보편 계수 정리 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''보편 계수 정리'''(普遍係數定理, {{llang|en|universal coefficient theorem}})는 정수 계수 [[호몰로지]] 또는 [[코호몰로지]]로부터 다른 모든 [[아벨 군]] 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다.

== 정의 ==
=== 호몰로지 보편 계수 정리 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>R</math>
* <math>R</math>-[[가군]] <math>M</math>
* 각 성분이 <math>R</math>-[[평탄 가군]]인 [[사슬 복합체]] <math>(C_\bullet,\partial)</math>
'''호몰로지 보편 계수 정리'''에 따르면, 다음과 같은 [[스펙트럼 열]]이 존재한다.
:<math>E_{p,q}^2=\operatorname{Tor}_p^R(\operatorname H_q(C_\bullet),M)\Rightarrow_p\operatorname H_{p+q}(C_\bullet\otimes_RM)</math>
여기서 Tor는 [[Tor 함자]]이다.

특히, <math>R</math>가 [[주 아이디얼 정역]]이라고 하자. 그렇다면 <math>p\ge2</math>에 대하여 <math>\operatorname{Tor}_p^R=0</math>이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 [[분할 완전열]]이 존재한다.<ref name="DK">{{서적 인용|url=http://www.indiana.edu/~jfdavis/teaching/m623/book.pdf|제목=Lecture Notes in Algebraic Topology|이름=James F.|성=Davis|이름2=Paul|성2=Kirk|날짜=2001|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=35|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-2160-2|언어=en|access-date=2016-01-25|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304114955/http://www.indiana.edu/~jfdavis/teaching/m623/book.pdf|url-status=dead}}</ref>{{rp|47, Theorem 2.34}}
:<math>0\to\operatorname H_i(X;R)\otimes_{\mathbb Z}M=\operatorname{Tor}_0^R\left(\operatorname H_i(X;R),M\right)\to\operatorname H_i(X;M)\to\operatorname{Tor}_1^R\left(\operatorname H_i(X;\mathbb Z),M\right)\to0</math>
그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.
즉, <math>\operatorname H_i(X;M)</math>은 다음과 같은 상승 [[여과 (수학)|여과]]를 갖는다.
:<math>\frac{F_p\operatorname H_i(X;M)}{F_{p-1}\operatorname H_i(X;M)}=\operatorname{Tor}_p^R\left(\operatorname H_i(X;R),M\right)</math>
특히, <math>R</math>가 [[주 아이디얼 정역]]이며 추가로 <math>M</math>이 [[평탄 가군]]이라고 하자. (만약 <math>R=\mathbb Z</math>라면, 이는 <math>M</math>이 [[꼬임 부분군]]이 없는 [[아벨 군]]이라는 조건이다.) 그렇다면 <math>\operatorname{Tor}_1^R(-,M)=0</math>이며, 따라서
:<math>\operatorname H_i(X;R)\otimes_{\mathbb Z}M\cong\operatorname H_i(X;M)</math>
이다.

=== 코호몰로지 보편 계수 정리 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>R</math>
* <math>R</math>-[[가군]] <math>M</math>
* 각 성분이 <math>R</math>-[[자유 가군]]인 [[사슬 복합체]] <math>(C_\bullet,\partial)</math>
'''코호몰로지 보편 계수 정리'''에 따르면, 다음과 같은 [[스펙트럼 열]]이 존재한다.
:<math>E^{p,q}_2=\operatorname{Ext}^p_R(\operatorname H_q(X;R),M)\Rightarrow_p\operatorname H^{p+q}(X;M)</math>
여기서 Ext는 [[Ext 함자]]이다.

특히, <math>R</math>가 [[주 아이디얼 정역]]이라고 하자. 그렇다면 <math>p\ge2</math>에 대하여 <math>\operatorname{Ext}^p_R=0</math>이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 [[분할 완전열]]이 존재한다.<ref name="DK"/>{{rp|44, Theorem 2.29}}
:<math>0\to\operatorname{Ext}^1_R\left(\operatorname H_{i-1}(C_\bullet),M\right)\to\operatorname H^1(C_\bullet\otimes_RM)\to\hom_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)=\operatorname{Ext}^0_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)\to0</math>
그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.
즉, <math>\operatorname H^i(C_\bullet\otimes_RM)</math>은 다음과 같은 하강 [[여과 (수학)|여과]]를 갖는다.
:<math>\frac{F^p\operatorname H_i(C_\bullet\otimes_RM)}{F^{p+1}\operatorname H_i(C_\bullet\otimes_RM)}=\operatorname{Ext}^p_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)</math>
특히, <math>R</math>가 [[주 아이디얼 정역]]이며 추가로 <math>M</math>이 [[단사 가군]]이라고 하자. (만약 <math>R=\mathbb Z</math>라면, 이는 <math>M</math>이 [[나눗셈군]]이라는 조건이다.) 그렇다면 <math>\operatorname{Ext}^1_R(-,M)=0</math>이며, 따라서
:<math>\operatorname H^1(C_\bullet\otimes_RM)\cong\hom_R\left(\operatorname H_i(C_\bullet),M\right)</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=universal coefficient theorem|title=Universal coefficient theorem}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:대수적 위상수학 정리]]