보편 이차 형식 문서 원본 보기

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[[이차 형식]] 이론에서, '''보편 이차 형식'''(普遍二次形式, {{llang|en|universal quadratic form}})은 모든 스칼라 값을 [[치역]]으로 갖는 [[이차 형식]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math> 위의 [[이차 형식]] <math>Q\colon M\to R</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, 만약 <math>Q(m)=r</math>인 <math>m\in M</math>이 존재한다면, <math>m</math>을 <math>r</math>의 <math>Q</math>에 의한 '''표현'''({{llang|en|representation of <math>r</math> by <math>Q</math>}})이라고 한다.

만약 <math>R</math>의 모든 원소가 <math>Q</math>에 의하여 표현될 수 있다면, <math>Q</math>를 '''보편 이차 형식'''이라고 한다.

== 분류 ==
=== 복소수체 ===
<math>K</math>가 [[이차 폐체]]({{llang|en|quadratically closed field}}, 모든 수가 제곱근을 갖는 [[체 (수학)|체]])라고 하자. (예를 들어, [[복소수체]]나 보다 일반적으로 모든 [[대수적으로 닫힌 체]]는 이차 폐체이다. 또한, 크기 2의 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math> 역시 이차 폐체이다.) 이 경우, <math>K</math> 위의 임의의 벡터 공간 위의 이차 형식은 [[상수 함수]] 0이거나 아니면 보편 이차 형식이다.

=== 실수체 ===
<math>(K,\le)</math>가 [[에우클레이데스 체]]({{llang|en|Euclidean field}}, 모든 양수가 제곱근을 갖는 [[순서체]])라고 하자. (예를 들어, <math>K</math>가 [[실수체]] <math>\mathbb R</math>이거나 보다 일반적으로 [[실폐체]]일 경우 이에 해당된다.)

<math>K</math> 위의 보편 이차 형식은 부정부호 이차 형식이다. 즉, 부호수 <math>(n_+,n_0,n_-)</math>에서 <math>n_+,n_-\ge1</math>인 경우이다. 만약 <math>n_+\ge1</math>이지만 <math>n_-=0</math>인 경우 (양의 정부호) 이차 형식은 오직 음이 아닌 수만을 표현하며, 반대로  만약 <math>n_-\ge1</math>이지만 <math>n_+=0</math>인 경우 (음의 정부호) 이차 형식은 오직 양이 아닌 수만을 표현한다. 만약 <math>n_+=n_-=0</math>인 경우, 이차 형식은 오직 0만을 표현한다.

[[실수체]] 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] 위의 이차 형식이 보편 이차 형식일 필요충분조건은 부정부호 이차 형식인 것이다. 즉, 대각화하였을 때 하나 이상의 양의 [[고윳값]]과 하나 이상의 음의 [[고윳값]]을 갖는 것이다. 예를 들어, <math>x^2-y^2</math>는 보편 이차 형식이지만 <math>x^2</math>는 아니다.

=== 유한체 ===
홀수 표수의 [[유한체]]에 대하여, 2차원 이상의 모든 [[비특이 이차 형식]]은 보편 이차 형식이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | title=Introduction to quadratic forms over fields | volume=67 | series=Graduate Studies in Mathematics | first=Tsit-Yuen | last=Lam | 저자링크=람짓윈 | publisher=American Mathematical Society | 날짜=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929  | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-67 | 언어=en}}</ref>{{rp|36}}

=== p진수체 ===
[[p진수체]] 위의 4차원 이상의 [[벡터 공간]] 위의 [[비퇴화 이차 형식]]은 항상 보편 이차 형식이다.<ref name="Serre">{{서적 인용| first=Jean-Pierre | last=Serre | authorlink=장피에르 세르 | title=A Course in Arithmetic | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=7 | publisher=Springer-Verlag | year=1973 | isbn=0-387-90040-3 | zbl=0256.12001|언어=en }}</ref>{{rp|37}}

=== 유리수체 ===
[[하세-민코프스키 정리]]에 따르면, 유리수체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식 <math>Q</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 보편 이차 형식이다.
* 모든 [[자리 (수론)|자리]] <math>\mathfrak p\in\{\infty,2,3,5,7,\dots\}</math>에 대하여, <math>Q\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q_{\mathfrak p}</math>는 보편 이차 형식이다. (여기서 <math>\mathbb Q_\infty=\mathbb R</math>는 [[실수체]]이며, [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여 <math>\mathbb Q_p</math>는 [[p진수체]]이다.)

=== 정수환 ===
'''15 정리'''(十五定理, {{llang|en|fifteen theorem}})에 따르면, [[유한 생성 아벨 군|유한 생성]] [[자유 아벨 군]] <math>\mathbb Z^n</math> 위의 이차 형식 <math>Q</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용|장url=http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/mat/15.pdf|장=Universal quadratic forms and the fifteen theorem|이름=J. H.|성=Conway|저자링크=존 호턴 콘웨이|제목=Quadratic forms and their applications. Proceedings of the conference on qadratic forms and their applications, July 5–9, 1999, University College Dublin|editor1-first=Eva|editor1-last=Bayer-Fiuckiger|editor2-first=David|editor2-last=Lewis|editor3-first=Andrew|editor3-last=Ranicki|zbl=0987.11026|총서=Contemporary Mathematics|권=272|쪽=23–26|출판사=American Mathematical Society|doi=10.1090/conm/272/4394|mr=1803358|언어=en}}</ref>
* <math>Q</math>는 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15를 표현한다. {{OEIS|A030050}}
* <math>Q</math>는 보편 이차 형식이다.
또한, 각 정수 <math>n\in S=\{1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15\}</math>에 대하여, <math>S\setminus\{n\}</math>을 표현하지만 <math>n</math>을 표현하지 않는 이차 형식이 알려져 있다.

[[라그랑주 네 제곱수 정리]]에 따르면, 정수 계수 이차 형식 <math>x^2+y^2+z^2+w^2</math>는 보편 이차 형식이다.

[[페르마 두 제곱수 정리]]에 따르면, 소수 <math>p</math>가 이차 형식 <math>x^2+y^2</math>에 의하여 표현될 필요충분조건은 <math>p\equiv1\pmod4</math>인 것이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| title=Squares | volume=171 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | first=A. R. | last=Rajwade | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=0-521-42668-5 | zbl=0785.11022 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | url=http://www.ams.org/notices/199702/duke.pdf | 제목=Some old problems and new results about quadratic forms | 이름=William | 성=Duke | 날짜=1997-02 | 저널=Notices of the American Mathematical Society | 권=44 | 호=2| 쪽=190–196 | zbl=0969.11002 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Universal quadratic form}}
* {{eom|title=Quadratic form}}
* {{eom|title=Binary quadratic form}}
* {{수학노트|title=정수의 이차형식 표현}}
* {{저널 인용|url=http://www.math.snu.ac.kr/~bkoh/전공소개(오병권).hwp|제목=이차형식의 표현에 관하여|저자=오병권|저널=대한수학회소식|권=120|날짜=2008|쪽=6–11|언어=ko}}

[[분류:이차 형식]]