 닫힌집합 ⇒ 점렬 콤팩트 공간) 유계 닫힌집합 <math>S\subseteq\mathbb R^n</math> 속 수열
:<math>(x_k=(x_{k,1},x_{k,2},\ldots,x_{k,n}))_{k\in\mathbb N}</math>
에 대하여, <math>(x_{k,1})_{k\in\mathbb N}\subseteq\mathbb R</math>은 유계 수열이므로, 실수에 대한 정리에 따라, 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, <math>(y_{k,1})_{k\in\mathbb N}</math>이 수렴하게 되는, <math>(x_k)_{k\in\mathbb N}</math>의 부분 수열 <math>(y_k)_{k\in\mathbb N}</math>이 존재한다.

마찬가지로, <math>(z_{k,2})_{k\in\mathbb N}</math>이 수렴하게 되는, <math>(y_k)_{k\in\mathbb N}</math>의 부분 수열 <math>(z_k)_{k\in\mathbb N}</math>이 존재한다. 이때, <math>(z_{k,1})_{k\in\mathbb N}</math> 역시 수렴한다.

이와 같이 반복하면, 임의의 <math>i\in\{1,2,\ldots,n\}</math>에 대하여 <math>(w_{k,i})_{k\in\mathbb N}</math>이 수렴하게 되는, <math>(x_k)_{k\in\mathbb N}</math>의 부분 수열 <math>(w_k)_{k\in\mathbb N}</math>을 얻으며, 이는 물론 수렴 부분 수열이며, <math>S</math>가 닫힌집합이므로, 극한은 <math>S</math>의 원소이다.

(점렬 콤팩트 공간 ⇒ 유계 닫힌집합) 점렬 콤팩트 집합 <math>S\subseteq\mathbb R</math>이 유계가 아니라면,
:<math>x_0\in S</math>
:<math>x_{n+1}\in S\setminus B(x_0,n)\setminus B(x_0,d(x_n,x_0))</math>
이도록 정의된 수열이 존재하며, 이는 수렴 부분 수열을 갖지 않으므로, 모순이 된다.

또한, <math>S</math> 속의, <math>\mathbb R^n</math>에서 수렴하는 수열에 대하여, <math>S</math>에서 수렴하는 부분 수열이 존재하며, 그 극한이 원래 수열의 것과 같으므로, 원래 수열도 <math>S</math>에서 수렴한다. 즉, <math>S</math>는 닫힌집합이다.

=== 거리 공간에서의 실패 ===
[[거리 공간]]에서, [[점렬 콤팩트 공간]]은 항상 [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]이나, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 정수 집합 <math>\mathbb Z</math>에 [[이산 거리 함수]]를 주었을 때, 유계 집합이며 닫힌집합이지만, 그 속의 수열 <math>(1,2,3,\ldots)</math>은 수렴 부분 수열을 갖지 못한다.

== 역사 ==
[[보헤미아]]의 [[베르나르트 볼차노]]와 [[독일]]의 [[카를 바이어슈트라스]]가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[실수의 완비성#볼차노-바이어슈트라스 정리]]
* [[하이네-보렐 정리]]
* [[콤팩트 공간#유클리드 공간의 콤팩트 집합]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.
* {{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bolzano-Weierstrass theorem}}
* {{매스월드|id=Bolzano-WeierstrassTheorem|title=Bolzano-Weierstrass theorem}}

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:위상수학 정리]]