보손화 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''보손화'''(boson化, {{llang|en|bosonization}})는 2차원 [[등각장론]]에서 [[페르미온]]과 [[보손]]이 서로 동등한 현상이다.<ref>{{서적 인용|제목=Bosonization|이름=Michael|성=Stone|isbn=978-981-02-1847-8 |날짜=1994|월=12|doi= 10.1142/9789812812650|출판사=World Scientific|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Bosonization and Strongly Correlated Systems|이름=Alexander O.|성=Gogolin|공저자=Alexander A. Nersesyan, Alexei M. Tsvelik|출판사=Cambridge University Press|isbn=9780521617192|bibcode=1999cond.mat..9069G|arxiv=cond-mat/9909069|날짜=2004-12|언어=en}}</ref><ref name="FS">{{서적 인용|
제목=Non-perturbative field theory: from two-dimensional conformal field theory to QCD in four dimensions
|이름=Yitzhak|성=Frishman
|공저자=Jacob Sonnenschein | 날짜=2010
|출판사=Cambridge University Press
|총서=Cambridge Monographs on Mathematical Physics
|arxiv=1004.4859
|zbl=1213.81007
|doi=10.1017/CBO9780511770838
|isbn=978-052166265-9
|언어=en
}}</ref> 이에 따라, 2차원 등각장론에서는 일반적인 [[스핀-통계 정리]]가 무의미하며, 임의로 입자의 통계를 정할 수 있다. 대략, 한 쌍의 페르미온이 짝을 지어 보손을 이루는 것으로 이해할 수 있다.

== 전개 ==
=== 바일 페르미온의 보손화 ===
2차원 [[등각 장론]]에서 바일 [[스피너]]로 다루는 [[페르미온]]을 생각하자. 2차원 바일 스피너는 하나의 [[복소수]] 성분을 지니고, 또 전칙함수 및 반정칙함수의 합
:<math>\psi(z,\bar z)=\psi(z)+\bar\psi(\bar z)</math>
으로 나타낼 수 있다. 또한 (반)전칙함수로 나타나는 복소 스칼라 <math>\phi(z)</math>와 <math>\bar\phi(\bar z)</math>를 생각하고, 스칼라장의 [[전파 인자]]를 다음과 같이 규격화하자.
:<math>\langle\phi(z)\phi(z')\rangle=-\frac{\alpha'}2\ln(z-z')</math>
:<math>\langle\bar\phi(\bar z)\bar\phi(\bar z')\rangle=-\frac{\alpha'}2\ln(\bar z-\bar z')</math>

이 경우, 일차장들의 [[등각 무게]] <math>(h,\bar h)</math>는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 일차장 !! <math>h</math> !! <math>\bar h</math>
|-
| <math>\partial\phi(z)</math> || 1 || 0
|-
| <math>\bar\partial\bar\phi(\bar z)</math> || 0 || 1
|-
| <math>:\exp(ik\phi(z)):</math> || <math>k^2\alpha'/4</math> || 0
|-
| <math>:\exp(ik\bar\phi(\bar z)):</math> || 0 || <math>k^2\alpha'/4</math>
|-
| <math>\psi(z)</math> || 1/2 || 0
|-
| <math>\bar\psi(\bar z)</math> || 0 || 1/2
|}
따라서, <math>\psi(z)</math>와 <math>\exp(-i\sqrt{2/\alpha'}\phi)</math>의 무게가 일치하는 것을 볼 수 있다. 또한, 이들의 [[연산자 곱 전개]] (OPE) 및 [[에너지-운동량 텐서]]를 비교해 보면,
:<math>\psi(z)=:\exp(-i\sqrt{2/\alpha'}\phi(z)):</math>
:<math>\bar\psi(\bar z)=:\exp(-i\sqrt{2/\alpha'}\bar\phi(\bar z)):</math>
:<math>:\psi(z)\bar\psi(z):=i\partial\phi(z)</math>
와 같이 대응시키면 모든 성질이 같은 사실을 알 수 있다. 여기서 <math>:\cdots:</math>는 [[표준 순서]]다. 즉 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손이 동등하다는 사실을 알 수 있다.

=== 디랙 페르미온의 보손화 ===
마찬가지로, 디랙 페르미온
:<math>\psi(z,\bar z)=\psi(z)+\bar\psi(\bar z)</math>
은 주기가 <math>2\pi</math>인 [[실수]] 스칼라 보손
:<math>\phi(z,\bar z)=\phi(z)+\bar\phi(\bar z)\in\mathbb R/2\pi</math>
으로 보손화된다. 구체적으로, 대응 관계는 다음과 같다. 여기서 <math>\mu</math>는 [[표준 순서]] <math>:\cdots:</math>를 가하는 에너지 눈금이다. (질량항의 경우, [[등각 대칭]]을 깨므로 이 에너지 눈금이 중요해진다.)

{| class="wikitable"
|+ 디랙 페르미온의 보손화<ref name="FS"/>{{rp|136}}
|-
! scope=col | 설명
! scope=col |  보손
! scope=col | 페르미온
|-
! scope=row | 보존류 (정칙) <math>j(z)</math>
| <math>i\partial\phi(z)</math> || <math>:\psi^\dagger(z)\psi(z):</math>
|-
! scope=row | 보존류 (반정칙) <math>\bar j(\bar z)</math>
| <math>i\partial\phi(z)</math> || <math>:\bar\psi^\dagger(\bar z)\bar\psi(\bar z):</math>
|-
! scope=row | 페르미온 (정칙)
| <math>:\exp(i\phi(z)):</math> || <math>\psi(z)</math>
|-
! scope=row |  페르미온 (반정칙)
| <math>:\exp(i\phi(\bar z)):</math> || <math>\bar\psi(\bar z)</math>
|-
! scope=row | [[에너지-운동량 텐서]] (정칙) <math>T(z)</math>
| <math>-\frac12:\partial\phi(z)\partial\phi(z):</math>
| <math>-\frac12:\psi^\dagger(z)\partial\psi(z)-\partial\psi^\dagger(z)\psi(z):</math>
|-
! scope=row | [[에너지-운동량 텐서]] (반정칙) <math>T(z)</math>
| <math>-\frac12:\partial\bar\phi(\bar z)\partial\bar\phi(\bar z):</math>
| <math>-\frac12:\bar\psi^\dagger(\bar z)\partial\bar\psi(\bar z)-\partial\bar\psi^\dagger(\bar z)\bar\psi(\bar z):</math>
|-
! scope=row | 질량항
| <math>\mu:\cos(\phi(z)+\bar\phi(\bar z)):</math>
| <math>\bar\psi^\dagger(\bar z)\psi(z)+\psi^\dagger(z)\bar\psi(\bar z)</math>
|}

=== 비아벨 보손화 ===
만약 페르미온 계가 비아벨 [[맛깔]] 대칭 등을 갖는다고 하자. 2차원에서는 이에 따라 계가 [[아핀 리 대수]] 대칭을 갖게 된다. 이 경우, 보손화는 이 대칭을 보존하여야 한다. 이 경우, 일반적인 (아벨) 보손화 대신 '''비아벨 보손화'''({{llang|en|non-Abelian bosonization}})를 사용한다. 이 경우, 페르미온 계의 보손화는 적절한 아핀 리 대수 대칭을 갖는 [[베스-추미노-위튼 모형]]이다. 이를 사용하여, 예를 들어 2차원 [[양자 색역학]]을 보손화하여 완전히 풀 수 있다.

비아벨 보손화는 [[에드워드 위튼]]이 1984년 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Non-abelian bosonization in two dimensions|이름=Edward|성=Witten|저널=Communications in Mathematical Physics|issn=0010-3616|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103940923|doi=10.1007/BF01215276|mr=0736403|zbl=0536.58012|권=92|호=4|날짜=1984|쪽=455–594|언어=en}}</ref>

== 보손화의 예 ==
보손화를 통해, 하나의 보손 장을 가진 [[사인-고든 모형]]과 하나의 페르미온 장을 가진 [[티링 모형]]이 서로 동등하게 된다. 이는 [[S-이중성]]의 간단한 예이다.

상호작용하는 페르미온을 나타내는 [[도모나가-루팅거 모형]]({{llang|en|Tomonaga-Luttinger model}})은 보손화를 통해 자유 보손 이론으로 치환하여, 완전히 풀 수 있다.

== 응용 ==
보손화는 응집물질물리학에서 중요한 역할을 한다. [[초전도체]]를 다루는 [[BCS 이론]]에서는 두 전자가 [[쿠퍼 쌍]]을 이루어 보손처럼 행동하여 초전도를 가능하게 한다. 또한, [[헬륨]]-3이나 [[리튬]]-7과 같은 페르미온이 보손화하면 [[보스-아인슈타인 응축]] 상태에 도달할 수 있다.

보손화는 [[끈 이론]]에서도 쓰인다. 예를 들어, RNS 초끈을 다룰 때 나타나는 페르미온 장 <math>\psi</math>와 페르미온 유령 <math>\beta,\gamma</math>는 보손화를 통하여 간단히 다룰 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Theoretical Methods for Strongly Correlated Electrons|장=An introduction to bosonization|doi=10.1007/0-387-21717-7_4|arxiv=cond-mat/9908262|이름=David|성=Sénéchal|쪽=139–186|isbn=0387008950|날짜=2003|출판사=Springer|bibcode=1999cond.mat..8262S|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=An introduction to bosonization and some of its applications|이름=Sumathi|성=Rao|공저자=Diptiman Sen|arxiv=cond-mat/0005492| 날짜=2000|bibcode=2000cond.mat..5492R|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Bosonization for beginners — refermionization for experts|저자=Jan von Delft, Herbert Schoeller|doi=
10.1002/(SICI)1521-3889(199811)7:4<225::AID-ANDP225>3.0.CO;2-L|저널={{lang|de|Annalen der Physik}}|권=7|호=4|쪽=225–305|날짜=1998-11|arxiv=cond-mat/9805275|bibcode=1998AnP.....7..225V|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Introduction to Bosonization|이름=E.|성=Miranda|날짜=2003|저널=Brazilian Journal of Physics|권=33|호=1|쪽=3–35|url=http://www.sbfisica.org.br/bjp/files/v33_3.pdf|issn=0103-9733|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:응집물질물리학]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:양자장론]]