볼록 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Convex polygon illustration1.svg|섬네일|볼록 집합]]
[[파일:Convex polygon illustration2.svg|섬네일|볼록 집합이 아닌 집합]]
[[기하학]]에서 '''볼록 집합'''({{llang|en|convex set}})은 임의의 두 점을 잇는 [[선분]]을 포함하는, [[유클리드 공간]]의 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
<math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq V</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''볼록 집합'''이라고 한다.
* 임의의 <math>u,v\in S</math> 및 <math>t\in[0,1]</math>에 대하여, <math>(1-t)u+tv\in S</math>
'''국소 볼록 집합'''({{llang|en|locally convex set}})은 임의의 점이 (그 부분 집합에서의) 볼록 [[근방]]을 갖는 [[부분 집합]]이다.

=== 다각 연결 집합 ===
실수 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq V</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''다각 연결 집합'''({{llang|en|polygonally connected set}})이라고 한다.
* 임의의 <math>u,v\in S</math>에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 자연수 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>u_0,u_1,u_2,\dotsc,u_n\in S</math>가 존재한다.
** <math>u_0=u</math>
** <math>u_n=v</math>
** 각 <math>i\in\{1,2,\dots,n\}</math> 및 임의의 <math>t\in[0,1]</math>에 대하여, <math>(1-t)u_{i-1}+tu_i\in S</math>
위 정의에서 <math>n</math>을 어떤 자연수로 고정하면, '''<math>n</math>-다각 연결 집합'''({{llang|en|<math>n</math>-polygonally connected set}})의 정의를 얻는다. 이 경우, 볼록 집합은 1-다각 연결 집합과 [[동치]]이다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
볼록 집합들의 [[교집합]]은 볼록 집합이다. 볼록 집합들의 [[상향 집합]]의 [[합집합]]은 볼록 집합이다. (더 일반적인 결과는 성립하지 않는다. 예를 들어, 서로 만나는 두 직선의 합집합은 볼록 집합이 아니다.) 볼록 집합의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]·[[내부 (위상수학)|내부]]는 볼록 집합이다.

=== 함의 관계 ===
모든 다각 연결 집합은 [[경로 연결 공간]]이다. 모든 <math>n</math>-다각 연결 집합은 다각 연결 집합이다. (그러나 다각 연결 집합은 어떤 <math>n</math>에 대하여 <math>n</math>-다각 연결 집합일 필요가 없다.) 모든 [[별모양 집합]]은 2-다각 연결 집합이다. 모든 ([[공집합]]이 아닌) 볼록 집합은 [[별모양 집합]]이다.

[[실수 노름 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]은 항상 다각 연결 집합이다.<ref name="Brown">{{서적 인용
|이름1=Ronald
|성1=Brown
|제목=Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid
|언어=en
|판=3차 개정 증보판
|날짜=2006
|isbn=1-4196-2722-8
|zbl=1093.55001
}}</ref>{{rp|81, Exercise 3.4.2}}

[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq\mathbb R^n</math>에 대하여, 만약 <math>S</math>가 [[닫힌집합]]이며, [[연결 공간]]이며, 국소 볼록 집합이라면, <math>S</math>는 볼록 집합이다 ('''티체-나카지마 정리''', {{llang|en|Tietze–Nakajima theorem}}).<ref name="Valentine" />{{rp|1306}} 보다 일반적으로, 만약 <math>S</math>가 [[닫힌집합]]이며, [[연결 집합]]이며, <math>n</math>개 이하의 국소 비볼록점을 갖는다면, <math>S</math>는 <math>(n+1)</math>-다각 연결 집합이다.<ref name="Valentine">{{저널 인용
|이름=F. A.
|성=Valentine
|제목=Local convexity and Ln sets
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=16
|쪽=1305–1310
|날짜=1965
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2035920
|mr=0185510
|zbl=0135.40702
}}</ref>{{rp|1305, Theorem 1}} 보다 일반적으로, 만약 <math>S</math>가 [[닫힌집합]]이며, [[연결 집합]]이며, <math>S</math>의 국소 비볼록점의 집합이 ([[서로소 집합|서로소]]일 필요가 없는) <math>n</math>개의 볼록 집합의 [[합집합]]이라면, <math>S</math>는 <math>(2n+1)</math>-다각 연결 집합이다.<ref name="Valentine" />{{rp|1305, Theorem 2}}

=== 부분 집합의 극대 볼록 집합 ===
실수 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq V</math>가 주어졌다고 하자. <math>S</math>의 볼록 집합들은 포함 관계에 따라 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 그 [[극대 원소]]를 <math>S</math>의 '''볼록 성분'''({{llang|en|convex component}})이라고 한다. <math>S</math>의 임의의 볼록 집합은 <math>S</math>의 볼록 성분에 포함되며, 임의의 볼록 성분은 [[연결 집합]]이므로, <math>S</math>의 유일한 [[연결 성분]]에 포함된다. 그러나 [[연결 성분]]과 달리, 볼록 성분들은 [[서로소 집합|서로소]]일 필요가 없다. 다시 말해, <math>S</math>의 주어진 볼록 집합을 포함하는 극대 볼록 집합은 유일하지 않을 수 있다.

만약 <math>S</math>가 [[닫힌집합]]이라면, 모든 볼록 성분 역시 [[닫힌집합]]이다.

실수 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq V</math>가 가산 개의 <math>S</math>의 [[서로소 집합|서로소]] 볼록 [[닫힌집합]] <math>S_i</math>들의 합집합이라면, <math>S</math>의 볼록 성분들은 정확히 <math>S_i</math>들이며, 특히 <math>S</math>의 볼록 성분들은 <math>S</math>의 [[집합의 분할|분할]]을 이룬다.<ref name="García-Pacheco">{{저널 인용
|url=https://projecteuclid.org/journals/annals-of-functional-analysis/volume-6/issue-3/Convex-components-and-multi-slices-in-real-topological-vector-spaces/10.15352/afa/06-3-7.full
|성1=García-Pacheco
|이름1=F. J.
|제목=Convex components and multi-slices in real topological vector spaces
|언어=en
|저널=Annals of Functional Analysis
|권=6
|호=3
|쪽=73–86
|날짜=2015
|issn=2639-7390
|doi=10.15352/afa/06-3-7
|mr=3336906
|zbl=1391.15002
}}</ref>{{rp|Theorem 2.10}}

== 예 ==
[[실수선]] <math>\mathbb R</math>의 볼록 집합은 단순히 [[구간]]이다.

집합
:<math>\{(x,x^2)\colon x\in\mathbb R\}</math>
은 [[경로 연결 공간]]이지만, <math>\mathbb R^2</math>의 다각 연결 집합이 아니다.

== 역사 ==
티체-나카지마 정리는 하인리히 프란츠 프리드리히 티체({{llang|de|Heinrich Franz Friedrich Tietze}}, 1880~1964)<ref name="Tietze">{{저널 인용
|이름1=Heinrich
|성1=Tietze
|저자링크=하인리히 프란츠 프리드리히 티체
|제목=Über Konvexheit im kleinen und im großen und über gewisse den Punkten einer Menge zugeordnete Dimensionszahlen
|언어=de
|저널=Mathematische Zeitschrift
|권=28
|쪽=697–707
|날짜=1928
|issn=0025-5874
|doi=10.1007/BF01181191
|mr=1544985
|jfm=54.0797.01
}}</ref>와 나카지마({{llang|en|S. Nakajima}})<ref name="Nakajima">{{저널 인용
|이름1=S.
|성1=Nakajima
|제목=Über konvexe Kurven und Flächen
|언어=de
|저널=Tohoku Mathematical Journal
|권=29
|쪽=227–230
|날짜=1928
|issn=0040-8735
|jfm=54.0799.04
}}</ref>가 모두 1928년 논문에서 독립적으로 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[크레인-밀만 정리]]
* [[볼록 폐포]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|제목=Convex set}}
* {{매스월드|id=Convex|제목=Convex}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/4468/what-are-the-open-subsets-of-mathbbrn-that-are-diffeomorphic-to-mathbbr|제목=What are the open subsets of Rn that are diffeomorphic to Rn|언어=en|웹사이트=Stack Exchange}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/165629/proof-that-convex-open-sets-in-mathbbrn-are-homeomorphic|제목=Proof that convex open sets in Rn are homeomorphic?|언어=en|웹사이트=Stack Exchange}}

{{전거 통제}}

[[분류:볼록기하학]]
[[분류:볼록 해석]]