복소수 벡터 다발 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''복소수 벡터 다발'''(複素數vector다발, {{llang|en|complex vector bundle}})은 올이 [[복소수 벡터 공간]]의 구조를 갖추는 [[매끄러운 벡터 다발]]이다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 (실수) [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E \twoheadrightarrow M</math> 위의 '''복소구조'''는 다음과 같은 [[벡터 다발 사상]]이다.
* <math>J \colon E \to E</math>
* <math>J^2 = -1</math>
따라서, 임의의 <math>x\in M</math>에서, <math>E</math>의 올 <math>E_x</math>에 다음과 같은 유한 차원 [[복소수 벡터 공간]]의 구조를 줄 수 있다.
:<math>(a+\mathrm ib) = (a + bJ) v</math>
복소구조를 갖춘 매끄러운 벡터 다발을 '''복소수 벡터 다발'''이라고 한다.

== 연산 ==
=== 켤레 벡터 다발 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 복소수 벡터 다발 <math>(E,J)</math>이 주어졌을 때, <math>(E,-J)</math> 역시 복소수 벡터 다발이다. 이를 <math>(E,J)</math>의 '''켤레 복소수 벡터 다발'''({{llang|en|conjugate complex vector bundle}})이라고 하며, 보통 <math>\bar E</math>로 표기한다.

켤레 복소수 벡터 다발의 [[천 특성류]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname c_k(\bar E) = (-)^k \operatorname c_k(E)</math>

=== 복소화 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 (실수) [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>E^{\mathbb C} = E\oplus E</math>
:<math>J = \begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix} \colon E^{\mathbb C} \to E^{\mathbb C}</math>
를 정의할 수 있으며, 이는 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이를 <math>E</math>의 '''복소화'''({{llang|en|complexification}})라고 한다.

실수 벡터 다발의 복소화 <math>E^{\mathbb C}</math>의 경우, 항상 <math>E^{\mathbb C} \cong \overline{E^{\mathbb C}}</math>이다. 즉, 스스로의 켤레와 동형이 아닌 복소수 벡터 다발은 실수 벡터 다발의 복소화가 될 수 없다.

== 추가 구조 ==
==== 에르미트 계량 ====
복소수 [[매끄러운 벡터 다발]] <Math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math> 위의 '''에르미트 계량'''({{llang|en|Hermitian metric}})은 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>\bar E^* \otimes_{\mathbb R} E^*</math>의 [[매끄러운 단면]] 가운데, 각 점 <math>x\in M</math>에서 <math>E_x</math> [[양의 정부호]] [[에르미트 형식]]을 이루는 것이다.

에르미트 계량이 주어졌다면, 켤레 벡터 다발 <math>\bar E</math>는 표준적으로 쌍대 벡터 다발 <math>E^*</math>과 동형이다.

=== 에르미트 접속 ===
에르미트 계량 <math>\langle-,-\rangle</math>를 갖춘 복소수 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 [[벡터 다발 접속]] <math>\nabla</math>
이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 두 [[매끄러운 단면]] <math>s,t\in\Gamma^\infty(M,E)</math>에 대하여,
:<Math>\mathrm d\langle s,t\rangle = \langle\nabla s,t\rangle + \langle s,\nabla t\rangle</math>
가 성립한다면, 이 접속을 '''에르미트 접속'''({{llang|en|Hermitian connection}})이라고 한다.

다양체는 정의에 따라 [[파라콤팩트 공간]]이므로, 모든 복소수 벡터 다발은 (하나 이상의) 에르미트 접속을 갖는다. (물론, 이는 일반적으로 유일하지 않다.)

== 성질 ==
접다발이 복소수 벡터 다발의 구조를 갖춘 [[매끄러운 다양체]]를 '''[[개복소다양체]]'''라고 한다.

매끄러운 다양체 <math>M</math> 위의 복소수 벡터 다발 <math>E</math>가 주어졌으며, 또한 <math>M</math> 자체가 복소다양체를 이룬다고 하자. 이 경우, <math>E</math>와 <math>M</math>의 복소구조는 서로 호환될 필요는 없다. 다만, 서로 호환되는 경우를 '''[[정칙 벡터 다발]]'''이라고 한다.

복소수 벡터 다발에 대하여 [[천 특성류]]와 [[오일러 특성류]]를 정의할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[정칙 벡터 다발]]
* [[K이론]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|url=http://mathsoc.jp/publication/PublMSJ/PDF/Vol15.pdf | 제목=Differential geometry of complex vector bundles | 이름=Shoshichi | 성=Kobayashi | 총서=Publications of the Mathematical Society of Japan | 출판사=Princeton University Press | 날짜=1987 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=complex vector bundle|title=Complex vector bundle}}
* {{매스월드|id=ComplexVectorBundle|title=Complex vector bundle}}

[[분류:벡터 다발]]