본질적 특이점 문서 원본 보기

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[[파일:Essential_singularity.png|오른쪽|섬네일|220x220픽셀|''z''=0에서 나타나는 본질적 특이점을 중심으로 하는 함수 exp(1/z)의 그래프이다. 색조는 [[편각 (수학)|편각]]을 나타내며 명도는 [[절댓값]]을 나타낸다. 이 그림은 서로 다른 방향에서 본질적인 특이점에 접근하는 것이 어떻게 다른 경향이 나타나는지를 보여준다 (어떤 방향에서 접근하든지 균일하게 하얀 극점과는 반대다).]]
[[파일:Modell_des_Graphen_von_6w=eˆ(1-6z)_-Schilling_XIV,_6_-_312-_(2).jpg|섬네일|복소 함수 6w=exp(1/(6z))의 본질적 특이점을 나타내는 모형이다]]
[[복소해석학]]에서 함수의 '''본질적 특이점'''(영어ː'''essential singularity''')은''' '''함수가 이상하게 움직이는 "심한" [[특이점 (해석학)|특이점]]이다.

범주 ''본질적 특이점''은 특별히 다루기 힘든 "나머지" 또는 기본 특이점 그룹이다: 정의에 의해 이것들은 특정 방법으로 처리할 수 있는 두 범주([[제거 가능 특이점]]과 [[극점 (복소해석학)|극점]])에 해당하지 않는다.

== 공식적인 설명 ==
[[복소평면]] '''C'''의''' '''[[열린 부분집합]] ''U''를 생각하자. ''a'' 를 ''U''의 원소라고 하고 ''f''를 ''f''&nbsp;:&nbsp;''U''&nbsp;\&nbsp;{''a''}&nbsp;→&nbsp;'''C'''인 [[정칙함수]]라고 하자. 이 특이점 ''a''가 [[극점 (복소해석학)|극점]]이나 [[제거 가능 특이점]]이 아니라면 ''f'' 의 ''본질적 특이점''이라고 한다.

예를 들면 함수 ''f''(''z'') = ''e''<sup>1/''z''</sup>는 ''z'' = 0에서 본질적 특이점을 가지고 있다.

== 다른 설명 ==
''a''를 복소수이고 ''f''(''z'') 가 ''a''에서 정의되어있지 않지만 복소평면의 일부 영역 ''U''에서 해석적이고 ''a''의 [[열린집합|열린]] [[근방]]이 ''U''와 빠짐없이 만난다고 가정하자.

만약
: <math>\lim_{z \to a}f(z)</math>와 &nbsp; <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math>가 둘 다 존재하면 ''a'' 는 ''f''와 1/''f ''의 [[제거 가능 특이점]]이다.
만약
: <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math>''a''는 ''f'' 의 [[근 (복소해석학)|근]]이고1/''f''의 [[극점 (복소해석학)|극점]]이다.
유사하게
: <math>\lim_{z \to a}f(z)</math><math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math>''a''는 ''f'' 의 [[극점 (복소해석학)|극점]]이며 1/''f''의 [[근 (복소해석학)|근]]이다.
만약
: <math>\lim_{z \to a}f(z)</math><math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math>''a''는 ''f''와 1/''f'' 모두의 본질적 특이점이다.
본질적 특이점을 특정화 하기 위한 다른 방법으로는 a에서 f의 로랑 급수는 무한히 많은 음의 항을 가진다(즉, 로랑 급수의 [[주요 부분]]은 무한 급수이다). 관련 정의는 <math>f(z)(z-a)^n</math>에서 <math>z</math>가 <math>a</math> <math>a</math><math>f(z)</math>.<ref>{{웹 인용|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Essential Singularity|url=http://mathworld.wolfram.com/EssentialSingularity.html|publisher=MathWorld, Wolfram|accessdate=11 February 2014}}</ref>

본질적 특이점 주변에서의 [[정칙함수]]의 움직임은 [[카소라티-바이어슈트라스 정리]]와 상당히 강력한 [[피카르의 정리]]에 의해 증명된다. 후자는 본질적 특이점 ''a''주변에서 함수 ''f''는 하나를 제외하고 ''모든'' 복소수 값을 무한히 많이 가진다는 것을 말한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* '' [http://demonstrations.wolfram.com/AnEssentialSingularity/ An Essential Singularity]'' by [[스티븐 울프럼|Stephen Wolfram]], Wolfram Demonstrations Project.
* [http://planetmath.org/essentialsingularity Essential Singularity on Planet Math]
{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학]]