보렐-칸텔리 보조정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]에서, '''보렐-칸텔리 보조정리'''({{llang|en|Borel–Cantelli lemma}})는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 [[충분 조건]]과 1일 [[충분 조건]]을 제시하는 정리이다.<ref name="Billingsley">{{서적 인용
|성=Billingsley
|이름=Patrick
|제목=Probability and Measure
|url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill
|언어=en
|판=3
|총서=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics
|출판사=Wiley-Interscience
|위치=New York, N.Y.
|날짜=1995
|isbn=978-0-471-00710-4
}}</ref><ref name="Kochen">{{저널 인용
|url=https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256059668
|성1=Kochen
|이름1=Simon
|성2=Stone
|이름2=Charles
|제목=A note on the Borel–Cantelli lemma
|언어=en
|저널=Illinois Journal of Mathematics
|권=8
|호=2
|쪽=248–251
|날짜=1964
|issn=0019-2082
|doi=10.1215/ijm/1256059668
|mr=0161355
|zbl=0139.35401
}}</ref><ref name="Petrov2002">{{저널 인용
|성=Petrov
|이름=Valentin V.
|제목=A note on the Borel–Cantelli lemma
|언어=en
|저널=Statistics & Probability Letters
|권=58
|호=3
|쪽=283–286
|날짜=2002-07-01
|issn=0167-7152
|doi=10.1016/S0167-7152(02)00113-X
}}</ref><ref name="Petrov2004">{{저널 인용
|성=Petrov
|이름=Valentin V.
|제목=A generalization of the Borel–Cantelli lemma
|언어=en
|저널=Statistics & Probability Letters
|권=67
|호=3
|쪽=233–239
|날짜=2004-04-15
|issn=0167-7152
|doi=10.1016/j.spl.2004.01.008
}}</ref>

== 정의 ==
보렐-칸텔리 보조정리는 '''(제1) 보렐-칸텔리 보조정리'''({{llang|en|(first) Borel–Cantelli lemma}})와 '''제2 보렐-칸텔리 보조정리'''({{llang|en|second Borel–Cantelli lemma}})로 구성된다.

[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 속 사건의 열 <math>(A_i)_{i=1}^\infty\subset\mathcal F</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 <math>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)<\infty</math>라면, <math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=0</math>이다.
* (제2 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 <math>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty</math>이며 <math>(A_i)_{i=1}^\infty</math>가 [[독립 (확률론)|독립]]이라면, <math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=1</math>이다.
{{증명|제목=제1 보렐-칸텔리 보조정리의 증명}}
증명 1: 가정 및 [[확률 측도]]의 성질에 따라
:<math>0
=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=n}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)
\ge\lim_{n\to\infty}\operatorname{Pr}\left(\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)
=\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)
</math>
이다. 따라서
:<math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=0</math>
이다.

증명 2: 다음과 같은, [[확장된 실수]] 값의 [[확률 변수]]를 정의하자.
:<math>N=\sum_{i=1}^\infty 1_{A_i}</math>
그렇다면 [[단조 수렴 정리]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\infty
>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)
=\operatorname E(N)
\ge\infty\cdot\operatorname{Pr}(N=\infty)
=\infty\cdot\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)
</math>
따라서
:<math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)=0</math>
이다.
{{증명 끝}}
{{증명|제목=제2 보렐-칸텔리 보조정리의 증명}}
[[미적분학]]을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다.
:<math>1-x\le\exp(-x)</math>
이 부등식과 <math>(A_i)_{i=1}^\infty</math>의 독립성에 따라, 임의의 <math>n=1,2,\dots</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{i=n}^\infty(\Omega\setminus A_i)\right)
&=\lim_{m\to\infty}\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{i=n}^m(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=\lim_{m\to\infty}\prod_{i=n}^m(1-\operatorname{Pr}(A_i))\\
&\le\lim_{m\to\infty}\prod_{i=n}^m\exp(-\operatorname{Pr}(A_i))\\
&=\lim_{m\to\infty}\exp\left(-\sum_{i=n}^m\operatorname{Pr}(A_i)\right)\\
&=0
\end{align}
</math>
따라서 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)
&=1-\operatorname{Pr}\left(\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{i=n}^\infty(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=1-\lim_{n\to\infty}\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{i=n}^\infty(\Omega\setminus A_i)\right)\\
&=1
\end{align}
</math>
{{증명 끝}}

== 일반화 ==
제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

=== 코첸-스톤 부등식 ===
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 속 사건의 열 <math>(A_i)_{i=1}^\infty\subset\mathcal F</math>에 대하여,
:<math>L=\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i,j=1}^n\operatorname{Pr}(A_i\cap A_j)}{\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)\right)^2}</math>
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Kochen" />
* <math>L\ge 1</math>
* 만약 <math>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty</math>라면, <math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)\ge 1/L</math>이다.
** 특히, 만약 <math>L<\infty</math>라면 위 확률은 0보다 크다.
** 특히, 만약 <math>L=1</math>이라면 위 확률은 1이다.<ref name="Billingsley" />{{rp|88, §[1.]6, Theorem 6.3}}
* 만약 <math>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty</math>이며 <math>(A_i)_{i=1}^\infty</math>가 쌍마다 [[독립 (확률론)|독립]]이라면, <math>L=1</math>이다.<ref name="Billingsley" />{{rp|89, §[1.]6, Example 6.4}} 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다.

=== 페트로프의 일반화 ===
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 속 사건의 열 <math>(A_i)_{i=1}^\infty\subset\mathcal F</math> 및 임의의 실수 <math>H\in\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>\alpha_H=\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{1\le i<j\le n}(\operatorname{Pr}(A_i\cap A_j)-H\operatorname{Pr}(A_i)\operatorname{Pr}(A_j))}{\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Pr}(A_i)\right)^2}</math>
라고 하자. 그렇다면, 만약
:<math>\sum_{i=1}^\infty\operatorname{Pr}(A_i)=\infty</math>
라면,
:<math>\operatorname{Pr}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)\ge 1/(H+2\alpha_H)</math>
이다.<ref name="Petrov2004" />

특히, 코첸-스톤 부등식은 <math>H=0</math>인 특수한 경우이다.

== 역사 ==
[[에밀 보렐]]과 프란체스코 파올로 칸텔리({{llang|it|Francesco Paolo Cantelli}})가 제시하였다.

사이먼 버나드 코첸({{llang|en|Simon Bernhard Kochen}})과 찰스 졸 스톤({{llang|en|Charles Joel Stone}})이 한 가지 일반화를 제시하였다.<ref name="Kochen" /> 발렌틴 블라디미로비치 페트로프({{llang|ru|Валентин Владимирович Петров}})는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다.<ref name="Petrov2002" /><ref name="Petrov2004" />

== 같이 보기 ==
* [[무한 원숭이 정리]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Borel-Cantelli lemma|성=Prokhorov|이름=A. V.}}

[[분류:확률론 정리]]
[[분류:측도론 정리]]
[[분류:보조정리]]