보바인 적분 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''보바인 적분'''(Borwein integral)은 수학자 [[데이비드 보바인]]과 [[조너선 보바인]]이 2001년 발표한 특이한 속성을 가진 [[적분]]이다.<ref name=":0">{{인용|last1=Borwein |first1=David |last2=Borwein |first2=Jonathan M. |title=Some remarkable properties of sinc and related integrals |doi=10.1023/A:1011497229317 |mr=1829810 |year=2001 |journal=The Ramanujan Journal |issn=1382-4090 |volume=5 |issue=1 |pages=73–89}}</ref> 보바인 적분은 <math>\mathrm{sinc}(x)=\sin(x)/x</math>이고 <math>x = 0</math>에서 극한값으로 <math>\mathrm{sinc}(0)=1</math>라고 정의하는 [[싱크함수]]의 변형형인 <math>\mathrm{sinc}(ax)</math> 함수의 적분의 계산이다.

보바인 적분은 같은 패턴을 보이는 적분값이 어느 순간 패턴이 깨지고 전혀 다른 값으로 나오는 예시 중 하나이다.

== 설명 ==
싱크 함수의 양의 [[무한적분]] 값은 다음과 같다.
:<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \frac \pi 2</math>

여기서, <math>\mathrm{sinc}(ax)</math>에 들어가는 a 값을 1, 3, 5 등 홀수로 늘려가며 이어나가 곱한 함수의 적분값을 구하면 다음과 같다.
:<math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx= \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \frac \pi 2
\end{align}
</math>

이 함수의 적분값은 a를 13까지 늘렸을 때까지 일치한다.
:<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2.</math>

하지만, a값이 15를 넘어서게 되면 다음과 같이 패턴이 달라지게 된다.{{OEIS|A068214}}
: <math>
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx
 &= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
 &= \frac \pi 2 - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
 &\approx \frac \pi 2 - 2.31\times 10^{-11}.
\end{align}
</math>

일반적으로, {{nowrap|3, 5, 7…}}과 같이 붙은 a값의 역수들의 총 합이 1보다 작을 경우 적분값은 항상 {{sfrac|{{pi}}|2}}이다. 위의 예시의 경우, {{nowrap|{{sfrac|1|3}} + {{sfrac|1|5}} + … + {{sfrac|1|13}} < 1,}}이지만 {{nowrap|{{sfrac|1|3}} + {{sfrac|1|5}} + … + {{sfrac|1|15}} > 1.}}로 15서부터는 1을 넘어서서 적분값이 달라진다.

싱크함수 앞에 <math>2\cos(x)</math>를 곱하게 되면 더 오랫동안 패턴이 유지되는데,

:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111} \, dx = \frac \pi 2,</math>

하지만,
:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111}\frac{\sin(x/113)}{x/113} \, dx < \frac \pi 2.</math>

이다.

위의 경우에는 {{nowrap|{{sfrac|1|3}} + {{sfrac|1|5}} + … + {{sfrac|1|111}} < 2}}이지만 {{nowrap|{{sfrac|1|3}} + {{sfrac|1|5}} + … + {{sfrac|1|113}} > 2}}여서 위처럼 값이 어긋나게 되는 것이다.

원래 싱크함수의 적분값과 그의 확장형값이 같다가 어느 순간 값이 달라지는 이유는 직관적인 수학적 설명으로 증명되었다.<ref>{{인용|last1=Schmid |first1=Hanspeter |title=Two curious integrals and a graphic proof |doi=10.4171/EM/239 |year=2014 |url=http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf |journal=Elemente der Mathematik |issn=0013-6018 |volume=69 |issue=1 |pages=11–17}}</ref><ref>{{웹 인용|url=https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/|title=Patterns That Eventually Fail|last=Baez|first=John|date=September 20, 2018|website=Azimuth|archive-url=https://web.archive.org/web/20190521084631/https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/|archive-date=2019-05-21|access-date=}}</ref> 특히 인과관계 논리가 있는 [[무작위 행보]] 재규격화에서는 패턴이 깨지는 이유를 밝혀주며 여기에 여러 일반화까지 덧붙여진다.<ref>{{인용|last1=Satya Majumdar |last2=Emmanuel Trizac |title=When random walkers help solving intriguing integrals |doi=10.1103/PhysRevLett.123.020201 |year=2019 |journal=Physical Review Letters |issn=1079-7114 |volume=123 |issue=2 |pages=020201|arxiv=1906.04545 |bibcode=2019arXiv190604545M }}</ref>

== 일반화 공식과 증명 ==
0이 아닌 실수 수열 <math>a_0, a_1, a_2,\ldots</math>에서 위 싱크함수의 일반적인 무한적분 공식은 다음과 같다.<ref name=":0" />

: <math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sin(a_kx)}{a_kx} \, dx</math>

위 공식을 사용하러면 <math>a_k</math>까지의 합계를 알아야 한다. 만약 <math>\gamma = (\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n)\in\{\pm 1\}^n</math>에서 각각의 값이 <math>\pm 1</math>인 n-[[튜플]]이라면 위 식을 <math>a_k</math>까지의 교대급수인 <math>b_{\gamma}=a_0+\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\cdots+\gamma_na_n</math>이라고 할 수 있고 우리는 <math>\varepsilon_\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n</math>라고 정의할 수 있으며 이 값은 <math>\pm 1</math>이다. 즉 [[푸리에 변환]]을 이용해 위 표기법으로 싱크함수의 무한적분을 정리하면 다음과 같다.

: <math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sin(a_kx)}{a_kx} \, dx = \frac{\pi}{2a_0} C_n </math>

여기서

: <math>C_n = \frac 1 {2^nn!\prod_{k=1}^na_k} \sum_{\gamma\in\{\pm 1\}^n} \varepsilon_\gamma b_\gamma^n \sgn(b_\gamma) </math>

이다. (sgn은 [[부호함수]])

만약 <math>a_0 > |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| </math>이면 <math>\sgn(b_\gamma) = \sgn(a_0)</math>이므로 <math>C_n=1 </math>가 된다.

또한 각각의 <math>k=0,\ldots,n-1 </math>에 대해 <math>0<a_n < 2a_k </math>이고 <math>a_1+a_2+\cdots+a_{n-1} < a_0 < a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n </math>인 <math>n </math>이 존재한다면 처음부터 <math>n </math>번째까지의 부분합이 <math>a_0</math>을 넘는 첫 <math>n </math>값이며 <math>k=0,\ldots,n-1 </math>까지는 <math>C_k=1 </math>이지만

: <math>C_n = 1 - \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n-a_0)^n}{2^{n-1}n! \prod_{k=1}^na_k} </math>

이 된다.

위의 설명 첫 예시를 예로 들면, <math>a_k=\frac{1}{2k+1} </math>가 된다.

<math>n=7 </math>에서 <math>a_7=\frac{1}{15} </math>이며 <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\approx 0.955 </math>이지만 n이 15가 될 경우 <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}\approx 1.02 </math> 즉 <math>a_0=1 </math>를 넘게 되므로 13까지는

: <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)} x \frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2 </math>

가 되지만, <math>n=15 </math>에서

: <math>
\begin{align}

& \int_0^\infty \frac{\sin(x)} x \frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx \\[5pt]
= {} & \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{(3^{-1} + 5^{-1} + 7^{-1} + 9^{-1} + 11^{-1} + 13^{-1} + 15^{-1}-1)^7}{2^6\cdot 7! \cdot (1/3 \cdot 1/5 \cdot 1/7 \cdot 1/9 \cdot 1/11 \cdot 1/13 \cdot 1/15)}\right)
\end{align}
</math>

즉 위에서 나열한 값과 같다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|BorweinIntegrals}}
* {{유튜브|851U557j6HE|Researchers thought this was a bug (Borwein integrals)}} 3Blue1Brown
* [https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/ Patterns That Eventually Fail], 20 September 2018
* [https://www.futilitycloset.com/2018/02/02/breakdown-2/ Breakdown], 2 February 2012
* [https://phys.org/news/2019-07-illusive-patterns-math-ideas-physics.html  Illusive patterns in math explained by ideas in physics], 19 July 2019
* [https://www.youtube.com/watch?v=aZ7Cyhzi9h8 (video) When random walkers help solving intriguing integrals] 19 July 2019

[[분류:적분]]