본질적 단사 사상 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''본질적 단사 사상'''(本質的單射寫像, {{llang|en|essential monomorphism}})은 [[동형 사상]]에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 [[단사 사상]]인지 여부에 영향을 끼치지 않는 [[단사 사상]]이다. 마찬가지로, '''잉여적 전사 사상'''(剩餘的全射寫像, {{llang|en|superfluous epimorphism}})은 [[동형 사상]]에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 [[전사 사상]]인지 여부에 영향을 끼치지 않는 [[전사 사상]]이다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 [[단사 사상]] <math>f\colon X\to\tilde X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''본질적 단사 사상'''이라고 한다.
:임의의 사상 <math>g\colon\tilde X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>g\circ f</math>가 [[단사 사상]]이라면, <math>g</math> 역시 [[단사 사상]]이다.

마찬가지로, [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 [[전사 사상]] <math>f\colon\tilde X\to X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''잉여적 전사 사상'''이라고 한다.
:임의의 사상 <math>g\colon Y\to\tilde X</math>에 대하여, 만약 <math>f\circ g</math>가 [[전사 사상]]이라면, <math>g</math> 역시 [[전사 사상]]이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서, [[단사 사상]]의 [[모임 (집합론)|모임]] 또는 [[전사 사상]]의 [[모임 (집합론)|모임]]을 다른 종류의 사상의 모임 <math>\mathfrak H</math>로 바꾸어 <math>\mathfrak H</math>-'''본질적 사상''' 및 <math>\mathfrak H</math>-'''잉여적 사상'''을 정의할 수 있다.

== 예 ==
임의의 범주에서, [[동형 사상]]은 항상 본질적 단사 사상이자 잉여적 전사 사상이다.

=== 집합 ===
[[집합]]과 [[함수]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Set}</math>에서, 본질적 단사 사상 및 잉여적 전사 사상은 [[전단사 함수]] 밖에 없다.

=== 가군 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>\tilde M</math>의 부분 가군 <math>M</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 경우 <math>M</math>이 <math>\tilde M</math>의 '''본질적 부분 가군''', <math>\tilde M</math>이 <math>M</math>의 '''본질적 확대'''라고 한다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|74, Definition 3.26}}
* 포함 사상 <math>M\to\tilde M</math>은 [[왼쪽 가군]] 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 본질적 단사 사상이다.
* <math>\tilde M</math>의 임의의 부분 가군 <math>N</math>에 대하여, 만약 <math>M\cap N=0</math>이라면 <math>N=0</math>이다.
(이 두 조건이 동치인 것은 <math>N</math>을 [[핵 (수학)|핵]]으로 갖는 [[가군 준동형]] <math>g\colon M\to P</math>를 생각하면 알 수 있다.)

마찬가지로, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>\tilde M</math>의 부분 가군 <math>K</math> 및 [[몫가군]] <math>M=\tilde M/K</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 경우 <math>K</math>가 <math>\tilde M</math>의 '''잉여적 부분 가군'''이라고 한다.<ref name="Lam"/>{{rp|74}}
* 몫 사상 <math>\tilde M\to M</math>은 [[왼쪽 가군]] 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 잉여적 전사 사상이다.
* <math>\tilde M</math>의 임의의 [[부분 가군]] <math>N\subseteq\tilde M</math>에 대하여, 만약 <math>K+N=\tilde M</math>이라면 <math>N=\tilde M</math>이다.
(이 두 조건이 동치인 것은 <math>N</math>을 [[상 (수학)|상]]으로 갖는 [[가군 준동형]] <math>g\colon P\to\tilde M</math>를 생각하면 알 수 있다.)

본질적 부분 가군은 흔히 <math>\subseteq_{\text{e}}</math>로, 잉여적 부분 가군은 흔히 <math>\subseteq_{\text{s}}</math>로 표기한다.

특히, <math>_RR</math> 자체의 본질적/잉여적 부분 가군을 '''본질적/잉여적 [[왼쪽 아이디얼]]'''이라고 한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Essential subgroup}}
* {{nlab|id=superfluous epimorphism|title=Superfluous epimorphism}}
* {{nlab|id=essential ideal|title=Essential ideal}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2011/12/04/a-singular-module-is-a-quotient-of-a-module-by-an-essential-submodule/|제목=A singular module is a quotient of a module by an essential submodule|웹사이트=Abstract Algebra|이름=Yaghoub|성=Sharifi|날짜=2011-12-04|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]
[[분류:가군론]]