볼록 다각형 문서 원본 보기

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[[파일:Pentagon.svg|오른쪽|섬네일|150px|볼록 다각형의 예시: [[정다각형|정]]오각형]]
'''볼록 다각형'''은 경계의 두 점을 잇는 어떤 선분도 다각형 외부로 나가지 않는 [[단순 다각형]] ([[자기교차 다각형|자기교차]]하지 않는 것)이다. 동일하게, 이것은 [[내부 (위상수학)|내부]]가 [[볼록 집합]]인 단순 다각형이다.<ref>[http://www.mathopenref.com/polygonconvex.html Definition and properties of convex polygons with interactive animation.]</ref> 볼록 다각형에서, 모든 내각은 180도와 같거나 작고, 엄격한 볼록 다각형은 모든 내각은 반드시 180도보다 작아야 한다.

== 특성 ==

단순 다각형의 다음 특성은 모두 볼록성과 동일하다:
* 모든 [[내각]]은 180 [[도 (각도)|도]]보다 작거나 같다.
* 다각형의 경계나 내부의 두 점을 잇는 [[선분]] 위의 모든 점은 경계에 있거나 내부에 있어야 한다.
* 다각형은 각각의 변에 의해서 정의되는 모든 닫힌 반평면에 완전히 포함되어야 한다.
* 모든 변에 대해서, 내부의 점은 모두 그 변에 의해서 정의되는 직선의 같은 쪽에 있어야 한다.
* 각 꼭짓점의 각은 다른 모든 꼭짓점을 그 변과 내부에 포함해야한다.
* 다각형은 그 변들의 [[볼록 폐포]]여야 한다.

볼록 다각형의 추가적인 특성은 다음을 포함한다:
* 두 볼록 다각형의 교집합은 볼록 다각형이다.
* 볼록 다각형은 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 대각선을 추가하는 [[부채 삼각화]]를 통해서 [[선형 시간]]안에 [[다각형 삼각화|삼각화]]할 수 있다.
* [[헬리의 정리]]: 모든 최소 셋 이상의 볼록 다각형의 집합에 대해서: 그 집합 중 어떤 세 개의 교집합도 공집합이 아니라면, 전체 집합의 교집합은 공집합이 아니다.
* [[크레인-밀만 정리]]: 볼록 다각형은 그 꼭짓점의 [[볼록 폐포]]이다. 따라서 이것은 그 꼭짓점만으로도 완전히 정의되고, 전체 다각형 모양을 복원하기 위해서는 꼭짓점만 필요하다.
* [[초평면 분리정리]]: 어떤 점도 공통으로 가지지 않는 볼록 다각형 두 개는 분리선을 가진다. 다각형이 닫혀있고 최소 하나는 콤팩트 하다면, 심지어 (사이에 틈이 있는)평행한 분리선 두 개가 있을 수 있다.
* '''내접 삼각형''' 특성: 볼록 다각형에 포함된 모든 삼각형에 대하여, 꼭짓점이 모두 다각형의 꼭짓점인 삼각형 중에 면적이 최대인 삼각형이 있다.<ref>{{웹 인용|first=Christos|last=-|url=http://math.stackexchange.com/a/269544/29780|work=Math Stack Exchange|title=Is the area of intersection of convex polygons always convex?}}</ref>
* '''외접 삼각형''' 특성: 면적이 ''A''인 모든 볼록 다각형은 최대 넓이가 2''A''인 삼각형에 내접한다. [[평행사변형]]에 대해서 (배제적으로) 동일하게 작용한다.<ref>{{웹 인용|last=Weisstein|first=Eric W|title=Triangle Circumscribing|url=http://mathworld.wolfram.com/TriangleCircumscribing.html|work=Wolfram Math World}}</ref>
* '''외/내접 직사각형''' 특성: 평면의 모든 볼록체 C에 대해서, r과 양의 닮음비가 최대 2에서 <math>0.5 \text{ × Area}(R) \leq \text{Area}(C) \leq 2 \text{ × Area}(r)</math>인 [[닮음 변환|닮은]] 직사각형 R이 C에 외접하는 직사각형 r을 C에 내접하게 만들 수 있다.<ref>{{저널 인용 | doi = 10.1007/BF01263495| title = Approximation of convex bodies by rectangles| journal = Geometriae Dedicata| volume = 47| pages = 111| year = 1993| last1 = Lassak | first1 = M. }}</ref>
* 볼록 다각형의 [[평균 폭]]은 둘레를 파이로 나눈 값과 같다. 따라서 이 폭은 다각형과 같은 둘레를 가진 원의 지름이다.<ref>{{웹 인용|last=Jim Belk|title=What's the average width of a convex polygon?|url=http://math.stackexchange.com/a/20936/29780|work=Math Stack Exchange}}</ref>

원에 내접하는(다각형의 모든 꼭짓점이 원에 접촉하는) [[자기교차 다각형의 목록|자기교차]]하지 않는 모든 다각형은 볼록하다. 하지만 모든 볼록 다각형이 원에 내접하는 것은 아니다.

== 엄격한 볼록성 ==

단순 다각형의 다음 특성은 모두 엄격한 볼록성과 동일하다:

* 모든 내각은 엄격하게 180도보다 작다.
* 내부의 두 점이나, 경계에 있지만 같은 변에 있지 않은 두 점을 잇는 모든 선분은 엄격하게 다각형의 내부에 있다(변에 양 끝점이 있을 경우에는 양 끝점을 제외한다).
* 모든 변에 대해서, 내부의 점과 그 변에 포함되지 않는 경계의 점은 변이 정의하는 직선의 같은 쪽에 위치한다.
* 각 꼭짓점의 각은 (주어진 꼭짓점과 인접한 두 꼭짓점을 제외한)다른 모든 꼭짓점을 내부에 포함한다.

== 같이 보기 ==
* [[오목 다각형]]
* [[볼록 다포체]]
* [[원형 도형]]
* [[음함수 곡선#볼록 다각형의 매끄러운 근사]]
* [[접선 다각형]]

== 참조 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{매스월드 |urlname=ConvexPolygon |title=Convex polygon}}
* http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20181204031028/http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html}}
* {{인용
 | last1 = Schorn | first1 = Peter
 | last2 = Fisher | first2 = Frederick
 | editor-last = Heckbert | editor-first = Paul S.
 | contribution = I.2 Testing the convexity of a polygon
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=CCqzMm_-WucC&pg=PA7
 | isbn = 9780123361554
 | pages = 7–15
 | publisher = [[Morgan Kaufmann]] (Academic Press)
 | title = Graphics Gems IV
 | year = 1994}}

{{전거 통제}}

[[분류:볼록기하학]]
[[분류:다각형의 유형]]