보손 끈 이론 문서 원본 보기

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{{끈 이론}}

'''보손 끈 이론'''(boson끈理論, {{llang|en|bosonic string theory}})은 [[초대칭]]을 도입하지 않은 [[끈 이론]]이다.

== 전개 ==
'''끈'''이란 시공을 통해 움직이는 1차원의 개체다. 고리 모양인 (원과 동형인) '''닫힌 끈'''({{llang|en|closed string}})과 끊어진 (선분과 동형인) '''열린 끈'''({{llang|en|open string}})이 있다. 따라서 끈은 (0+1차원의 [[세계선]]을 지니는 점입자와 달리) 1+1차원의 [[세계면]]으로 나타내어진다. 1+1차원의 세계면은 두 좌표로 나타낼 수 있다. 세계면 좌표를 <math>\xi^a</math> (<math>a\in\{0,1\}</math>)로 쓰자. 세계면 좌표는 단위를 쓰지 않는다 (무차원).

끈은 [[시공간]] 안에 존재한다. 시공간을 1차원의 시간과 <math>D-1</math> 차원의 공간으로 이루어져 있다고 가정하자. (관측에 따르면 <math>D=4</math>이나, 보손 끈 이론은 추가 차원을 필요로 한다.) 시공의 좌표를 <math>X^\mu</math> (<math>\mu\in\{0,1,\dots,D-1\}</math>)로 쓰자. 시공간의 계량 텐서를 <math>G_{\mu\nu}</math>로 표기하자.

끈의 시공 속의 위치를 [[매장 (수학)|매장]] <math>X^\mu(\xi^a)</math>로 나타낼 수 있다. 시공의 계량 텐서로부터 세계면 계량 텐서
:<math>h_{ab}=\partial_aX^\mu\partial_bX^\nu G_{\mu\nu}</math>
를 정의할 수 있다.

=== 작용 ===
끈을 다루는 가장 간단한 작용은 [[난부-고토 작용]]
:<math>S[X^\mu]=-T\int d^2\xi\;\sqrt{-\det h}</math>
이나, 이는 제곱근 때문에 [[양자화]]가 어렵다. 따라서 세계면 계량 텐서를 [[보조장]]으로 승격시킨 [[폴랴코프 작용]]
:<math>S[X^\mu,h_{ab}]=-\frac12T\int d^2\xi\;\sqrt{-\det h}h^{ab}\partial_aX\cdot\partial_bX</math>
를 쓴다. 여기서 <math>T=1/(2\pi\alpha')</math>는 작용을 무차원화시키기 위한 상수로서, 끈의 [[장력]] 또는 에너지 밀도를 나타낸다. <math>\alpha'</math>는 '''레제 기울기'''({{llang|en|Regge slope}}) 또는 "알파 프라임"으로 불리는 상수다.

보다 일반적으로, 보손 끈은 일반적으로 운동 방정식
:<math>p^2 = 0</math>
만으로 결정된다.<ref name="Siegel"/>{{rp|§2}} (여기서 <math>p^\mu</math>는 끈 전체의 운동량이다.) 이로부터 작용을 다음과 같이 재구성할 수 있다. 좌표 <math>\xi=(\tau,\sigma)</math>에 대하여, 세계면 위의, <math>\partial_a X^\mu</math>에 대응하는 정준 운동량장 <math>P^\mu_a(\xi)</math>를 정의하자. 그렇다면, 작용
:<math>S \propto \int\mathrm d^2\xi \sqrt{-\det h}h_{ab}g^{\mu\nu}(X(\xi))P_\mu^a(\xi)P_\nu^b(\xi) + P_\mu^a(\xi) \partial_aX^\mu(\xi)</math>
을 적을 수 있다. 여기서 첫째 항은 운동 방정식 <math>p^2 = 0</math>에서 오며, 둘째 항은 <math>P^a_\mu</math>와 <math>\partial_aX^\mu</math> 사이의 정준 관계를 나타낸다. 이제, <math>P^a_\mu(\xi)</math>의 [[오일러-라그랑주 방정식]]은
:<math>P^a_\mu(\xi) = -g_{\mu\nu}(X(\xi))\eta^{ab}\partial_b X^\nu</math>
가 된다. 이를 작용에 대입하면, [[폴랴코프 작용]]
:<math>
S \propto \int\mathrm d^2\xi \sqrt{-\det h}
G_{\mu\nu}(X(\xi)\eta^{ab}\partial_aX^\mu(\xi)\partial_bX^\nu(\xi)
</math>
를 얻는다.

사실, 닫힌 끈의 경우, 끈의 공간 좌표 <math>\xi^1 = \sigma \in [0,2\pi)</math>라고 할 때, <math>P(\tau,\sigma)</math>는 서로 상호작용하지 않는 두 개의 장 <math>P^\pm(\tau,\sigma)</math>이다. 반면, 열린 끈의 경우, 공간 좌표가 <math>\xi^1 = \sigma \in [0,\pi]</math>라고 할 때, 하나의 <math>P_\mu^a</math>가 <math>\sigma\in[-\pi,\pi]</math>에 정의되게 된다. 두 경우 모두, <math>P_\mu^a</math>는 원 위의 주기적 경계 조건을 만족시킨다. 즉, 닫힌 끈은 (<math>\sigma</math>의 범위를 무시하면) 서로 상호작용하지 않는 두 개의 열린 끈으로 취급할 수 있다.

=== 게이지 대칭 ===
보손 끈의 [[폴랴코프 작용]]은 세계면 계량 텐서 <math>h_{ab}</math>에 대한 [[미분 동형 사상]] [[게이지 대칭]]을 가지며, 따라서 편의상 게이지 고정
:<math>h_{ab} = \begin{pmatrix}
-1&0\\
0&1
\end{pmatrix}</math>
을 가할 수 있다. 사실, 흔히 [[빛원뿔 좌표계]]가 사용된다.

이 게이지 대칭은 작용 <math>L \propto \eta P^2 + P\partial X</math>에서 생성원 <math>P^2(\sigma)</math>에 의하여 생성된다. 이것의 [[리 괄호]]는
:<math>
\left[\frac12P^2(\sigma),\frac12P^2(\sigma')\right]
=\mathrm i\delta'(\sigma'-\sigma)
\left(
\frac12P^2(\sigma)+\frac12P^2(\sigma')
\right)
</math>
이다.<ref name="Siegel"/>{{rp|(2.2b)}} (여기서 <math>\delta'(-)</math>은 [[디랙 델타]]의 [[분포 (해석학)|분포]]로서의 [[도함수]]이다.) 즉, 이는 일종의 [[아핀 리 대수]]를 이룬다.

이 [[게이지 대칭]]에 대응하는 [[BRST 연산자]]는 유령장 <math>C</math>에 대하여
:<math>Q = \int\mathrm d^1\sigma \,\left(
\frac12 P(\sigma)^2C(\sigma)
+\mathrm iC'(\sigma)\frac{\delta}{\delta C(\sigma)}
\right)</math>
이다.<ref name="Siegel">{{저널 인용|제목=Classical superstring mechanics | 이름=Warren | 성=Siegel | 저널=Nuclear Physics B | 권=263 | 쪽=93–104 | 호=1 | 날짜=1985-01-13 | doi=10.1016/0550-3213(86)90029-5 | bibcode=1986NuPhB.263...93S | 언어=en}}</ref>{{rp|(2.4)}} 여기서, 서로 정준 교환 관계를 갖는 <math>C(\sigma)</math>, <math>\delta/\delta C</math>는 양자화 이후 <math>(c,b)</math> 유령장에 대한 [[2차원 등각 장론]]을 이룬다.

=== 방식 전개 ===
[[폴랴코프 작용]]을 <math>h_{ab}=\operatorname{diag}(-1,1)</math>인 등각 게이지로서 풀면, 운동 방정식
:<math>\square X^\mu=0</math>
과 게이지 조건
:<math>(\partial_0\pm\partial_1X)^2=0</math>
을 얻는다. 운동 방정식은 단순히 [[파동 방정식]]이므로, 경계 조건이 주어지면 간단히 풀 수 있다. 우선 닫힌 끈의 경우 <math>X^\mu(\xi^0,\xi^1)=X^\mu(\xi^0,\xi^1+2\pi)</math>의 주기성 (periodicity) 조건을 주자. 그리고 편의상 [[빛원뿔 좌표계]]
:<math>\xi^\pm=\xi^0\pm\xi^1</math>
를 정의하자. 그렇다면 파동 방정식의 해는 (왼쪽 방식({{llang|en|mode}})과 오른쪽 방식을 구분해 쓰면)
:<math>X^\mu(\xi)=X^\mu_\mathrm L(\xi^+)+X^\mu_\mathrm R(\xi^-)</math>
:<math>X^\mu_\mathrm L(\xi^+)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_n^\mu</math>
:<math>X^\mu_\mathrm R(\xi^-)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_n^\mu</math>
이 된다. 여기서 <math>p^\mu</math>는 [[뇌터 정리]]를 쓰면 끈의 [[운동량]]임을 알 수 있다. 방식으로 전개한 이 표현에 게이지 조건 <math>(\partial_\pm X)^2=0</math>을 적용하면 임의의 <math>m\in\mathbb Z</math>에 대하여
:<math>0=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_{-n+m}\cdot\alpha_n=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_{-n+m}\cdot\beta_n</math>
의 조건을 얻는다. (여기서
:<math>\alpha_0^\mu=\beta_0^\mu=\sqrt{\frac{\alpha'}2}p^\mu</math>
로 정의한다.) 이 가운데 <math>m=0</math>인 조건으로부터 끈의 질량 공식
:<math>M^2=-p^2=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n</math>
을 얻는다.

=== 양자화 ===
끈은 여러 가지 방법으로 [[양자화 (물리학)|양자화]]할 수 있으나, 그 가운데 [[빛원뿔 좌표계]]를 쓰는 양자화가 가장 간단하다. 우선, 시공의 빛원뿔 좌표
:<math>X^\pm=\frac1{\sqrt2}(X^0\pm X^1)</math>
을 정의하자. 그리고 잉여 게이지 자유로
:<math>X^+(\xi)=x^\mu+\alpha'p^\mu\xi^0</math>
으로 쓰자. 이렇게 쓰면 계의 자유도는 <math>x^\pm</math>, <math>p^+</math>, <math>x^i, p^i,\alpha^i,\beta^i</math> (<math>i\in\{2,\dots,D-2\}</math>)이다.
다음에 바른틀 교환자 관계 ({{llang|en|canonical commutation relation}})를 적용시킨다.
:<math>[x^i,p^i]=\mathrm i\delta^{ij}</math>
:<math>[x^\pm,p^\mp]=-\mathrm i</math>
:<math>[\alpha^i_m,\alpha^j_n]=n\delta^{ij}\delta_{m+n,0}.</math>
(<math>p^-</math>는 계의 고전적 자유도가 아니므로, 이는 양자화한 뒤에 연산자식으로 구속한다.) 이렇게 쓰면 [[정렬 모호성]]({{llang|en|ordering ambiguity}})으로 인해 질량 공식이
:<math>M^2=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n\right)=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n\right)</math>
가 된다. 여기서 연산자
:<math>N=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n</math>
:<math>\tilde N=\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n</math>
을 '''준위'''(準位, {{llang|en|level}}) 연산자로 부르고, 이들은 자연수의 고윳값을 갖는다. <math>N=\tilde N=0</math>인 경우 <math>M^2<0</math>이므로 이는 [[타키온]]을 나타낸다. <math>N=\tilde N=1</math>인 경우엔 로런츠 대칭을 위하여 <math>M^2=0</math>이어야 하므로, <math>D=26</math>임을 알 수 있다. 즉 보손 끈 이론의 임계 차원은 26차원이다. 이 경우 입자는 무질량 입자인데, 이는 스핀 2의 [[중력자]] <math>G_{\mu\nu}</math>, 스핀 1의 [[캘브-라몽 장]] <math>B_{\mu\nu}</math> ({{llang|en|Kalb–Ramond field}}), 스핀 0의 [[딜라톤]] <math>\Phi</math>을 포함한다. 이들을 통틀어 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 ({{llang|en|Neveu–Schwarz–Neveu–Schwarz field}})으로 부른다. <math>N=2</math>이상의 입자는 질량이 <math>\propto1/\sqrt{\alpha'}</math>이므로 (대략 [[플랑크 질량]]으로 추정) 너무 커 관측되지 않는다.

== 성질 ==
보손 끈 이론은 끈 이론 가운데 가장 단순하여, [[장난감 모형]]으로 쓰인다. 보손 끈 이론은 다음과 같은 특성을 지닌다.
* 보손 끈 이론은 [[초대칭]]이 없으므로 [[페르미온]]을 포함하지 않는다. 즉 오직 NS-NS 장만을 포함한다.
* 보손 끈 이론은 [[타키온]]을 포함한다. 따라서 보손 끈 이론의 진공은 자명하지 않으며, 그 참 진공은 아직 잘 밝혀지지 않았다. (이에 반하여 초끈 이론은 [[GSO 사영]]을 통하여 타키온을 없앨 수 있다.)
* 보손 초끈 이론은 [[임계 차원]]이 <math>26=3^3-1</math>차원이다. 즉, 26차원이 아닌 다른 차원에서는 일반적으로 [[로런츠 대칭]]을 보존하면서 유령 상태를 없앨 수 없다.  (초끈 이론에서는 초대칭에 따른 <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> [[유령장|유령]] 입자에 의하여 임계 차원이 10차원으로 줄어든다.)

== 역사 ==
보손 끈 이론은 1960년대에 [[끈 이론]] 가운데 최초로 발견되었다. 이는 원래 [[강입자]]의 스펙트럼을 설명하기 위하여 등장하였다. 현대적인 용어로, [[중간자]]를 구성하는 두 쿼크를 잇는 [[글루온]]은 마치 끈처럼 행동하며, 그 진동 모드 스펙트럼을 끈 이론으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 상수 <math>\alpha'</math>은 [[중간자]]의 질량-스핀 그래프의 기울기로 나타난다. <math>\alpha'</math>의 이름인 “레제 기울기”는 [[툴리오 레제]]의 이름을 땄으며, 여기서 유래하였다.

보손 끈 이론의 임계 차원이 26차원이라는 사실은 클로드 러블레이스({{llang|en|Claud Lovelace}}, 1934~2012)가 1971년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Claud|성=Lovelace|제목=Pomeron form factors and dual Regge cuts|저널=Physics Letters B|권=34|쪽=500–506|날짜=1971-03-29|호=6|doi=10.1016/0370-2693(71)90665-4}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Claud|성=Lovelace|장=Dual amplitudes in higher dimensions: a personal view|쪽=[https://archive.org/details/birthofstringthe0000unse/page/n227 198]–201
|제목=The Birth of String Theory|url=https://archive.org/details/birthofstringthe0000unse|doi=10.1017/CBO9780511977725.018|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge|연도=2012|isbn=9780521197908}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[난부-고토 작용]]
* [[폴랴코프 작용]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=bosonic string|title=Bosonic string}}

[[분류:끈 이론]]