보스 기체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{통계역학}}
[[통계역학]]에서 '''보스 기체'''(Bose氣體, {{lang|en|Bose gas}})는 서로 상호작용하지 않는, 같은 종류의 [[보손]]으로 이루어진 기체다. 고전적 [[이상 기체]]에 대응하는 두 가지 [[양자역학]]적 이상 기체 가운데 하나다. 보스 기체는 [[보스-아인슈타인 통계]]를 따르며, 매우 낮은 온도에서는 [[상전이]]를 거쳐 [[보스-아인슈타인 응축]] 상태가 된다.

== 정의 ==
콤팩트 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[로런츠 다양체]] <math>M\times\mathbb R</math> 위의, 질량 <math>m</math>의 자유 보손 장 <math>\phi</math>를 생각하자. 이는 다음과 같은 작용에 의하여 나타내어진다.
:<math> S = \int\mathrm dt\,\int_M \sqrt{\det g} \frac12(\dot\phi^2 - g^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - m^2 \phi^2)</math>
여기서 윗점은 시간 좌표 <math>t</math>에 대한 미분이며, <math>\partial_i</math>는 공간 좌표에 대한 미분이다. 이에 대한 해밀토니언은 다음과 같다.
:<math> H[\phi,\pi] = \int_M \sqrt{\det g} \frac12(g_{ij}\pi^i \pi^j + g^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi + m^2 \phi^2)</math>
여기서 <math>\pi^i</math>는 <math>\phi^i</math>에 대한 운동량장이다. 이를 양자화하면, 그 [[힐베르트 공간]]은 [[포크 공간]]을 구성하게 된다. 구체적으로, 1입자 힐베르트 공간과 그 위의 1입자 해밀토니언 <math>(\mathcal H_1,H_1)</math>을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\mathcal H_1 = \operatorname L^2(M;\mathbb C)</math>
:<math>\langle f|H_1|g\rangle = \int_M \sqrt{m^2 + g^{ij}(\partial_jf)(\partial_i g)}\,\sqrt{\det g} </math>
그렇다면, 다입자 힐베르트 공간과 해밀토니언 <math>(\mathcal H,H)</math>은 그 위의 [[포크 공간]]으로 주어진다.
:<math>\mathcal H = \operatorname{Sym}\mathcal H_1 = \mathbb C \oplus \operatorname L^2(M;\mathbb C) \oplus \operatorname{Sym}^2\operatorname L^2(M;\mathbb C) \oplus \dotsb
</math>
이 위의 [[해밀토니언 연산자]] <math>H</math>는 1입자 해밀토니언들의 합으로 구성된다. 또한, 입자수 연산자
:<math>N|f\rangle = n |f\rangle \qquad\forall |f\rangle \in \operatorname{Sym}^n\mathcal H_1</math>
를 정의할 수 있다. 이는 [[등급 벡터 공간]]의 등급에 해당하며, 그 [[고윳값]]들은 [[자연수]]이다.

이제, 이 계의 [[분배 함수 (통계역학)|큰 분배 함수]]
:<math>Z(\beta,z) = \operatorname{tr}\left(z^N\exp(-\beta H)\right) = \operatorname{tr}(-\beta H + \beta\mu N)</math>
를 정의할 수 있다. 이는 [[큰 바른틀 앙상블]]에 해당한다. 여기서
:<math>\beta = \frac1{k_{\mathrm B}T}</math>
는 [[절대 온도]]의 역수이며,
:<math>z = \exp(\beta\mu)</math>
는 [[퓨가시티]]이며, <math>\mu</math>는 [[화학 퍼텐셜]]이다. 이 큰 분배 함수로 나타내어지는 통계역학적 계를 '''이상 보스 기체'''라고 한다. ‘이상 기체’라는 것은 포크 공간 위의 [[해밀토니언 연산자]]에 입자 사이의 상호 작용을 나타내는 항을 추가하지 않았기 때문이다 (즉, 입자 사이의 상호 작용이 없어, 입자들은 자유 입자이다).

큰 분배 함수는 다음과 같이 표현된다. (중복수를 고려한) <math>H_1</math>의 고윳값들의 [[중복집합]]을 <math>I</math>라고 하면, 큰 분배 함수는 다음과 같이 분해된다.
:<math>Z(\beta,z) = \prod_{i\in I}\left(1+z\exp(-\beta E_i)+z^2\exp(-2\beta E_i) + \dotsb\right)
= \prod_{i\in I} \frac1{1-z(\exp(-\beta E_i))}
</math>

큰 분배 함수의 [[로그]] × −1인 [[큰 퍼텐셜]] <math>-\ln Z(\beta,z)</math>는 다음과 같다.
:<math>-\ln Z(\beta,z) = \sum_{i\in I}\ln\left(1-z\exp(-\beta E_i)\right)</math>

=== 열역학적 극한 ===
편의상, [[진공 에너지]]를 0으로 놓자.

<math>(M,g)</math> 위의 [[라플라스-벨트라미 연산자]]
:<math>\nabla^2 = g^{ij}\partial_i\partial_j</math>
의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]은 다음 조건을 만족시킨다.
:<math>N(E) = (2\pi)^{-\dim M} E^{D/2} \operatorname{vol}(\mathbb B^D) V + O(E^{D/2-1})\qquad(E\gg1)</math>
(유클리드 공간 속의 매끄러운 경계를 가진 [[열린집합|닫힌집합]]에서, 디리클레 또는 노이만 경계 조건을 가했을 때도 이 조건이 성립한다.)
여기서 <math>N(E)</math>는 <math>H_1</math>의 <math>E</math> 이하의 고윳값들의 (중복수를 고려한) 수이다. <math>D\in\mathbb N</math>는 <math>M</math>의 차원이며, <math>V</math>는 <math>M</math>의 <math>D</math>차원 부피이며,
:<math>\operatorname{vol}(\mathbb B^D) 
= \frac{\pi^{(\dim M)/2}}{\Gamma((\dim M)/2 + 1)}</math>
는 <math>D</math>차원 단위 [[공 (수학)|공]]의 부피이다. 편의상 비례 상수를
:<math>C = \frac D2 (2\pi)^D \operatorname{vol}(\mathbb B^D)
</math>
라고 적자. 즉,
:<math>N_\Delta(E) \sim \int_0^E \mathrm dE'\,6C\operatorname{vol}(M) {E'}^{D/2-1}</math>
이다. 이 표현을 통하여, [[디랙 델타]]로 구성된 [[측도]]
:<math>\mathrm dN(E)</math>
를
:<math>C\operatorname{vol}(M) {E'}^{(\dim M)/2-1}</math>
로 근사할 수 있다. 이는 <math>E</math>가 매우 클 때 유효하다. 이 조건을 만족시키기 위하여, 임의의 고정된 <math>(\beta,z)</math>의 값에 대하여 <math>(z>1)</math>,
:<math>g \mapsto \alpha g</math>
:<math>\alpha \to \infty</math>
와 같은 극한을 취할 수 있다. 이는 <math>g</math>의 [[등각 다양체]] 구조를 바꾸지 않지만, 그 부피는
:<math>V \propto \alpha^{D/2}</math>
이므로 부피가 무한대가 되는 열역학적 극한에 해당한다.

다만, <math>z \to 1^+</math>일 경우, 큰 퍼텐셜의 정의에서 <Math>\ln\left(1-z\exp(-\beta E)\right)</math>가 <math>E \to 0</math>에서 무한대로 발산하게 된다. 즉, 이 경우 <math>E = 0</math>인 경우는 따로 고려해야 한다.

즉, 이를 통하여, 다음과 같은 근사를 취할 수 있다. (물리학에서 이와 같은 꼴의 근사는 [[토머스-페르미 근사]]라고 한다.)
:<math>-\ln Z(\beta,z) = 
\int_0^\infty \mathrm dN(E)\,
\ln\left(1-z\exp(-\beta\sqrt{m^2+E})\right) \approx
C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta\sqrt{m^2+E})\right)</math>
이 적분은 일반적으로 기초 함수로 계산될 수 없다. 다만, 비상대론적인 극한
:<math>m\beta \gg 1</math>
및 상대론적인 극한
:<math>m\beta \ll 1</math>
의 경우 이는 [[다중로그]]라는 [[특수 함수]]로 계산될 수 있다. 비상대론적 극한에서
:<math>\sqrt{m^2+E} = m \sqrt{1 + E/m^2} = m + \frac1{2m^2}E + \dotsb</math>
이다. 따라서, 이 경우 처음 두 항만을 취하면
:<math>-\ln Z(\beta,z) = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta m-\beta E/2m^2)\right)</math>
이 된다. 여기서, 첫 항 <math>m</math>은 입자의 [[정지 에너지]]이므로, 이는 [[퓨가시티]]가 흡수할 수 있다. 즉, 이 경우
:<math>z' = z\exp(-\beta m)</math>
:<math>\beta' = \beta / 2m^2</math>
를 정의하면,
:<math>-\ln Z(\beta',z') = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z'\exp(-\beta' E)\right)</math>
이다. 이를 계산하면 다음과 같다.
<math>-\ln Z \approx -C\operatorname{vol}(M) {\beta'}^{-D/2}
\Gamma((\dim M)/2) \operatorname{Li}_{(\dim M)/2}(z)</math>
여기서
:<math>\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^s}</math>
는 [[다중로그]] 함수이며, <math>\Gamma(-)</math>는 [[감마 함수]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''적분의 계산:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>D = \dim M</math>으로 놓자.
:<math>
\begin{aligned}
-\int_0^\infty \mathrm dE\,E^{D/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta E)\right) &= -\beta^{-D/2}\int_0^\infty \mathrm dx\,x^{D/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-x)\right) \\
& = \beta^{-D/2}
\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n\right)\left(\int_0^\infty \mathrm dx\,x^{D/2-1}\,\exp(-nx)\right) \\
& = \beta^{-(D/2} \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n n^{-D/2} \left(\int_0^\infty \mathrm dy\,y^{D/2-1}\,\exp(-y)\right) \\
& = \beta^{-D/2} \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n n^{-D/2} \Gamma(D/2) \\
&= \beta^{-D/2}\Gamma(D/2) \operatorname{Li}_{D/2+1}(z)
\end{aligned}
</math>
여기서
:<math>x/\beta = E</math>
:<math>y/n = x</math>
와 같은 치환을 사용하였으며, [[테일러 급수]]
:<math>\ln(1-z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n</math>
를 사용하였다.
</div></div>
이 표현은 다음과 같은 문제를 갖는다.
* <math>z \to 1</math>일 때, 피적분량이 <math>E\to0</math> 극한에서 발산한다. 따라서, 이 경우를 따로 다루어야 한다.
이 문제를 교정하면, 다음과 같은 표현을 얻는다.
:<math>\Omega=-\ln Z(\beta,z) = g_0 \ln(1-z) - (E_{\text{c}}\beta)^{-\alpha} \operatorname{Li}_{\alpha+1}(z)</math>
여기서 <math>g_0</math>은 [[바닥 상태]]의 고윳값의 <math>E_0 = 0</math>의 중복수이며, <math>C</math>를 비롯한 다른 비례 상수들을 <math>E_{\text{c}}</math>에 흡수하였다. 또한 변수
:<math>\alpha = \frac12 \dim M</math>
를 정의하였다. 이 표현은 <math>\Delta</math>가 [[라플라스-벨트라미 연산자]]일 때, 즉 비상대론적 입자에 대하여 유효하다.

==== 상대론적 입자 ====
반대로, <math>m \to 0</math> 극한을 생각하자. 이 경우
:<math>\sqrt{m^2+E} = \sqrt E \sqrt{1+m^2/E} = \sqrt E + \frac{m^2}{2\sqrt E} + \dotsb </math>
가 된다. 이 경우, 첫 항만을 취하면,
:<math>-\ln Z(\beta,z) = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta\sqrt E)\right)</math>
이다. 이 경우 변수 <math>E</math>를
:<math>E' = E^2</math>
:<math>\mathrm dE = \frac1{2E'^{1/2}}\mathrm dE'</math>
로 치환하면,
:<math>-\ln Z(\beta,z) = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE'^{(\dim M)/4}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta E')\right)</math>
가 된다. 즉, 이 경우
:<math>\alpha = \frac14 \dim M</math>
이 된다.

== 성질 ==
=== 바닥 상태와 상전이 ===
만약 <Math>\dim M\ge 3</math>일 경우, 보스 기체는 어떤 유한한 온도에서 '''[[보스-아인슈타인 응집]]'''이라는 [[상전이]]를 겪는다. 이는 큰 분배 함수의 표현에 등장하는 [[다중로그]]의 발산으로 나타난다. (반면, <Math>\dim M\le 2</math>일 경우 상전이가 발생하지 않는다. 이는 2차원 이하에서는 입자들이 장거리 상호 작용을 갖기 때문이다.)

총 입자의 수는 큰 퍼텐셜에서 다음과 같이 얻어진다.
:<math>N = -z\frac{\partial\Omega}{\partial z} \approx\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}</math>
이 식에서 [[다중로그]] 부분은 양의 실수이어야 하고, <math>z=1</math>이면 [[리만 제타 함수]] ζ(α)와 같아지게 되는, 최댓값을 얻을 수도 있다. 고정된 ''N&nbsp;''에 대하여 가장 큰 값은 β가 임계값 β<sub>c&nbsp;</sub>을 가질 수 있을 때 다음 식과 같이 얻게 된다.
:<math>N = \frac{\zeta(\alpha)}{(\beta_c E_c)^\alpha}</math>
이 식은 임계온도 T<sub>c</sub>=1/kβ<sub>c</sub> 아래에서 토머스-페르미 근사가 적용되지 않는 것에 부합한다. 위의 방정식을 정리하여 임계온도에 대한 식을 얻을 수 있다.
:<math>T_c=\left(\frac{N}{\zeta(\alpha)}\right)^{1/\alpha}\frac{E_c}{k}</math>
예를 들어, <math>\alpha=3/2</math>이고, 위에서 언급되었던 <math>E_c</math>를 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.
:<math>T_c=\left(\frac{N}{Vf\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi m k}</math>
다시 임계 온도에 대한 결과를 계산할 수 없게 되었다. 그 이유는 위의 방정식을 이용하여 계산한 입자의 수는 음수가 되기 때문이다. 이 문제는 토머스-페르미 근사가 [[바닥 상태]]에서의 [[겹침 (물리학)|겹침]]을 0으로 설정했기 때문이고, 이 설정을 잘못되었다. 응축을 받아들인다면 바닥 상태는 없고 이에 따라 방정식은 틀리게 된다. 그러나 결과적으로 위의 방정식은 [[들뜬 상태]]에서의 입자수는 정확하게 예측하고, 단순히 [[바닥 상태]] 항을 따로 구분하면 나쁜 근사는 아니다.
:<math>N = N_0+\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}</math>
''N<sub>0&nbsp;</sub>''는 바닥상태의 응축 입자수이고, 그 값은 다음과 같다.
:<math>N_0 = \frac{g_0\,z}{1-z}</math>
이 식은 절대 영도에서도 계산할 수 있게 되었다. 표준화된 온도 τ를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\tau=\frac{T}{T_c}</math>
이 변수들은 낮은 온도의 극한에서 τ<sup>α</sup>에 선형적이고, 화학 퍼텐셜을 제외하면, 높은 온도의 극한에서 1/τ<sup>α</sup>에 선형적인 것을 볼 수 있다. 입자수가 증가하면 응축과 들뜸의 비율은 임계 온도에서 불연속적으로 도달한다.
입자수에 대한 식은 다음과 같이 표준화된 온도를 이용하여 표현할 수 있다.
:<math>N = \frac{g_0\,z}{1-z}+N~\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{\zeta(\alpha)}~\tau^\alpha</math>
''N''과 τ이 주어지면, 이 식은 τ<sup>α</sup>에 대하여 정리가 되고, ''z&nbsp;''에 대한 급수해는 τ<sup>α</sup>의 급수 또는 τ<sup>α</sup>의 급수에 대한 역수의 점근확장을 이용한 역 급수의 방법으로 찾을 수 있다. 이 확장에서 우리는 ''T&nbsp;=0''근처인 [[맥스웰-볼츠만 분포]]에서 온도는 무한에 접근하는 것을 볼 수 있다.

=== 열역학 ===
다음과 같은 값들을 계산할 수 있다.
* 평균 입자 수:
*: <math>N(\beta,z) = z\frac\partial{\partial z}\ln Z </math>
* 평균 에너지:
*: <math>E(\beta,z) = \frac\partial{\partial\beta}\ln Z </math>

입자수에 대한 식에서 바닥상태에 해당하는 부분을 더하는 것은 큰 퍼텐셜에 [[바닥 상태]]에 해당하는 항을 더하는 것과 같다.
:<math>\Omega = g_0\ln(1-z)-\frac{\textrm{Li}_{\alpha+1}(z)}{\left(\beta E_c\right)^\alpha}</math>
모든 열역학적 성질은 큰 퍼텐셜에서부터 계산될 수 있다. 아래의 표는 낮은 온도와 높은 온도의 극한, 그리고 무한 극한의 입자수에서 계산된 다양한 열역학적 값들을 나타낸 것이다. 등호(=)는 정확한 결과를 나타내주고 근사 기호는 <math>\tau^\alpha</math>의 급수 중 앞의 몇 항만 있는 경우에 해당하는 결과를 나타낸 것이다.

:{| class=wikitable
|-
! align="center" | 물리량
! align="center" | 일반적 경우
! align="center" |<math>T \ll T_c</math>
! align="center" |<math>T \gg T_c</math>
|-
| align="center" |z
| align="center" |Vapor fraction
| align="center" |<math>=1</math>
| align="center" |<math>\approx \frac{\zeta(\alpha)}{\tau^\alpha}
-\frac{\zeta^2(\alpha)}{2^\alpha\tau^{2\alpha}}</math>
|-
| align="center" |Vapor fraction<br /><math>1-\frac{N_0}{N}\,</math>
| align="center" |<math>=\frac{\textrm{Li}_{\alpha}(z)}{\zeta(\alpha)}
\,\tau^\alpha</math>
| align="center" |<math>=\tau^\alpha</math>
| align="center" |<math>=1</math>
|-
| align="center" |상태 방정식<br /><math>\frac{PV\beta}{N}=
-\frac{\Omega}{N}\,</math>
| align="center" |<math>=
\frac{\textrm{Li}_{\alpha+1}(z)}{\zeta(\alpha)}\tau^\alpha</math>
| align="center" |<math>=
\frac{\zeta(\alpha\!+\!1)}{\zeta(\alpha)}\tau^\alpha</math>
| align="center" |<math>\approx
1-\frac{\zeta(\alpha)}{2^{\alpha+1}\tau^\alpha}</math>
|-
| align="center" |[[기브스 자유 에너지]]<br /><math>G=\ln(z)</math>
| align="center" |<math>=\ln(z)</math>
| align="center" |<math>=0</math>
| align="center" |<math>\approx
\ln\left(\frac{\zeta(\alpha)}{\tau^\alpha}\right)
-\frac{\zeta(\alpha)}{2^{\alpha}\tau^\alpha}</math>
|}
표에서 보듯이 모든 값들은 높은 온도의 극한에서 고전 [[이상 기체]]에 근접하는 것을 볼 수 있다. 위에서 나타난 값들은 다른 열역학적 값들을 구하는 데 쓰일 수 있다. 예를 들어, 모든 온도에서의 고전 이상기체에서 내부에너지와 압력, 부피의 곱은 비례하다.
:<math>U=\frac{\partial \Omega}{\partial \beta}=\alpha PV</math>
비슷한 경우로, 일정한 부피에서 견줌열은 다음과 같다.
:<math>C_v=\frac{\partial U}{\partial T}=k(\alpha+1)\,U\beta</math>
[[엔트로피]]는 다음의 식으로 표현된다.
:<math>TS=U+PV-G\,</math>
주의할 점은 높은 온도의 극한에서는
:<math>TS=(\alpha+1)+\ln\left(\frac{\tau^\alpha}{\zeta(\alpha)}\right)</math>
의 식을 얻게 되며, α=3/2에 대하여 이면 자쿠어-테트로더 방정식({{llang|en|Sackur-Tetrode equation}})으로 재기술된다.

== 역사 ==
[[보스-아인슈타인 통계]]를 제창한 [[사티엔드라 나트 보스]]의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Huang|이름=Kerson|연도=1967|제목= Statistical Mechanics|위치=New York|출판사=John Wiley and Sons}}
* {{서적 인용|성=Isihara|이름=A.|연도=1971|제목=Statistical Physics|url=https://archive.org/details/statisticalphysi0000isih|위치=New York|출판사=Academic Press}}
* Landau, L. D.; E. M. Lifshitz (1996). Statistical Physics, 3rd Edition Part 1. Oxford: Butterworth-Heinemann.
* {{서적 인용|성=Pethick|이름=C. J.|공저자=H. Smith|연도=2004|제목=Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases|위치=Cambridge|출판사=Cambridge University Press}}
* {{저널 인용|성=Yan|이름=Zijun|연도=2000|제목=General Thermal Wavelength and its Applications|저널=European Journal of Physics|권=21|호=6|쪽= 625-631|doi=10.1088/0143-0807/21/6/314}}

{{전거 통제}}

[[분류:기체]]
[[분류:열역학]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:통계역학]]
[[분류:물리학 개념]]