복소 곱셈 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''복소 곱셈'''({{llang|en|complex multiplication}})이란 [[대수적 수체]] 위에 정의된 특별한 [[타원 곡선]]들이 [[정수]]의 환보다 더 큰 [[자기준동형환]]을 갖는 현상이다.

== 전개 ==
[[타원 곡선]] <math>E</math>의 [[자기준동형환]] <math>\operatorname{End}(E)</math>는 원점(군 구조의 항등원)을 보존하는 정칙 함수(regular map)들의 집합이다. 이는 덧셈과 합성에 따라 [[환 (수학)|환]]을 이룬다.

타원 곡선의 자기준동형환은 항상 정수의 환 <math>\mathbb Z</math>와 [[동형]]인 부분환 <math>i\colon\mathbb Z\hookrightarrow\operatorname{End}(E)</math>를 가진다. 이는 다음과 같다.
:<math>i(n)\colon p\in E\mapsto np</math>
여기서 <math>np</math>는 타원곡선의 군 구조에 따른 것이다.

만약 <math>\operatorname{End}(E)</math>가 어떤 허수 [[이차 수체]] <math>\mathbb Q[\sqrt{-d}]</math>의 [[순서 (환론)|순서]](order)와 [[동형]]이라면, <math>E</math>가 <math>\mathbb Q[\sqrt{-d}]</math>에 대한 '''복소 곱셈'''을 갖는다고 한다.

== 예 ==
복소 곱셈을 갖는 타원 곡선의 예로 다음과 같은 복소 타원 곡선을 들 수 있다.
:<math>\mathbb C/\mathbb Z[\sqrt{-1}]\theta</math>
여기서 <math>\theta</math>는 0이 아닌 임의의 [[복소수]]고, <math>\mathbb Z[\sqrt{-1}]</math>는 [[가우스 정수]]들의 환이다. 이 타원곡선의 [[자기준동형환]]은 [[가우스 정수]]환 <math>\mathbb Z[\sqrt{-1}]</math>와 동형이다.

보다 일반적으로, 복소수체에 대한 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선은 다음과 같이 정의할 수 있다. 허수 [[이차 수체]] <math>\mathbb Q[\sqrt{-d}]</math>의 [[순서 (환론)|순서]] <math>O\subset\mathbb Q[\sqrt{-d}]</math>를 고르면, 타원곡선
:<math>\mathbb C/O</math>
는 <math>O</math>에 대한 복소 곱셈을 갖게 된다.

== 특이 모듈러스 ==
복소 타원곡선의 경우, [[모듈라이 공간]]을 [[상반평면]]의 원소 <math>\tau\in\mathbb H</math>로 적을 수 있다. 그렇다면 [[모듈라이 공간]]의 점 <math>\tau</math>에서 복소 곱셈이 존재할 조건은 <math>\tau</math>가  허수 [[이차 수체]]의 원소라는 조건과 [[동치]]이다. 이러한 점에서 [[j-불변량]]의 값 <math>j(\tau)</math>을 '''특이 모듈러스'''({{llang|en|singular modulus}})라고 한다.
특이 모듈러스 <math>j(\tau)</math>는 항상 [[대수적 수]]이다.

[[j-불변량]] <math>j(\tau)</math>가 [[대수적 수]]일 조건은 <math>\tau</math>가 허수 [[이차 수체]]의 원소일 조건과 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용| first=Alan | last=Baker | title=Transcendental Number Theory | url=https://archive.org/details/transcendentalnu0000bake | publisher=Cambridge University Press | year=1975 | isbn=0-521-20461-5 | zbl=0297.10013}}</ref>{{rp|56}}

== 크로네커의 청춘의 꿈 ==
''K''가 허수 [[이차 수체]]이고, 그 유체(class field)가 <math>H</math>라고 하자. <math>E</math>가 <math>K</math>에 대한 복소 곱셈을 갖는 [[타원 곡선]]이라고 하자. 그렇다면 ''K''의 최대 [[아벨 확대]]는 <math>E/H</math>의 유한 차수 점들의 (바이어슈트라스 모형(Weierstrass model)에서의) 좌표들로 생성된다. 이는 [[레오폴트 크로네커]]가 발견하였고, '''크로네커의 청춘의 꿈'''({{llang|de|Kronecker Jugendtraum|크로네커 유겐트트라움}})이라고 한다. 이에 대하여 크로네커는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|이것이 내가 가장 좋아하는 청춘의 꿈이라네. 즉, 유리수의 제곱근에 대한 아벨 방정식이 [[타원 함수]]의 특이 모듈러스의 변환 방정식으로 소진되는 걸 증명하는 것이라네. 정수에 대한 아벨 방정식이 [[원분체]] 방정식으로 소진되는 것처럼 말일세.<br>
{{lang|de|Es handelt sich um meinen liebsten Jugendtraum, nämlich um den Nachweis, dass die Abel’schen Gleichungen mit Quadratwurzeln rationaler Zahlen durch die Transformations-Gleichungen elliptischer Functionen mit singulären Moduln grade so erschöpft werden, wie die ganzzahligen Abel’schen Gleichungen durch die Kreistheilungsgleichungen.}}|크로네커, 1880년 3월 15일 [[리하르트 데데킨트]]에게 보낸 서신. Collected Works, vol. V, p. 455}}
크로네커의 청춘의 꿈을 허수 이차 수체 말고도 다른 [[수체]]로 확장시키는 것이 [[힐베르트의 문제들|힐베르트의 12번째 문제]]이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/ComplexMultiplication.html Complex multiplication] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20100509204459/http://planetmath.org/encyclopedia/ComplexMultiplication.html}} from [[PlanetMath|PlanetMath.org]]
* [http://planetmath.org/encyclopedia/ExamplesOfEllipticCurvesWithComplexMultiplication.html Examples of elliptic curves with complex multiplication] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20100509204503/http://planetmath.org/encyclopedia/ExamplesOfEllipticCurvesWithComplexMultiplication.html}} from [[PlanetMath|PlanetMath.org]]

== 같이 보기 ==
* [[헤그너 수]]
* [[크로네커-베버 정리]]
* [[힐베르트의 문제|힐베르트의 열두 번째 문제]]

[[분류:아벨 다양체]]
[[분류:타원함수]]
[[분류:유체론]]