보렐-베유-보트 정리 문서 원본 보기

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[[리 군]] 이론에서, '''보렐-베유-보트 정리'''({{llang|en|Borel–Weil–Bott theorem}})는 [[반단순 리 군]]의 [[기약 표현]]을 어떤 복소수 [[선다발]]의 [[층 코호몰로지]] 군으로 나타내는 정리이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 복소수 [[반단순 리 군]] <math>G</math>
* 극대 원환면 <math>T\le G</math>
* [[보렐 부분군]] <math>T\le B\le G</math>
* <math>B</math>의 멱일 근기 <math>U\le B\le G</math>. 특히 <math>B/U=T</math>이다.
*: <math>\begin{matrix}
T&\subset&B&\subset&G\\
&&\cup\\
&&U
\end{matrix}</math>
* <math>T</math>의 [[정수 무게]] <math>\lambda\colon\operatorname{Lie}(T)^*\to\mathbb C</math>. 즉, 군 표현 <math>T\to\operatorname{GL}(1;\mathbb C)=\operatorname{Unit}(\mathbb C)</math>.
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
* 사영 사상 <math>B\twoheadrightarrow B/U=T</math>을 통한 <math>B</math>의 [[군 표현]] <math>C_\lambda\colon B\to\operatorname{GL}(1;\mathbb C)</math>
* <math>B</math>-[[주다발]] <math>G\twoheadrightarrow G/B</math>에 대한, <math>C_\lambda</math>의 [[연관 벡터 다발]] <math>(G\times\mathbb C)/B=L_{-\lambda}</math>. 이는 복소수 [[선다발]]이다.
* <math>L_{-\lambda}</math> 계수의 [[층 코호몰로지]] 군 <math>\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})</math>. 이는 각 자연수 <math>i</math>에 대한 [[복소수 벡터 공간]]이다.
* 또한, <math>G</math>가 <math>(G\times\mathbb C)/B=L_{-\lambda}</math> 위에 (왼쪽에서) 작용하므로, <math>G</math>는 층 코호몰로지 군 <math>\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})</math> 위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 [[군 대수]] <math>\mathbb C[G]</math>의 [[왼쪽 가군]]을 이룬다.
또한, 다음을 정의할 수 있다.
* <math>\rho</math>가 <math>G</math>의 모든 [[양근 (수학)|양근]]들의 합 ×½이라고 하자.
* [[정수 무게]] <math>\lambda</math> 및 [[바일 군]] <math>\operatorname W(G)</math>의 임의의 원소 <math>w\in\operatorname W(G)</math>에 대하여, 작용 <math>w\lambda=w(\lambda+\rho)-\rho</math>. 이에 따라 [[바일 군]]은 [[정수 무게]] 격자 위의 왼쪽 [[군의 작용]]을 갖는다.
* <math>\operatorname{length}\colon\operatorname W(G)\to\mathbb N</math>은 [[콕서터 군]]의 원소에 대한 길이 함수이다.
이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다.
# [[바일 군]] 작용에 대한, <math>\lambda</math>의 [[안정자군]]은 [[자명군]]이 아니다 (<math>\exists w\ne 1\colon w\lambda=\lambda</math>). 이는 임의의 <math>w\in\operatorname W(G)</math>에 대하여 <math>w\lambda</math>가 항상 [[우세 무게]]가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 [[양근 (수학)|양근]] <math>\beta</math>에 대하여 <math>\langle\lambda|\beta^\vee\rangle=0</math>인 것과 동치이다.
# <math>w\lambda</math>가 [[우세 무게]]가 되는 바일 군 원소 <math>w\in\operatorname W(G)</math>가 유일하게 존재한다. 이를 <Math>w_\lambda</math>라고 하자. 또한, [[우세 무게]] <math>w\lambda</math>에 대응하는 <math>G</math>의 [[기약 표현]]이 <math>G\to \operatorname{GL}(V)</math>라고 하자.
그렇다면, 각 경우에 대하여 '''보렐-베유-보트 정리'''에 따르면 층 코호몰로지 군 <math>\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})</math>는 다음과 같다.
# <math>\forall i\in\mathbb N\colon \operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})=0</math>
# <math>\operatorname H^i(G/B;L_{-\lambda})=\begin{cases}
0&i\ne\operatorname{length}(w_\lambda)\\
V^*&i=\operatorname{length}(w_\lambda)
\end{cases}</math>
특히, 이미 <math>\lambda</math>가 [[우세 무게]]인 경우, 항상 경우 2가 성립하며, <math>w_\lambda=1</math>이자 <math>\operatorname{length}(w_\lambda)=0</math>이다. 이 경우를 '''보렐-베유 정리'''라고 한다.

== 예 ==
다음과 같은 경우를 생각하자.
* <math>G=\operatorname{SL}(2;\mathbb C)</math> (2×2 복소수 [[특수 선형군]])
* <math>B=\operatorname B(2;\mathbb C)
=\left\{
\begin{pmatrix}
a&b\\
0&a^{-1}
\end{pmatrix}
\colon a\in\mathbb C\setminus\{0\},\;b\in\mathbb C
\right\}
</math> ([[상삼각 행렬]]로 구성된 부분군)
* <math>U=\left\{
\begin{pmatrix}
1&b\\
0&1
\end{pmatrix}\colon b\in\mathbb C
\right\}</math>
* <math>T=B/U\cong\mathbb C^\times</math>
* <math>G/B\cong\operatorname{\mathbb CP}^1</math> ([[리만 구]])
* 정수 무게 <math>\lambda</math>. 이는 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여 <math>\mathbb C^\times\to\mathbb C^\times</math>, <math>z\mapsto z^n</math>으로 주어진다.
* 선다발 <math>L_{-\lambda}</math>는 [[리만 구]]의 [[표준 선다발]]의 거듭제곱 <math>\mathcal O(n)</math>이다.
* <math>G=A_1</math>의 근계는 1차원이며, 하나의 양근 2를 갖는다. 즉 <math>\rho=1</math>이다.
이에 따라, 보렐-베유-보트 정리에 의하면
:<math>\operatorname H^0(\operatorname{\mathbb CP}^1;\mathcal O(n))=\Gamma(\operatorname{\mathbb CP}^1;\mathcal O(n))
\cong\operatorname{Sym}^n(\mathbb C^2)^*
</math>
는 표준 (2차원) 표현의 <math>n</math>차 대칭 거듭제곱이다.

== 역사 ==
[[아르망 보렐]]과 [[앙드레 베유]]가 [[우세 무게]]에 대한 경우(즉, 0차 [[층 코호몰로지]]에 대응하는 경우)를 증명하였다. 이후 [[라울 보트]]가 이를 일반적 [[정수 무게]]에 대한 경우(즉, 고차 코호몰로지에 대응하는 경우)로 일반화하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|first1=Robert J.|last1=Baston|first2=Michael G.|last2=Eastwood|title=The Penrose transform: its interaction with representation theory|publisher=Oxford University Press|year=1989|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bott–Borel–Weil theorem}}
* {{nlab|id=Bott-Borel-Weil theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:표현론]]
[[분류:리 군]]
[[분류:표현론 정리]]