복소다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''복소다양체'''(複素多樣體, {{llang|en|complex manifold}})는 국소적으로 복소 공간 <math>\mathbb C^n</math>으로 간주할 수 있는 [[매끄러운 다양체]]이다.

== 정의 ==
'''복소다양체''' <math>(M,\{U_\alpha\},\{\phi_\alpha\}\})</math>는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>M</math>
* <math>M</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}</math>
* 각 <math>U_\alpha</math>에 대하여, <math>\mathbb C^n</math>의 [[열린집합]] <math>\phi_\alpha (U_\alpha)</math>으로의 [[위상동형사상]] <math>\phi_\alpha\colon U_\alpha\to\phi_\alpha (U_\alpha)</math>. 여기서 정수 <math>n</math>은 복소다양체의 '''차원'''이다. 함수족 <math>\{\phi_\alpha\}_{\alpha\in I}</math>를 '''좌표근방계'''({{lang|en|atlas}})라고 한다.
좌표근방계는 다음 조건을 만족하여야 한다.
* <math>U_\alpha\cap U_\beta\ne\varnothing</math>인 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여, 함수 <math>\phi_{\alpha\beta}=\phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1}\colon \phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \phi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)</math>가 [[정칙 함수]]이어야 한다. 이 함수들을 '''추이 사상'''(推移寫像,{{lang|en|transition map}})이라고 한다.

=== 개복소다양체를 통한 정의 ===
복소다양체의 개념은 [[개복소다양체]]의 특수한 경우로 정의할 수도 있다. 모든 [[개복소다양체]] <math>M</math> 위에는 [[네이엔하위스 텐서장]]이라는 (1,2)차 텐서장 ([[접다발]] [[벡터 값 미분 형식|값의 2차 미분 형식]]) <math>N_J</math>이 존재한다. 네이엔하위스 텐서장이 0인 개복소다양체를 '''복소다양체'''라고 한다.

== 예 ==
* 복소 유클리드 공간 <math>\mathbb C^n</math>은 <math>n</math>차원 복소다양체이다.
* [[리만 곡면]]은 1차원 복소다양체이다.
* [[에르미트 다양체]], [[켈러 다양체]], [[칼라비-야우 다양체]] 등은 복소다양체의 특수한 경우다.
* <math>GL(n,\mathbb C)</math>나 <math>Sp(n,\mathbb C)</math>와 같은 복소 [[리 군]]도 복소다양체이다.
* [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb CP^n</math>도 복소다양체를 이룬다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Complex manifold}}
* {{eom|title=Analytic manifold}}
* {{eom|title=Complex structure}}
* {{매스월드|id=ComplexManifold|title=Complex manifold}}
* {{nlab|id=complex manifold|title=Complex manifold}}

== 같이 보기 ==
* [[에르미트 다양체]]
* [[켈러 다양체]]
* [[일반화 복소다양체]]
{{전거 통제}}

[[분류:복소다양체| ]]