보스-아인슈타인 통계 문서 원본 보기

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[[통계역학]]에서 '''[[사티엔드라 나트 보스|보스]]-[[앨버트 아인슈타인|아인슈타인]] 통계'''({{lang|en|Bose–Einstein statistics}})는 [[열적 평형]]에 이르렀을 때 [[동일한 입자|식별 불가능한]] [[보스 입자]]들의 통계적 분포를 결정한다.

== 개념 ==
보스 입자는 페르미 입자와는 다르게, [[파울리 배타 원리]]에 영향을 받지 않는다: 무수한 입자들이 같은 시간에 같은 상태를 가질 수 있다. 이는 낮은 온도에서 왜 보스 입자가 페르미 입자와 달리 바닥 상태에 모든 입자가 모이는지(이러한 양상을 [[보스-아인슈타인 응축]]이라 한다) 말해준다.

보스-아인슈타인 통계는 [[광자]]의 경우에 한해 1920년에 [[사티엔드라 나트 보스|보스]]에 의해 소개되었고, 1924년에 [[앨버트 아인슈타인|아인슈타인]]에 의해 일반적인 입자들의 경우로 일반화되었다.

== 역사 ==
1920년대 초반, [[다카 대학교]]의 교수였던 [[사티엔드라 나트 보스]]는 [[알베르트 아인슈타인]]의 [[광자]] 가설에 흥미를 보였다. 보스는 [[막스 플랑크]]가 주로 추측에 의해 얻어낸 플랑크 복사 공식을 증명하는 데 관심을 보이고 있었다. 1900년에 [[막스 플랑크]]는 경험적인 증거를 바탕으로 그의 공식을 이끌어냈다. 보스는, 아인슈타인의 입자 도안을 따라, 억지로 입자 수를 보존시키지 않고도 무질량 입자의 통계를 체계적으로 구현하여, 복사 공식을 증명할 수 있었다. 보스는 다른 상태의 광자를 제안하여 플랑크의 복사 공식을 증명해냈다. 보스는 통계적으로 독립된 입자 대신에 낱칸에 입자를 넣고 통계적으로 독립된 [[위상공간 (물리학)|위상 공간]] 상의 낱칸들을 생각해냈다. 이러한 체계는 두 경우의 [[편극]] 상태를 허용하고, 총체적으로 [[대칭]]적인 [[파동함수]]를 나타낸다.

보스는 유럽에서 그의 논문을 발표하려 하였으나 어려움을 겪었다. 보스는 자신의 논문을 아인슈타인에게로 보냈고, 아인슈타인의 도움으로 보스는 논문을 독일의 유명 저널인 《차이트슈리프트 퓌어 퓌지크》({{lang|de|Zeitschrift für Physik}})에 출판할 수 있었다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1007/BF01327326|저자=Bose <!-- 저널에는 이름 없이 성만 표기 -->|저자링크=사티엔드라 나트 보스|제목=Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese|저널={{lang|de|Zeitschrift für Physik}}|권=26|호=1|연도=1924|쪽=178-181|url=http://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.235/Lehre/Ultrakalte_Quantengase/Bose_1924.pdf}}{{깨진 링크|url=http://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.235/Lehre/Ultrakalte_Quantengase/Bose_1924.pdf }}</ref>

== 큰 분배함수 ==
:<math>
Z _G ^{BE} = \prod _{k=1} ^\infty \frac{1}{1 - z e ^{-\beta \epsilon_k}}
</math>

여기서 <math>z = e ^{\beta\mu}</math>이다.

큰 분배함수는 다음과 같이 증명할 수 있다.

:<math>Z _G ^{BE} = \sum _{n_1 , n_2 , \cdots = 0} ^\infty e^{-\beta (\epsilon_1 - \mu) ^{n_1}} e^{-\beta (\epsilon_2 - \mu) ^{n_2}} \cdots</math>
::<math>=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^\infty e ^{-\beta (\epsilon_k - \mu) ^{n_k}}</math>
::<math>=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^\infty (z e ^{-\beta\epsilon_k}) ^{n_k}</math>
::<math>=\prod _{k=1} ^\infty \frac{1}{1 - z e ^{-\beta \epsilon_k}}</math>

== 점유수 ==
상태 ''i''에 놓여 있는 입자의 점유수는,

:<math>
n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}
</math>

여기서 <math>\varepsilon_i > \mu</math>이고,

:''n<sub>i</sub>''&nbsp;는 상태 ''i''에 놓인 입자의 점유수
:''g<sub>i</sub>''&nbsp;는 상태 ''i''에서의 [[겹침]]
: ''ε<sub>i</sub>''&nbsp;는 상태 ''i''에서의 에너지
:''μ''는 [[화학 퍼텐셜]]
:''k''는 [[볼츠만 상수]]
:''T''는 [[절대온도]]

에너지가 <math> \varepsilon_i-\mu \gg kT </math>일 때, 위의 식은 [[맥스웰-볼츠만 통계]]를 따른다.

== 같이 보기 ==
* [[맥스웰-볼츠만 통계]]
* [[페르미-디랙 통계]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:물리학 개념]]
[[분류:통계역학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:알베르트 아인슈타인]]