보충 경계 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Cobordism.svg|섬네일|right|두 다양체 <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 보충 경계 <math>W</math>]]
[[미분위상수학]]에서 '''보충 경계'''(補充境界, {{llang|en|cobordism|코보디즘}})는 두 개의 [[다양체]] 사이를 잇는, 이들을 경계로 하는 다양체이다.

== 정의 ==
두 콤팩트 <math>n</math>차원 (경계 없는) [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 '''보충 경계'''(補充境界, {{llang|en|cobordism}}) <math>(W,i,j)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>W</math>는 경계를 가진 <math>n+1</math>차원 콤팩트 매끄러운 다양체이다.
* <math>i\colon M\hookrightarrow W</math> 및 <math>j\colon N\hookrightarrow W</math>는 [[매끄러운 매장]]이다.
이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>i(M)\cap i(N)=\varnothing</math>이다.
* <math>\partial W=i(M)\cup i(N)</math>. 여기서 <math>\partial W</math>는 (경계를 가진 다양체의) 경계이다.
두 콤팩트 매끄러운 다양체 사이에 보충 경계가 존재한다면, 두 매끄러운 다양체가 서로 '''보충 경계적'''(補充境界的,{{llang|en|cobordant}})이라고 한다. 주어진 다양체와 보충 경계적인 모든 콤팩트 매끄러운 다양체들의 집합을 '''보충 경계류'''({{llang|en|cobordism class}})라고 한다. 공집합 <math>\varnothing</math>과 보충 경계적인 다양체를 '''공보충 경계적'''(空補充境界的, {{llang|en|null-cobordant}})이라고 한다.

보충 경계의 정의에서, <math>W</math>가 [[콤팩트 공간]]이라는 조건을 가하는 이유는, 그렇지 않으면 모든 다양체 <math>M</math>은 <math>M\times\mathbb[0,1)</math>을 통해 공보충 경계적이 되어 다양체의 보충 경계류에 대한 분류가 자명해지기 때문이다. 또한, <math>W</math>가 [[연결 공간]]일 필요는 없다. 그렇지 않다면, 공보충 경계의 합성이 불가능해지기 때문이다.

== 성질 ==
보충 경계 [[동치 관계]]는 [[오일러 지표]]의 홀짝성을 보존한다. 즉, 두 콤팩트 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math>이 보충 경계적이라면, 다음이 성립한다.
:<math>\chi(M)\equiv\chi(N)\pmod2</math>

주어진 차원 <math>n</math>의 보충 경계류들은 [[분리합집합]]에 대하여 [[가환 모노이드]]를 이룬다. (이 경우, 항등원은 [[공집합]]이다.) 이는 사실 [[아벨 군]]임을 보일 수 있다. 이를 '''보충 경계군'''(補充境界群, {{llang|en|cobordism group}})이라고 하고, <math>\mathfrak N_n</math>으로 표기한다.

모든 차원의 보충 경계군들의 [[직합]]
:<math>\mathfrak N=\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak N_n</math>
위에는 [[곱공간]] 연산을 통해 곱을 정의할 수 있다. 이에 따라 <math>\mathfrak N</math>은 자연수 [[등급환]]을 이루며, 이를 '''보충 경계환'''(補充境界環, {{llang|en|cobordism ring}})이라고 한다. 보충 경계환에서의 곱셈 단위원은 [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>이다.

=== 보충 경계성의 필요충분조건 ===
<math>n</math>차원의 두 콤팩트 매끄러운 다양체 <math>M</math>, <math>N</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Thom">{{저널 인용|이름=René|성=Thom|저자링크=르네 톰|제목=Quelques propriétés globales des variétés différentiables|저널=Commentarii Mathematici Helvetici|권=28|호=1|날짜=1954|쪽=17–86|mr=0061823|zbl=0057.15502|doi=10.1007/BF02566923|issn=0010-2571|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/thomcob.pdf|언어=fr}}</ref>
* <math>M</math>과 <math>N</math>은 보충 경계적이다.
* <math>M</math>과 <math>N</math>의 모든 [[슈티펠-휘트니 수]]가 같다. 즉, <math>n</math>의 임의의 [[자연수 분할]] <math>n=n_1+n_2+\cdots+n_k</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
*:<math>\int_Mw_{n_1}(M)\smile\cdots\smile w_{n_k}(M)=\int_Nw_{n_1}(N)\smile\cdots\smile w_{n_k}(N)\in\mathbb F_2</math>
여기서 <math>w_i(M)\in H^i(M;\mathbb F_2)</math>는 <math>i</math>번째 [[슈티펠-휘트니 특성류]]이다.

=== 톰 스펙트럼 ===
{{본문|톰 스펙트럼}}
[[호모토피 이론]]을 통해, '''[[톰 스펙트럼]]'''이라는 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]] <math>\operatorname{MO}</math>를 정의할 수 있으며, 그 [[호모토피 군]]은 보충 경계군과 동형임을 보일 수 있다.
:<math>\pi_k(\operatorname{MO})\cong\mathfrak N_k</math>
톰 스펙트럼은 구체적으로 다음과 같이 정의된다. 우선, 보편 [[벡터 다발]], 즉 [[직교군]] <math>\operatorname O(n)</math>의 [[분류 공간]] <math>\operatorname{EO}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{BO}(n)</math>의 [[연관 다발]] <math>\gamma^n\twoheadrightarrow\operatorname{BO}(n)</math>을 생각하자. 보편 벡터 다발의 [[톰 공간]]을 다음과 같이 표기하자.
:<math>\operatorname{MO}(n)=\operatorname{Thom}(\gamma^n)</math>
그렇다면, 톰 스펙트럼은 <math>\operatorname{MO}(n)</math>들로 구성된다.

== 구성 ==
보충 경계는 수술 또는 [[모스 이론]]을 통하여 구성할 수 있다.

=== 수술 ===
{{본문|수술 (수학)}}
[[파일:Circle-surgery.svg|섬네일|right|원에 수술을 가하면 하나의 원 또는 두 개의 원으로 만들 수 있다.]]
<math>p+q</math>차원 다양체 <math>M</math> 속에 [[매장 (수학)|매장]]
:<math>\phi\colon\mathbb S^p\times\mathbb D^q\hookrightarrow M</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>\partial(\mathbb S^p\times\mathbb D^q)=\mathbb S^p\times\mathbb S^{q-1}=\partial(\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1})</math>
이므로, <math>\phi</math>의 [[상 (수학)|상]]을 도려내고, 대신 그 구멍을 <math>(\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1})</math>로 채울 수 있다. 이와 같은 과정을 <math>p</math>-'''수술'''(手術, {{llang|en|surgery}})이라고 한다. 수술을 하여 얻는 다양체를
:<math>N=\left(M\setminus\operatorname{int}\phi(\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1}\right)\cup_{\phi|_{\mathbb S^p\times\mathbb S^q}}\mathbb D^{p+1}\times\mathbb S^{q-1}</math>
라고 하자.

이와 같은 수술의 '''자취'''({{llang|en|trace}})는 다음과 같다.
:<math>W=(M\times[0,1])\cup_{\mathbb S^p\times \mathbb D^q\times \{1\}} (\mathbf{D}^{p+1}\times \mathbf{D}^q) </math>
이는 <math>M</math>과 <math>N</math> 사이의 보충 경계를 정의한다. 이와 같이, 수술의 자취로 얻어지는 보충 경계를 '''기본 보충 경계'''(基本補充境界, {{llang|en|elementary cobordism}})라고 한다. 모든 보충 경계는 기본 보충 경계들의 합성으로 얻어진다. (이는 [[마스턴 모스]] · [[르네 톰]] · [[존 밀너]]가 증명하였다.)

=== 모스 함수 ===
<math>n+1</math>차원 다양체 <math>X</math> 위의 [[모스 함수]]
:<math>f\colon X\to\mathbb R</math>
의 [[임계점]] <math>x\in M</math>이 주어졌으며, 다른 모든 [[임계점]] <math>x'</math>에 대하여 <math>c=f(x)\ne f(x')</math>라고 하자. 또한, <math>x</math>의 임계점의 [[모스 지표]]가 <math>p+1</math>라고 하자., 충분히 작은 <math>\epsilon</math>에 대하여
:<math>M_\pm=f^{-1}(c\pm\epsilon)</math>
를 정의할 수 있으며, 이 경우 <math>M_+</math>는 <math>M_-</math>에 대하여 <math>p</math>-수술을 가하여 얻어진다. 이 경우
:<math>W=f^{-1}([c-\epsilon,c+\epsilon])</math>
은 <math>M_+</math>와 <math>M_-</math> 사이의 보충 경계를 이룬다.

== 예 ==
=== 연결합과 분리합집합 ===
[[파일:Pair of pants cobordism (pantslike).svg|섬네일|right|두 개의 원의 [[분리합집합]] <math>\mathbb S^1\sqcup\mathbb S^1</math>은 한 개의 원 <math>\mathbb S^1</math>과 보충 경계적이다.]]
임의의 두 <math>n</math>차원 콤팩트 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[연결합]] <math>M\#N</math>과 [[분리합집합]] <math>M\sqcup N</math>은 서로 보충 경계적이다. 이는 다음과 같이 수술로 구성할 수 있다.
# <math>M\sqcup N</math> 속에 <math>\mathbb S^0\times\mathbb D^n</math>을 매장한다.
# <math>\mathbb S^0\times\mathbb D^n</math>을 도려내고 <math>\mathbb D^1\times\mathbb S^{n-1}</math>을 붙인다. 그렇다면, 수술 결과는 [[연결합]] <math>M\#N</math>이 된다.

이 수술의 특수한 예로, 두 개의 [[초구]]의 [[분리합집합]] <math>\mathbb S^n\sqcup\mathbb S^n</math>은 한 개의 초구 <math>\mathbb S^n\cong\mathbb S^n\#\mathbb S^n</math>과 보충 경계적이다. 이러한 보충 경계를 대체로 '''바지'''({{llang|en|pair of pants}})라고 한다.  (즉, 한 개의 초구인 쪽은 "허리", 두 개의 초구인 쪽은 "다리"가 된다.)

=== 같은 두 다양체의 분리합집합 ===
임의의 콤팩트 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>에 대하여, <math>M\times M</math>은 항상 공보충 경계적이다. 구체적으로, [[구간]]과의 곱 <math>M\times[0,1]</math>은 <math>M\times M</math>과 [[공집합]] 사이의 보충 경계를 정의한다. 또한, <math>M\#M</math> 역시 공보충 경계적임을 알 수 있다.

특히, [[초구]] <math>\mathbb S^n\cong\mathbb S^n\#\mathbb S^n</math>는 공보충 경계적이다. 구체적으로, <math>\mathbb S^n=\partial\mathbb D^{n+1}</math>이 된다 (<math>\mathbb D^{n+1}</math>은 <math>n+1</math>차원 [[공 (수학)|공]]).

=== 낮은 차원의 보충 경계류 ===
분리합집합은 연결합과 보충 경계적이므로, 콤팩트 곡면의 보충 경계 분류는 [[연결 공간|연결]] 콤팩트 곡면만의 분류로 족하다.

==== 0차원 ====
0차원 연결 콤팩트 다양체는 [[한원소 공간]]밖에 없다. 이 밖에, [[공집합]]은 0차원 [[초구]] <math>\mathbb S^0=\{\bullet\}^{\sqcup2}</math>와 보충 경계적이다. 그러나 공집합의 [[오일러 지표]]는 0이지만 [[한원소 공간]]의 [[오일러 지표]]는 1이므로, 이 둘은 서로 보충 경계적이지 않다. 즉, 0차원 보충 경계군은 2차 [[순환군]]이다.
:<math>\mathfrak N_0\cong\operatorname{Cyc}(2)</math>

==== 1차원 ====
1차원 연결 콤팩트 [[다양체]]는 원밖에 없다. 이들은 모두 서로 보충 경계적이다. 즉, 구멍이 <math>p+q</math>개 뚫린 [[구 (기하학)|구]]는 <math>(\mathbb S^1)^{\sqcup p}</math>와 <math>(\mathbb S^1)^{\sqcup q}</math> 사이의 보충 경계를 정의한다. 따라서, 1차원에서는 하나의 보충 경계류가 존재하며, 보충 경계군은 자명하다.
:<math>\mathfrak N_1\cong0</math>

==== 2차원 ====
[[파일:Sphere-surgery1.png|섬네일|right|구에 1-수술을 가하면, 두 개의 구의 [[분리합집합]]을 얻는다.]]
[[파일:Sphere-surgery2.png|섬네일|right|구에 0-수술을 가하면, 수술의 방향에 따라 [[원환면]] 또는 [[클라인 병]]을 얻는다. 이 그림에서는 [[원환면]]을 얻는 경우를 제시하였다. (클라인 병의 경우, 마지막 그림에서 붉은 띠가 원기둥 대신 [[뫼비우스 띠]]를 이룬다.)]]
2차원 연결 콤팩트 곡면은 표준적으로 <math>p</math>개의 [[원환면]]과 2개 이하의 [[사영 평면]]의 [[연결합]]으로 나타낼 수 있다. [[구 (기하학)|구]] <math>\mathbb S^2</math>에 0-수술을 가하면 (즉, <math>\mathbb S^0\times\mathbb D^2</math>를 도려내고 <math>\mathbb S^1\times\mathbb S^1=\mathbb T^2</math>를 붙이면) 수술 방법에 따라 원환면 또는 [[클라인 병]] <math>\mathbb P^2\#\mathbb P^2</math>을 얻는다. 보다 일반적으로, 이를 통해 다음과 같은 보충 경계를 얻을 수 있다.
:<math>(\mathbb T^2)^{\#p}\#(\mathbb P^2)^{\#q}\to (\mathbb T^2)^{\#p+1}\#(\mathbb P^2)^{\#q}</math>
:<math>(\mathbb T^2)^{\#p}\#(\mathbb P^2)^{\#q}\to (\mathbb T^2)^{\#p}\#(\mathbb P^2)^{\#q+2}</math>
따라서, 모든 콤팩트 [[매끄러운 곡면]]은 구 <math>\mathbb S^2</math> 또는 [[사영 평면]] <math>\mathbb P^2</math>과 보충 경계적임을 알 수 있다. 그러나 구와 사영 평면 사이에는 보충 경계가 존재하지 않는데, 이는 구의 오일러 지표는 짝수이지만 사영 평면의 오일러 지표는 홀수이기 때문이다. 즉, 2차원에서 보충 경계류는 [[오일러 지표]]의 홀짝성에 의하여 완전히 분류되며, 2차원 보충 경계군은 2차 [[순환군]]이다.
:<math>\mathfrak N_1\cong\operatorname{Cyc}(2)</math>
모든 콤팩트 [[리만 곡면]]을 3차원 콤팩트 다양체의 경계로 나타낼 수 있다는 사실은 [[베스-추미노-위튼 모형]]에서 중요한 역할을 한다.

==== 3차원 이상 ====
3차원~5차원의 보충 경계군은 다음과 같다.
:<math>\mathfrak N_3\cong0</math>
:<math>\mathfrak N_4\cong\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>
:<math>\mathfrak N_5\cong\operatorname{Cyc}(2)</math>
다시 말해, 모든 3차원 경계 없는 콤팩트 [[매끄러운 다양체]]는 4차원 경계 있는 콤팩트 [[매끄러운 다양체]]의 경계로 나타낼 수 있다.

== 역사 ==
보충 경계 이론은 [[앙리 푸앵카레]]가 1895년에 [[호몰로지]]를 해석적 구조를 사용하지 않고 부분 다양체만으로 정의하려는 시도에서 출발하였다. 푸앵카레는 호몰로지와 보충 경계를 둘 다 정의했지만, 이 둘은 일반적으로 서로 다르다.<ref name="Dieudonne">{{서적 인용|제목=A History of Algebraic and Differential Topology, 1900 - 1960|이름=Jean|성=Dieudonné|저자링크=장 디외도네|언어=en}}</ref>{{rp|289}} 이에 대하여 [[장 디외도네]]는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|보충 경계는 푸앵카레가 1895년에 [[호몰로지]]를 다양체만으로 정의하려는 실패한 시도를 부활시킨 것이다. 여전히 매끄러운 경계 있는 다양체의 '''경계'''로 나타낼 수 있는 (경계 없는) 매끄러운 다양체는 "무시할 수 있다"고 여긴다. 그러나 푸앵카레의 실패작과의 중요한 차이는 다양체의 "합"을 [[분리합집합]]으로 정의한 것이다.<br>
{{lang|en|Cobordism appeared as a revival of Poincaré’s unsuccessful 1895 attempts to define homology using only manifolds. Smooth manifolds (without boundary) are again considered as “negligible” when they are ''boundaries'' of smooth manifolds-with-boundary. But there is a big difference, which keeps definition of “addition” of manifolds from running into the difficulties encountered by Poincaré; it is now the disjoint union.}}|<ref name="Dieudonne"/>{{rp|289}}}}
이후 [[레프 폰트랴긴]]이 보충 경계를 호몰로지와 다른 독자적인 [[대수적 위상수학]]적 불변량으로 재도입하있다. [[르네 톰]]은 보충 경계군을 [[호모토피 이론]]으로 계산하였다.<ref name="Thom"/> 이에 대하여 [[장 디외도네]]는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|이 아이디어[보충 경계]는 그리 심오한 것은 아니지만, [[르네 톰]]은 이를 매우 독창적으로 사용하였다. 반세기 동안 발전한 [[대수적 위상수학]]의 모든 기법들을 총동원하여, 톰은 [[등급환]] <math>\mathfrak N</math> [보충 경계환]의 구조를 계산할 수 있었다 […].<br>
{{lang|en|This idea is not very deep, but R. Thom used it with a remarkable originality; mustering all the resources algebraic topology had accumulated in a half century, he was able to determine the structure of the graded ring <math>\mathfrak N</math> […].}}|<ref name="Dieudonne"/>{{rp|289}}}}
이에 따라, 보충 경계 이론이 [[에일렌베르크-스틴로드 공리]]에 부합하는 특수 코호몰로지 이론을 이룸이 밝혀졌다. 보충 경계 이론은 이후 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]의 증명과 [[아티야-싱어 지표 정리]]의 증명에 사용되어, [[대수기하학]]과 [[해석학 (수학)|해석학]]에 응용되게 되었다.

1980년대에 [[그레임 시걸]]<ref>{{서적 인용|이름=Graeme|성=Segal|authorlink=그레임 시걸|장=The definition of conformal field theory|제목=Topology, geometry and quantum field theory|기타=London Mathematical Society Lecture Note Series 308|출판사=Cambridge University Press|날짜=2004|쪽=421–577|언어=en|mr=2079383|zbl=06136769}}</ref>과 [[마이클 아티야]]<ref>{{저널 인용 | 성=Atiyah | 이름=Michael | 저자링크=마이클 아티야 | 제목=Topological quantum field theories | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__175_0 | mr=1001453 | 날짜=1988-01 | 저널=
Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques  | 권=68 | 호=1 | 쪽=175–186 | doi=10.1007/BF02698547 | issn=0073-8301 | zbl = 0692.53053 | 언어=en}}</ref>는 [[위상 양자장론]]을 보충 경계 이론을 통해 재정의하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
*{{저널 인용
| issn = 0013-8584
| volume = 8 | 호=1–2
| pages = 16–23
| 성 =Milnor
| first = John | 저자링크=존 밀너
| title = A survey of cobordism theory
| journal = L’Enseignement Mathématique
| 날짜= 1962
| doi=10.5169/seals-37949 | zbl = 0121.39901
| 언어=en
}}
* {{저널 인용 | 제목=A survey of bordism and cobordism |이름=Peter S. |성=Landweber|저널=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|doi=10.1017/S0305004100066032 |날짜=1986|언어=en}}
* {{서적 인용 |날짜=1998| 제목=On Thom spectra, orientability, and cobordism | 이름=Yuli B.|성=Rudyak |doi =10.1007/978-3-540-77751-9|총서=Springer Monographs in Mathematics|출판사=Springer|isbn=978-3-540-62043-3|issn=1439-7382|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[h-보충 경계]]
* [[모스 이론]]
* [[위상 양자장론]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Bordism}}
* {{eom|title=Cobordism}}
* {{매스월드|id=Bordism|title=Bordism}}
* {{매스월드|id=BordismGroup|title=Bordism group}}
* {{매스월드|id=h-Cobordism|title=h-cobordism}}
* {{nlab|id=cobordism|title=Cobordism}}
* {{nlab|id=cobordism ring|title=Cobordism ring}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2012/05/23/the-unoriented-cobordism-ring/|제목= The unoriented cobordism ring |이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2012-05-23|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:미분위상수학]]