보편 가역층 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]과 [[미분기하학]]에서, '''보편 가역층'''(普遍可逆層, {{llang|en|universal invertible sheaf}}, {{lang|en|tautological invertible sheaf}}) 또는 '''보편 선다발'''(普遍線다발, {{llang|en|universal line bundle}}, {{lang|en|tautological line bundle}})은 [[사영 공간]] 위에 정의되는 표준적인 [[가역층]]([[선다발]])이며, 보통 <math>\mathcal O(-1)</math>로 표기된다. 대략, 사영 공간은 [[벡터 공간]]의 원점을 지나는 1차원 부분 벡터 공간들의 [[모듈라이 공간]]이므로, 보편 가역층은 사영 공간의 각 점에, 이 점이 나타내는 1차원 부분 벡터 공간을 대응시키는 선다발이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 생성 자유 가환 [[결합 대수]]
:<math>A = K[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>
를 생각하자. <math>n</math>차원 [[사영 공간]]은 그 [[사영 스펙트럼]]이다.
:<math>\mathbb P^n_K = \operatorname{Proj}A</math>
이제, 구조층
:<math>\mathcal O_{\mathbb P_K^n}</math>
위의 대수층
:<math>\mathcal A = \mathcal O_{\mathbb P_K^n}[y_0,\dotsc,y_n]</math>
의 [[상대 스펙트럼]]
:<math>\operatorname{\underline{Spec}}\mathcal A = \mathbb A^{n+1}_{\mathbb P^n_K} = \mathbb P_K^n \times_K \mathbb A^{n+1}_K</math>
을 취하자. 기하학적으로, 이는 <math>n</math>차원 [[사영 공간]] 위의 자명한 <math>n+1</math>차원 [[벡터 다발]]에 해당한다.

이제, 대수층의 다음과 같은 [[아이디얼 층]]을 생각하자.
:<math>\mathfrak I = (x_iy_j-x_jy_i)_{i,j\in \{0,1,\dotsc,n\}}
\subseteq \mathcal A</math>
그렇다면, 이에 대한 몫 대수층
:<math>\mathcal O_{\mathcal P^n_K}(-1) = \operatorname{\underline{Spec}}(\mathcal A/\mathfrak I)</math>
는 [[가역층]]을 이룬다. 이를 <math>\mathbb P^n_K</math>의 '''보편 가역층'''이라고 한다. 기하학적으로, 그 닫힌점들의 집합은
:<math>\{([x_0:x_1:\dotsb:x_n],y_0,y_1,\dotsc,y_n) \in \mathbb P_K^n \times_K \mathbb A^{n+1}_K \colon [x_0:\dotsb:x_n] = [y_0:\dotsb:y_n]\}
\cup \mathbb P_K^n \times \{(0,0,\dotsc,0)\}</math>
이다. 여기서 <math>(-,-,\dotsc,-)</math>은 [[아핀 공간]]의 데카르트 좌표이며, <math>[-:-:\dotsb:-]</math>는 [[사영 공간]]의 [[동차 좌표]]이다.

== 성질 ==
보편 가역층 <math>\mathcal O(-1)</math>은 [[세르 뒤틀림층]]({{llang|en|Serre’s twisting sheaf}}) <math>\mathcal O(1)</math>의 (텐서곱에 대한) 역원이다.

=== 베유 인자 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 사영 공간 <math>\mathbb P^n_K = \operatorname{Proj} K[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>을 생각하자. 이 경우, 가환환의 몫 사상
:<math>K[x_0,x_1,\dotsc,x_n] \,\stackrel{x_0 \mapsto 0} \twoheadrightarrow \, K[x_1,\dotsc,x_n] </math>
으로 정의되는, [[사영 공간]] 사이의 사상
:<math>\mathbb P^{n-1}_K \hookrightarrow \mathbb \mathbb P^n_K</math>
을 생각하자. 이는 여차원 1의 [[닫힌 부분 스킴]]이므로, <math>\mathbb P^n_K</math>의 [[베유 인자]]를 이룬다. 이를 '''초평면 인자'''({{llang|en|hyperplane divisor}})라고 하고, <math>H</math>로 표기하자.

(<math>x_0</math> 대신 다른 좌표를 사용하거나 <math>x_0</math>을 0 대신 다른 값으로 대응시키더라도, 이와 같은 동치류에 속하는 [[베유 인자]]를 얻는다.)

그렇다면, 보편 가역층은 인자류
:<math>-[H] \in \operatorname{DivCl}(\mathbb P^n_K)</math>
에 대응한다. (즉, 효과적 인자류 <Math>[H]</math>는 [[세르 뒤틀림층]]에 대응한다.)

== 같이 보기 ==
* [[천 특성류]]
* [[톰 공간]]

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=tautological line bundle|title=Tautological line bundle}}
* {{nlab|id=hyperplane line bundle|title=Hyperplane line bundle}}

{{전거 통제}}

[[분류:벡터 다발]]
[[분류:대수기하학]]