복소수 미분 형식 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''복소수 미분 형식'''(複素數微分形式, {{llang|en|complex differential form}})은 [[복소다양체]] 위에 정의한 [[미분 형식]]이다. (실수) [[매끄러운 다양체]] 위의 [[미분 형식]]과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원의 [[복소다양체]] <math>M</math>을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화 <math>\mathrm T^{\mathbb C}M</math>는 복소구조 <math>J\colon \mathrm TM\to\mathrm TM</math>, <math>J^2=-1</math>의 [[고윳값]] <math>\pm\mathrm i</math>에 따른 [[고유 공간]]
:<math>\mathrm T^{\mathbb C}M = \mathrm T^+M\oplus\mathrm T^-M</math>
으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 [[벡터 다발]]을 이룬다. 이 가운데 <math>\mathrm T^+M</math>은 항상 [[정칙 벡터 다발]]이지만, <math>\mathrm T^-M</math>은 일반적으로 그렇지 않다.

이들에 각각 올별 복소수 [[쌍대 공간]]을 취하면, 복소수 벡터 다발
:<math>\mathrm T^{+*}M = \Omega^{1,0}M</math>
:<math>\mathrm T^{-*}M = \Omega^{0,1}M</math>
을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발
:<math>\Omega^{p,q} = \underbrace{\Omega^{1,0}M \wedge \dotsb \wedge \Omega^{1,0}M}_p \wedge \underbrace{\Omega^{0,1}M \wedge \dotsb \wedge \Omega^{0,1}M}_q</math>
을 취할 수 있다. (만약 <math>q = 0</math>이라면 이는 역시 [[정칙 벡터 다발]]이다.) 이 다발의 [[매끄러운 단면]]을 '''<math>(p,q)</math>차 복소수 미분 형식'''이라고 한다.

<math>\Omega^{p,0}</math>은 [[정칙 벡터 다발]]이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다. <math>\Omega^{p,0}</math>의 정칙 단면을 <math>p</math>차 '''정칙 미분 형식'''(正則微分形式, {{llang|en|holomorphic differential form}})이라고 한다.

보다 일반적으로, [[복소다양체]] <math>M</math> 위의 [[정칙 벡터 다발]] <math>E \twoheadrightarrow M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''<math>E</math>값의 복소수 미분 형식'''({{llang|en|<math>E</math>-valued complex differential form}})을 <math>\Omega^{p,q}\otimes_{\mathbb C}E</math>의 [[매끄러운 단면]]으로 정의할 수 있다. 마찬가지로, '''<math>E</math>값의 <math>p</math>차 정칙 미분 형식'''은 [[정칙 벡터 다발]] <Math>\Omega^{p,0}\otimes_{\mathbb C}E</math>의 정칙 단면이다.

=== 국소 좌표계로의 표현 ===
국소적으로, <math>M</math>의 임의의 점의 [[근방]] <math>U</math>에 복소수 좌표 <math>z^i,\bar z^i</math> (<math>i=1\dots n</math>)를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식
:<math>\mathrm dz^i \in \Omega^{1,0}(U)\qquad(i\in\{1,\dotsc,n\})</math>
:<math>\mathrm d\bar z^i \in \Omega^{0,1}(U)\qquad(i\in\{1,\dotsc,n\})</math>
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로
:<math>\alpha=\sum_{i,j,\dotsc,k,l,\dotsc} f_{ij\dotso kl\dotso}\mathrm dz^i\wedge\mathrm dz^j\wedge\dotsb\mathrm d\bar z^k\wedge\mathrm d\bar z^l\wedge\dotsb</math>
:<math>f_{ij\dotso kl\dotso} \in \mathcal C^\infty(U,\mathbb C)</math>
꼴의 형식을 취한다. 여기서 <math>\mathrm dz</math>가 <math>p</math> 개, <math>\mathrm d\bar z</math>가 <math>q</math>개 있으면 이를 <math>(p,q)</math>-형식으로 부른다.

국소 좌표계로는 ''p''차 정칙 미분 형식 <math>\alpha</math>는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,\mathrm dz^I</math>
여기서 <math>f_I\colon U \to \mathbb C</math>는 [[정칙 함수]]다. 즉, <math>p</math>차 정칙 미분 형식은
:<math>\bar\partial\alpha=0</math>
을 만족하는 <math>(p,0)</math>차 복소수 미분 형식 <math>\alpha</math>이다.

== 성질 ==
=== 실수 미분 형식과의 관계 ===
[[복소다양체]] <math>M</math>은 [[복소구조]]를 잊으면 [[매끄러운 다양체]]이므로, 그 위에 (실수) [[미분 형식]]을 정의할 수 있다. 이 경우
:<math>(\mathrm T^*M)^{\mathbb C} = \Omega^{1,0}M \oplus \Omega^{0,1}M</math>
이므로,
:<math>\Omega^k(M) \otimes_{\mathbb R}\mathbb C= \Omega^k(M;\mathbb C) = \bigoplus_{q=0}^k \Omega^{k-q,q}(M)</math>
이 된다.

이 경우, 외미분
:<math>\mathrm d \colon \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)</math>
은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상
:<math>\mathrm d^{\mathbb C} \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p,q+1}(M) \oplus \Omega^{p+1,q}(M)</math>
임을 보일 수 있다. 즉,
:<math>\partial\colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p+1,q}(M) </math>
:<math>\bar\partial\colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p,q+1}(M) </math>
로 정의하면,
:<math>\mathrm d = \partial + \bar\partial</math>
이다. 이 두 [[미분 연산자]] <math>\partial</math>과 <math>\bar\partial</math>을 '''돌보 연산자'''(Dolbeault演算子, {{llang|en|Dolbeault operator}})라고 부른다.

국소 좌표계로는 돌보 연산자를 [[외미분]]과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 <math>(p,q)</math>-형식 <math>\alpha</math>의 경우,
:<math>\alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar z^J\in\Omega^{p,q}</math>
그 돌보 연산자는 다음과 같다.
:<math>\partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J</math>
:<math>\bar\partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J</math>
여기서 <math>I</math>, <math>J</math>는 [[다중지표]]다.

=== 돌보 코호몰로지 ===
[[복소다양체]]의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.
:<math>\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0</math>
따라서 <math>\partial</math> 또는 <math>\bar\partial</math>로서 [[코호몰로지]]를 정의할 수 있다. 이 가운데, <math>\bar\partial</math>로 정의되는 것은 <math>\Omega^{p,0}</math>의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로 <math>\partial</math>로 정의되는 것은 <math>\Omega{0,q}</math>의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통 <math>\bar\partial</math>로 정의되는 코호몰로지를 사용한다.

즉, 다음과 같은, [[복소수 벡터 공간]](의 [[층 (수학)|층]])으로 구성된 [[사슬 복합체]]를 생각하자.
:<math>\Omega^{p,0}\stackrel{\bar\partial_0}\to\Omega^{p,1}\stackrel{\bar\partial_1}\to\Omega^{p,2}\stackrel{\bar\partial_2}\to\cdots</math>
그 코호몰로지는 다음과 같이 <math>(p,q)</math>-형식의 [[동치류]] 공간이다.
:<math>\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}=\ker\bar\partial_q/\operatorname{im}\,\bar\partial_{q-1}</math>
이를 '''돌보 코호몰로지'''({{llang|en|Dolbeault cohomology}})라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 [[벡터 공간]]) 차원을 '''호지 수'''({{llang|en|Hodge number}})라고 부른다. 즉 호지 수 <math>h^{p,q}</math>는 다음과 같다.
:<math>h^{p,q}=\dim\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}\in\mathbb N\sqcup\{\infty\}</math>
호지 수는 ([[복소수 벡터 공간]]의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 [[복소다양체]]가 [[콤팩트 공간|콤팩트]]하면 호지 수는 유한하다.

호지 수는 [[드람 코호몰로지]]의 차원인 [[베티 수]] <math>b^k</math>에 대응하며, 특히 다음이 성립한다.
:<math>b^k(M) = \sum_{p+q=k} h^{p,q}(M)</math>
<math>n</math>차원 복소다양체는 총 <math>(n+1)^2</math>개의 호지 수
:<math>h^{p,q} \qquad(p,q\in\{0,\dotsc,n\})</math>
를 가진다. 이 가운데 <math>h^{0,0} = b^0</math>은 <math>M</math>의 [[연결 성분]]의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 [[복소다양체]]의 경우 [[세르 쌍대성]]
:<math>\operatorname H^q(V,\mathcal O) \cong \operatorname H^q(V,\Omega^{n,0})^*</math>
에 의하여
:<math>h^{0,q} = h^{n,q}</math>
가 성립한다.

만약 <math>M</math>이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상
:<math>h^{p,q} = h^{q,p} = h^{n-p,n-q}</math>
가 성립한다.

=== 층 코호몰로지 ===
돌보 복합체
:<math>0\to\Omega^{p,0}(M) \xrightarrow{\bar\partial} \Omega^{p,1}(M) \xrightarrow{\bar\partial} \Omega^{p,2}(M) \to \dotsb</math>
는 [[섬세층]]으로 구성되며, <math>p</math>차 정칙 단면들의 [[층 (수학)|층]]의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는 <math>p</math>차 정칙 단면의 층의 [[층 코호몰로지]]와 같다.
:<math>\operatorname H_{\bar\partial}^{p,q}(M)\cong\operatorname H^q(M,\Omega^{p,0})</math>
이를 '''돌보 정리'''({{llang|en|Dolbeault's theorem}})라고 한다. 특히, 만약 <math>p = 0</math>일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 [[정칙 함수]]이므로, 돌보 복합체는 [[구조층]]의 코호몰로지를 계산한다.

이는 실수 미분 형식의 경우 [[드람 코호몰로지]]가 [[상수층]] <math>\underline{\mathbb R}</math>의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다.

보다 일반적으로, 임의의 [[정칙 벡터 다발]] <math>E</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체
:<math>0\to\Gamma^\infty(E) = \Omega^{0,0}(M;E) \xrightarrow{\bar\partial} \Omega^{0,1}(M;E) \xrightarrow{\bar\partial} \Omega^{0,2}(M;E) \to \dotsb</math>
는 <math>E</math>의 [[층 코호몰로지]]의, [[섬세층]]으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는 <math>E</math>의 층 코호몰로지와 일치한다. (<math>p>0</math>인 경우는 [[정칙 벡터 다발]] <math>E' = E \otimes_{\mathbb C} \Omega^{p,0}</math>의 층 코호몰로지이므로, <math>p=0</math>인 경우로 귀결된다.) 예를 들어
:<math>\operatorname H^0(E) = \ker(\bar\partial \restriction \Omega^{0,0}(M;E))</math>
는 <math>\bar\partial\alpha = 0</math>인 <math>E</math> 값의 (0,0)차 미분 형식의 [[복소수 벡터 공간]], 즉 <math>E</math>의 정칙 단면의 [[복소수 벡터 공간]]이다.

== 예 ==
[[리만 구]] <math>\operatorname{\mathbb CP}^1</math> 위의 모든 [[정칙 벡터 다발]]은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\bigoplus_i \mathcal O(d_i)</math>
여기서 <math>\mathcal O(d)</math>는 <math>d</math>차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로 <math>\Omega^{1,0}</math>은 [[표준 선다발]]과 같으며, 이는 <math>\mathcal O(-2)</math>이다. ([[리만-로흐 정리]]에 의하여, 종수 <math>g</math>의 [[리만 곡면]]의 [[표준 선다발]]의 차수는 <math>2g-2</math>이며, 리만 구는 <math>g=0</math>인 경우이다.)

[[리만-로흐 정리]]에 의하여,
:<math>\operatorname H^{0,0}(\operatorname{CP}^1) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(0)) = \mathbb C</math>
:<math>\operatorname H^{1,0}(\operatorname{CP}^1) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(-2)) = 0</math>
이다. 즉,
* <math>\operatorname{\mathbb CP}^1</math> 위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, [[정칙 함수]])은 [[상수 함수]] 밖에 없다.
* <math>\operatorname{\mathbb CP}^1</math> 위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다.

마찬가지로,
:<math>\operatorname H^{1,1}(\operatorname{\mathbb CP}^1) = \operatorname H^1(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(-2)) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(2))^* \cong \mathbb C</math>
:<math>\operatorname H^{0,1}(\operatorname{\mathbb CP}^1) = \operatorname H^1(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(0)) = \operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1,\mathcal O(-2))^* = \operatorname H^{1,0}(\operatorname{\mathbb CP}^1)^* = 0</math>
이다. 여기서 [[세르 쌍대성]]을 사용하였다.

물론, <math>\operatorname{\mathbb CP}^1</math> 위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 [[복소수 벡터 공간]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Holomorphic form}}
* {{매스월드|id=ComplexForm|title=Complex form}}
* {{매스월드|id=DelBarOperator|title=Del bar operator}}
* {{nlab|id=Dolbeault cohomology}}
* {{nlab|id=Dolbeault complex}}
* {{nlab|id=Dolbeault-Dirac operator}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분 형식]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:호지 이론]]