복제 불가능성 정리 문서 원본 보기

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양자 정보 이론에서 '''복제 불가능성 정리'''는 임의의 알려지지 않은 양자 상태와 동일한 복사본을 독립적으로 만드는 것이 불가능하다고 명시하며, 이는 양자 계산 분야에서 심오한 의미를 지닌다. 이 정리는 James Park<ref name="park">{{저널 인용|제목=The concept of transition in quantum mechanics|저널=[[Foundations of Physics]]|성=Park|이름=James|연도=1970|권=1|호=1|쪽=23–33|bibcode=1970FoPh....1...23P|doi=10.1007/BF00708652}}</ref> 이 저술한 1970년 no-go 정리의 진화이며, 여기서 그는 단순하고 완벽한 방해 없는 측정 체계가 존재할 수 없음을 보여준다(동일한 결과는 1982년에 독립적으로 도출될 것이다. 우터스 및 추렉<ref name="wootterszurek">{{저널 인용|제목=A Single Quantum Cannot be Cloned|저널=[[Nature (journal)|Nature]]|성=Wootters|이름=William|성2=Zurek|이름2=Wojciech|연도=1982|권=299|호=5886|쪽=802–803|bibcode=1982Natur.299..802W|doi=10.1038/299802a0}}</ref> 뿐만 아니라 딕스<ref name="dieks">{{저널 인용|제목=Communication by EPR devices|저널=[[Physics Letters A]]|성=Dieks|이름=Dennis|연도=1982|권=92|호=6|쪽=271–272|bibcode=1982PhLA...92..271D|doi=10.1016/0375-9601(82)90084-6}}</ref> 같은 해). 복제는 구체적으로 동일한 요인으로 분리 가능한 상태의 생성을 의미하므로 앞서 언급한 정리는 한 계의 상태가 다른 계의 상태와 [[양자 얽힘|얽히는]] 것을 배제하지 않는다. 예를 들어 제어된 NOT 게이트 와 발스-아다마흐 게이트를 사용하여 얽힌 상태의 하위 계 측면에서 잘 정의된 상태가 정의되지 않을 수 있으므로 복제 불가능성 정리를 위반하지 않고 두 [[큐비트]]를 얽히게 할 수 있다. 복제 불가능성 정리(일반적으로 이해되는 대로)는 순수 상태에만 관련되는 반면 혼합 상태에 관한 일반화된 진술은 방송 불가능성 정리로 알려져 있다.

복제 불가능성 정리에는 시간 역전 이중, 삭제 불가능성 정리가 있다. 이들은 함께 [[범주론]], 특히 데거 콤팩트 범주 측면에서 양자 역학의 해석을 뒷받침한다.<ref>{{서적 인용|제목=New Structures for Physics|성=Baez|이름=John|성2=Stay|이름2=Mike|연도=2010|출판사=Springer|위치=Berlin|쪽=95–172|장=Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone|isbn=978-3-642-12821-9}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Quantum Picturalism|저널=Contemporary Physics|성=Coecke|이름=Bob|날짜=2009|권=51|쪽=59–83|arxiv=0908.1787|doi=10.1080/00107510903257624}}</ref> 범주형 양자 역학으로 알려진 이 공식화는 양자 역학에서 양자 정보 이론의 논리인 [[선형 논리]]로의 연결을 허용한다([[직관 논리]]가 [[데카르트 닫힌 범주]]에서 발생하는 것과 같은 의미에서).

== 역사 ==
애셔 페레스<ref>{{저널 인용|제목=How the No-Cloning Theorem Got its Name|저널=[[Fortschritte der Physik]]|성=Peres|이름=Asher|연도=2003|권=51|호=45|쪽=458–461|arxiv=quant-ph/0205076|bibcode=2003ForPh..51..458P|doi=10.1002/prop.200310062}}</ref>와 데이비드 카이저에 따르면<ref>{{서적 인용|제목=How the Hippies Saved Physics: Science, Counterculture, and the Quantum Revival|url=https://archive.org/details/howhippiessavedp0000kais|성=Kaiser|이름=David|저자링크=David Kaiser|연도=2011|출판사=[[W. W. Norton]]|isbn=978-0-393-07636-3}}</ref> 우터스 와 추렉<ref name="wootterszurek">{{저널 인용|제목=A Single Quantum Cannot be Cloned|저널=[[Nature (journal)|Nature]]|성=Wootters|이름=William|성2=Zurek|이름2=Wojciech|연도=1982|권=299|호=5886|쪽=802–803|bibcode=1982Natur.299..802W|doi=10.1038/299802a0}}</ref> 및 딕스<ref name="dieks">{{저널 인용|제목=Communication by EPR devices|저널=[[Physics Letters A]]|성=Dieks|이름=Dennis|연도=1982|권=92|호=6|쪽=271–272|bibcode=1982PhLA...92..271D|doi=10.1016/0375-9601(82)90084-6}}</ref>가 1982년 복제 불가능성 정리를 증명한 논문은 닉 허버트<ref>{{저널 인용|제목=FLASH—A superluminal communicator based upon a new kind of quantum measurement|저널=[[Foundations of Physics]]|성=Herbert|이름=Nick|연도=1982|권=12|호=12|쪽=1171–1179|bibcode=1982FoPh...12.1171H|doi=10.1007/BF00729622}}</ref>의 제안에 의해 촉발되었다. [[양자 얽힘]]을 사용하는 [[초광속 통신]] 장치의 경우 지안카를로 기라르디<ref name="Ghirardi2013">{{인용|출판사=IntechOpen}}</ref>는 우터스와 추렉가 해당 제안에 대한 심사 보고서에서 출판된 증명보다 18개월 전에 정리를 증명했다(편집자의 편지<ref name="Ghirardi2013" />에서 알 수 있다.). 그러나 [[Juan Ortigoso|오르티고소]]<ref>{{저널 인용|제목=Twelve years before the quantum no-cloning theorem|저널=[[American Journal of Physics]]|성=Ortigoso|이름=Juan|연도=2018|권=86|호=3|쪽=201–205|arxiv=1707.06910|bibcode=2018AmJPh..86..201O|doi=10.1119/1.5021356}}</ref>는 양자역학에서 단순 비(非)교란 측정의 부족에 대한 해석과 함께 완전한 증명이 1970년에 Park에 의해 전달되었다고 2018년에 지적했다.<ref name="park">{{저널 인용|제목=The concept of transition in quantum mechanics|저널=[[Foundations of Physics]]|성=Park|이름=James|연도=1970|권=1|호=1|쪽=23–33|bibcode=1970FoPh....1...23P|doi=10.1007/BF00708652}}</ref>

== 정리 및 증명 ==
동일한 힐베르트 공간 <math>H = H_A = H_B</math>을 가진 두 개의 양자 계 <math>A</math>와 ''<math>B </math>''가 있고 양자 계 ''<math>B </math>''의 상태 <math>|e\rangle_B</math> 위에 양자 계 ''<math>A</math>''의 임의의 상태 <math>|\phi\rangle_A</math>를 복사하고자 한다. ([[브라-켓 표기법]] 참조). 즉, 상태 <math>|\phi\rangle_A \otimes |e\rangle_B </math>에서 시작해서 상태 <math>|\phi\rangle_A \otimes |\phi\rangle_B </math>를 얻고 싶다. 상태 ''<math>A</math>''의 "사본"을 만들기 위해, <math>|\phi\rangle_A</math>와 독립적인 알 수 없는 초기 상태 또는 비어있는 상태 <math>|e\rangle_B</math>에서 계 ''B''와 결합시킨다.

결합된 계의 초기 상태는 다음 [[텐서곱|텐서 곱]]으로 설명된다.

: <math>|\phi\rangle_A \otimes |e\rangle_B.</math>

<math>\otimes</math> 기호는 이하 생략하겠다.

결합된 계를 조작할 수 있는 허용 가능한 양자 연산은 다음 두 가지 밖에 없다.

# 우리는 관측을 수행할 수 있는데, 이는 계를 [[관측가능량|관측 가능한]] 고유 상태로 비가역적으로 [[파동 함수 붕괴|붕괴]]시켜 [[큐비트]]에 포함된 정보를 손상시킨다. 이것은 분명히 우리가 원하는 것이 아니다.
# 또는 ''결합된'' 계의 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니안]]을 제어할 수 있으므로 예를 들어 시간 독립적인 해밀토니안<math>U(t) = e^{-iHt/\hbar}</math>에 대해 [[양자역학의 수학 공식화|시간 진화 연산자]] <math>U(t)</math>를 제어할 수 있다. 일정한 시간 <math>t_0</math>까지 진화하는 결합된 계의 힐베르트 공간 <math>H \otimes H</math>위에 작용하는 [[유니터리 작용소|유니타리 연산자]] ''<math>U</math>''를 산출한다. 그러나 그러한 유니타리 연산자 ''<math>U</math>''는 모든 상태를 복제할 수 없다.

복제 불가능성 정리는 다음 질문에 대해 부정적으로 답한다. "계 A의 임의의 상태에 대해서, 계 B의 상태가 계 A의 상태로 진화하도록 하는 <math>H_A \otimes H_B = H \otimes H</math>에 작용하는 유니타리 연산자 ''<math>U</math>''를 구성할 수 있는가?"

'''정리''' :  <math>e</math>와 <math>\phi</math>에 의존하는 어떤 실수 <math>\alpha</math>와 <math>H</math>의 모든 정규화된 상태 <math>|\phi \rangle_A</math>, <math>|e\rangle_B</math>에 대해

: <math>U(|\phi\rangle_A |e\rangle_B) = e^{i \alpha(\phi,e)} |\phi\rangle_A |\phi\rangle_B</math>

가 성립하는 <math>H \otimes H</math> 위에 작용하는 유니타리 연산자 ''<math>U</math>''는 존재하지 않는다.

추가적 페이즈 인자(복소수의 편각)은 양자 역학 상태가 힐베르트 공간에서 정규화된 벡터를 페이즈 인자까지만 정의한다는 사실을 표현한다. 즉, 양자역학의 상태는 [[사영 공간|사영 힐베르트 공간]]의 원소이다.

정리를 증명하기 위해 힐베르트 공간 <math>H</math>에서 임의의 상태 쌍 <math>|\phi\rangle_A</math>, <math>|\psi\rangle_A</math>을 선택한다. ''<math>U</math>''는 유니타리해야 하기 때문에

: <math>
 \langle \phi| \psi\rangle \langle e | e \rangle \equiv
 \langle \phi|_A \langle e|_B |\psi\rangle_A |e\rangle_B =
 \langle \phi|_A \langle e|_B U^\dagger U |\psi\rangle_A |e\rangle_B =
 e^{-i(\alpha(\phi, e) - \alpha(\psi, e))} \langle \phi|_A \langle \phi|_B |\psi\rangle_A |\psi\rangle_B \equiv
 e^{-i(\alpha(\phi, e) - \alpha(\psi, e))} \langle \phi |\psi\rangle^2.
</math>

양자 상태 <math>|e\rangle</math>는 정규화 된 것으로 가정하므로

: <math> |\langle \phi | \psi \rangle|^2 = |\langle \phi | \psi \rangle|.</math>

이는 다음 중 하나를 의미한다. <math>|\langle \phi | \psi \rangle| = 1</math> 또는 <math>|\langle \phi | \psi \rangle| = 0</math>. 따라서 [[코시-슈바르츠 부등식]]에 의해 <math>|\phi\rangle = e^{i\beta}|\psi\rangle</math>이거나 <math>|\phi\rangle</math>는 <math>|\psi\rangle</math>에 [[직교]]한다. 그러나 이것은 자명하게 ''임의의'' 두 상태가 아니다. 따라서 하나의 범용 연산자 ''<math>U</math>''가 ''일반적인'' 양자 상태를 복제할 수는 없다. 이렇게 복제 불가능성 정리를 증명한다.

예를 들어 [[큐비트]]을 보자. 그것은 [[확률 진폭]]([[큐비트|1로 정규화됨]])이라고 하는 두 개의 [[복소수]], 즉 세 개의 실수(두 개의 각과 하나의 반지름)로 나타낼 수 있다. 복사 [[잘라내기, 복사, 붙여넣기|및 붙여넣기]] 작업을 사용하여 기존 컴퓨터에서 세 개의 숫자를 복사하는 것은 사소하지만(유한한 정밀도까지) 큐비트가 유니타리 변환(예: 아다마흐 양자 게이트에 의해)되어 분극화되는 경우 문제가 나타난다.([[유니터리 작용소|유니타리 변환]]은 [[등거리변환|전사 등장사상]]이다) 이러한 경우 큐비트는 두 개의 실수(극각 하나와 1인 반지름 하나)로 나타낼 수 있지만 세 번째 값은 이러한 표현에서 임의적일 수 있다. 그러나 큐비트(예: 편광 인코딩된 광자)의 [[큐비트|실현]]은 "구조" 내에 전체 큐비트 정보를 저장할 수 있다. 따라서 하나의 범용적 유니타리 진화 연산자 ''<math>U</math>''는 복제 불가능성 정리에 따라 임의의 양자 상태를 복제할 수 없다. 변환된 큐비트(초기) 상태에 의존해야 하므로 ''범용적''이지 않다.

== 일반화 ==
정리의 설명에서 두 가지 가정이 이루어졌다. 복사할 상태는 순수 상태이고 제안된 복사기는 유니타리 시간 진화를 통해 작동한다. 이러한 가정은 일반성을 잃지 않는다. 복사할 상태가 혼합 상태인 경우, 더 큰 계의 순수한 상태로 취급하는 방식으로 "정화" 할 수 있다.  또는 혼합 상태에서 직접 작동하는 다른 증명을 제공할 수 있다. 이 경우 정리는 종종 방송 불가능성 정리로 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Noncommuting Mixed States Cannot Be Broadcast|저널=Physical Review Letters|성=Barnum|이름=Howard|성2=Caves|이름2=Carlton M.|날짜=1996-04-08|권=76|호=15|쪽=2818–2821|arxiv=quant-ph/9511010|bibcode=1996PhRvL..76.2818B|doi=10.1103/PhysRevLett.76.2818|pmid=10060796|성3=Fuchs|이름3=Christopher A.|성4=Jozsa|이름4=Richard|성5=Schumacher|이름5=Benjamin}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=No-Broadcasting Theorem and Its Classical Counterpart|저널=Physical Review Letters|성=Kalev|이름=Amir|성2=Hen|이름2=Itay|날짜=2008-05-29|권=100|호=21|쪽=210502|arxiv=0704.1754|bibcode=2008PhRvL.100u0502K|doi=10.1103/PhysRevLett.100.210502|pmid=18518590}}</ref> 마찬가지로 ancilla를 도입하고 적절한 유니타리 진화를 수행하여 임의의 양자 연산을 구현할 수 있다. 따라서 복제 불가 정리는 일반적으로 완전히 성립한다.

== 이에 따른 결과들 ==

* 복제 불가능성 정리는 양자 상태에 대한 특정 고전 [[오류 검출 정정|오류 정정]] 기술의 사용을 방지한다. 예를 들어, 양자 계산 도중 상태의 백업 복사본을 생성하여 후속 오류를 정정하는 데 사용할 수 없다. 오류 정정은 실용적인 양자 계산에 필수적이며 한동안 그것이 가능한지 여부가 불분명했다. 1995년에 [[피터 쇼어|쇼어]]와 스테인은 복제 불가능성 정리를 우회하는 최초의 양자 오류 정정 부호를 독립적으로 고안함으로써 이것이 사실임을 보여주었다.
* 유사하게, 복제는 양자 상태를 고전적 비트 열(심지어 무한 열의 비트)로 변환하고 해당 비트를 새로운 위치로 복사한 다음 새 위치의 원래 양자 상태. 이것은 한 위치에서 양자 상태를 파괴하고 다른 위치에서 정확한 복사본을 다시 만들 수 있는 얽힘을 통한 순간 이동과 혼동해서는 안 된다.
* 복제 불가능성 정리는 양자 얽힘이 고전 정보를 전송하는 데 사용될 수 없다는 통신 불가능성 정리에 의해 암시된다(초광속이든 더 느리든). 즉, 복제는 얽힘과 함께 이러한 통신이 발생하도록 허용한다. 이를 확인하려면 [[EPR 역설|EPR 사고 실험]]을 고려하고 양자 상태를 복제할 수 있다고 가정한다. [[양자 얽힘|극대 얽힘]] 벨 상태의 일부가 앨리스와 밥에게 분배된다고 가정한다. 엘리스는 다음과 같은 방법으로 밥에게 비트를 보낼 수 있다. 엘리스가 "0"을 전송하려면 '''z''' 방향에서 전자의 스핀을 측정하여 밥의 상태를 <math>|z+\rangle_B</math> 또는 <math>|z-\rangle_B</math> 중 하나로 붕괴시킨다. "1"을 전송하기 위해 엘리스는 자신의 큐비트에 아무 작업도 수행하지 않는다. 밥은 전자 상태의 복사본을 많이 만들고 각 복사본의 '''z''' 방향 스핀을 측정한다. 밥은 모든 측정값이 동일한 결과를 생성하면 엘리스가 "0"을 전송했음을 알게 된다. 그렇지 않으면 그의 측정 결과가 <math>|z+\rangle_B</math> 또는 <math>|z-\rangle_B</math> 동등한 확률로 나올 것이다.  이렇게 하면 엘리스와 밥이 서로에게 고전적인 비트를 통신할 수 있다(아마도 [[인과관계|인과율]]을 위반하는 [[시공간|공간꼴]] 분리를 가로질러).
* 양자 상태들을 완벽하게 구별할 수 없다.<ref>{{저널 인용|제목=Quantum state discrimination and its applications|저널=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|성=Bae|이름=Joonwoo|성2=Kwek|이름2=Leong-Chuan|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8113/48/8/083001|날짜=2015-02-27|권=48|호=8|쪽=083001|arxiv=1707.02571|bibcode=2015JPhA...48h3001B|doi=10.1088/1751-8113/48/8/083001|issn=1751-8113}}</ref>
* 복제 불가능성 정리는 [[블랙홀]]에 대한 [[홀로그래피 원리|홀로그래픽 원리]]를 두 개의 정보 복사본이 있다는 의미로 해석하는 것을 방지한다. 하나는 [[사건의 지평선|사건의 지평]]에 있고 다른 하나는 블랙홀 내부에 있다. 이것은 블랙홀 상보성과 같은 보다 급진적인 해석으로 이어진다.
* 복제 불가능성 정리는 모든 단검 콤팩트 범주에 적용된다. 이러한 종류의 자명하지 않은 범주에 대한 보편적인 복제 형태는 없다.<ref>S. Abramsky, "No-Cloning in categorical quantum mechanics", (2008) ''Semantic Techniques for Quantum Computation'', I. Mackie and S. Gay (eds), Cambridge University Press. {{ArXiv|0910.2401}}</ref> 이 정리는 이 범주의 정의에 내재되어 있지만 이것이 사실임을 보는 것은 자명한 일이 아니다. 이 범주에는 집합 및 관계 범주와 [[보충 경계]] 범주를 포함하여 유한 차원 힐베르트 공간이 아닌 것들이 포함되므로 이 통찰은 중요하다.

== 불완전 복제 ==
미지의 양자 상태를 완벽하게 복제하는 것은 불가능하지만 불완전한 복제본을 만드는 것은 가능하다. 이는 복제할 계에 더 큰 보조 계를 연결하고 결합된 계에 유니타리 변환을 적용하여 수행할 수 있다. 유니타리 변환이 올바르게 선택되면 결합된 계의 여러 구성 원소가 원래 계의 대략적인 복사본으로 발전한다. 1996년에 V. Buzek과 M. Hillery는 범용 복사기가 5/6이라는 놀라울 정도로 높은 충실도로 알려지지 않은 상태의 복제본을 만들 수 있음을 보여주었다.<ref>{{저널 인용|제목=Quantum Copying: Beyond the No-Cloning Theorem|저널=Phys. Rev. A|성=Bužek|이름=V.|성2=Hillery|이름2=M.|연도=1996|권=54|호=3|쪽=1844–1852|arxiv=quant-ph/9607018|bibcode=1996PhRvA..54.1844B|doi=10.1103/PhysRevA.54.1844|pmid=9913670}}</ref>

불완전한 양자 복제는 양자 정보 이론의 다른 용도 중에서 [[양자 암호|양자 암호화]] 프로토콜에 대한 [[감청|도청 공격]]으로 사용될 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[양자 얽힘]]
* [[양자 복제]]
* [[양자 정보 이론]]
* [[불확정성 원리|하이젠베르크 불확정성 원리]]

== 각주 ==
<references />

== 기타 출처 ==
* V. Buzek 및 M. Hillery, ''Quantum cloning'', Physics World 14(11) (2001), pp.&nbsp;25 &#x2013; 29.

[[분류:양자정보과학]]