볼록 조합 문서 원본 보기

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[[파일:Convex combination illustration.svg|오른쪽|섬네일|그림에 나타난 평면의 세 점 <math>x_1, x_2, x_3</math>가 주어졌을 때, 점 <math>P</math>는 세 점의 볼록 조합''이지만'' <math>Q</math>는 ''아니다''.<br/>
(하지만 세 점의 [[아핀 폐포]]는 평면 전체이기 때문에, <math>Q</math>는 세 점의 아핀 조합이다.)]]
[[볼록 기하학]]에서 '''볼록 조합'''은 [[점 (기하학)|점]](이것은 [[벡터 (물리)|벡터]]나 [[스칼라 (수학)|스칼라]] 또는 더 일반적으로 [[아핀 공간]]의 점이 될 수 있다)들의 모든 [[계수]]가 [[부호 (수학)|음이 아니]]고 합이 1이 되는 [[선형 결합]]이다.

더 형식적으로, [[실수 벡터 공간]]의 유한한 점들 <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>이 주어졌을 때, 이 점들의 볼록 조합은 다음 형태의 점이다:

:<math>\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n</math>
이 때 실수 <math>\alpha_i</math>는 <math>\alpha_i\ge 0 </math>과 <math>\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n=1</math>을 만족한다.

특정한 예시로, 두 점의 모든 볼록 조합은 그 점 사이의 [[선분]]에 있다.

주어진 점의 [[볼록 폐포]]는 그 모든 볼록 조합의 집합과 동일하다.

선형 결합에 대해서 닫혀있지 않지만 볼록 조합에서 닫혀있는 벡터공간의 부분집합이 존재한다. 예를 들어, 구간 <math>[0,1]</math>은 볼록하지만 선형 조합에서는 수직선 전체를 만든다. 다른 예는 선형 조합이 음이 아닌 특성과 아핀성을 보존할 수 없는 [[확률 분포]]의 볼록 집합이다(즉, 전체 적분을 취하는 것).

== 다른 대상 ==
* 유사하게, [[확률 분포]] <math>X</math>의 볼록 조합 <math>Y_i</math>는 다음 [[확률 밀도 함수]]를 가지고 [[혼합 분포|유한 혼합 분포]]라고 불리는 그 원소의 확률 분포의 가중 합이다:
:<math>f_{X}(x) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i f_{Y_i}(x)</math>

== 관련 구성 ==
* [[원뿔 조합]]은 음이 아닌 계수의 선형 조합이다. 점 <math>x</math>가 [[변위|변위 벡터]]를 정의하기 위한 기준 원점으로 사용되었다면, <math>x</math>는 <math>n</math> 개의 점 <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>의 볼록 조합이다. 즉, 영변위는 그 <math>n</math> 개의 <math>x</math>에 대한 상대 변위 벡터의 자명하지 않은 [[원뿔 조합]]이다.
* [[가중 평균]]은 기능적으로는 볼록 조합과 같지만 다른 표기를 사용한다. 가중 평균의 계수([[가중치 함수|가중치]]) 합이 1일 필요는 없다; 대신에 합은 명시적으로 선형 조합과 분리된다.
* [[아핀 조합]]은 볼록 조합과 유사하지만, 계수는 음이 아닐 필요는 없다. 따라서 아핀 조합은 모든 [[체 (수학)|체]]의 벡터공간에 정의된다.

== 같이 보기 ==
* [[아핀 폐포]]
* [[카라테오도리의 정리 (볼록 폐포)]]
* [[볼록 폐포]]
* [[단체 (수학)]]
* [[무게 중심 좌표계]]

[[분류:볼록기하학]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:볼록 껍질]]