복소평면 문서 원본 보기

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[[파일:Complex conjugate picture.svg|right|섬네일|복소평면에 나타낸 복소수 ''z''와 [[켤레복소수]]의 기하학적 표현. 원점에서 점 ''z''를 따라 그어진 파란색 선의 거리는 복소수 ''z''의 [[절댓값]]을 나타내고 각 ¢은 z의 논의를 나타낸다.]]
수학에서, '''복소평면'''(複素平面)은 [[복소수]]를 [[기하학|기하학적]]으로 표현하기 위해 개발된 [[데카르트 좌표계|좌표평면]]으로 서로 직교하는 [[실수|실수축]]과 [[허수 단위|허수축]]으로 이루어져 있다. 이것은 복소수의 실수부가 실수축에, 허수부가 허수축에 대응된 형태의 [[데카르트 좌표계|데카르트 좌표]]로 볼 수 있다.

복소평면의 개념은 복소수의 기하학적 해석을 가능하게 한다. 덧셈연산 하에서, 복소수들은 복소평면상에서 [[벡터]]처럼 더해진다. 두 복소수의 곱셈은 [[극좌표]]를 이용하면 쉽게 표현할 수 있다. 특히 복소수의 크기가 1인 복소수 간의 곱셈은 회전하는 것처럼 행동한다. [[삼각함수의 덧셈정리]]에 의하여, <math> (\cos A+i\sin A)(\cos B+i\sin B)=(\cos A\cos B-\sin A\sin B)+i(\sin A \cos B + \cos A \sin B)=\cos(A+B)+i\sin(A+B) </math>가 되어 회전한 결과와 같게 된다.

== 정의 ==
복소수는 다음과 같이 정의하는 수이다.
:<math>z=\mathrm{Re}z+i\mathrm{Im} z</math> (<math>\mathrm{Re}z</math>, <math>\mathrm{Im}z</math>는 실수, <math>i=\sqrt{-1}</math>)
다시 말해, 하나의 복소수는 실수 두개로 이뤄진 하나의 [[순서쌍]]과 대응시킬 수 있다. 하나의 순서쌍은 좌표평면의 한 점으로 대응되기 때문에 복소수 역시 좌표평면상의 한 점으로 나타낼 수 있다. 일반적으로 실수부는 <math>x</math>좌표로, 허수부는 <math>y</math>좌표로 대응시킨다.
:<math>z(x,y)=x+iy</math>

극좌표를 이용하여 <math> z=x+iy </math> 를
:<math>z=r(\cos \theta+i\sin \theta)</math>

라고 표현하며, 이 경우, 실수부와 허수부는 각각,
:<math>x=r\cos \theta</math>
:<math>y=r\sin \theta</math>

이다. 또한, [[오일러의 공식]]을 이용하여
:<math>z=re^{i \theta}</math>
라고 쓴다.

원점과 점<math>z</math>를 이은 직선과 실수축 사이의 각인 <math>\theta</math>는 <math>z</math>의 편각이라고 하며, 삼각함수는 주기가 <math>2\pi</math>이기 때문에 <math>z</math>의 편각이 <math>\theta</math> 일때, <math>\theta+2n\pi</math> (<math>n</math>은 임의의 정수) 역시 <math>z</math>의 편각이다. 편각 중에서 구간 (<math>-\pi,\pi</math>]에 있는 것은 유일하며, 특별히 주편각이라고 한다. <math>z</math>의 편각을 나타내는 기호는 <math>\mathrm{arg}\,z</math>이며, 주편각은 <math>\mathrm{Arg}\,z</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[복소기하학]]
* [[리만 구]]
* [[실직선]]
== 참조 ==
* {{서적 인용|first=Francis J. |last=Flanigan |title=Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions |url=https://archive.org/details/complexvariables00flan |location= |publisher=Dover |year=1983 |isbn=0-486-61388-7 }}
* {{서적 인용|first=Gino |last=Moretti |title=Functions of a Complex Variable |publisher=Prentice-Hall |year=1964 }}
* {{서적 인용|first=H. S. |last=Wall |title=Analytic Theory of Continued Fractions |url=https://archive.org/details/bwb_T2-CGU-777 |publisher=D. Van Nostrand Company |year=1948 }} Reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company {{ISBN|0-8284-0207-8}}.
* {{서적 인용|authorlink=E. T. Whittaker |first=E. T. |last=Whittaker |authorlink2=G. N. Watson |first2=G. N. |last2=Watson |title=A Course in Modern Analysis |edition=Fourth |location= |publisher=Cambridge University Press |year=1927 }}

{{토막글|수학}}

[[분류:복소해석학]]
[[분류:복소수]]
[[분류:제어이론]]