보고몰니 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[양자장론]]에서 '''보고몰니 방정식'''(Богомольный方程式, {{llang|en|Bogomol’nyi equation}})은 3차원 공간 위의 [[주접속]]과 [[딸림표현]] [[스칼라장]]에 대한 1차 비선형 [[편미분 방정식]]이다.<ref name="AH">{{서적 인용 | last1=Atiyah | first1=Michael | author1-link=마이클 아티야 | author2-link=나이절 히친 | last2=Hitchin | first2=Nigel | title=The geometry and dynamics of magnetic monopoles | publisher=Princeton University Press | series=M. B. Porter Lectures | isbn=978-0-691-08480-0 |mr=934202 | year=1988 | url=https://press.princeton.edu/titles/4186.html | 언어=en}}</ref> 그 해는 [[자기 홀극]]을 나타낸다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 3차원 [[유향 다양체|유향]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>
** 이를 통하여, [[호지 쌍대]] <math>*\colon\Omega^\bullet(M) \to \Omega^{3-\bullet}(M)</math>가 존재한다.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[단순 리 군]] <math>G</math>
* <math>G</math>-[[주다발]] <math>\pi\colon P \twoheadrightarrow M</math>
** 이로부터 <math>G</math>의 [[딸림표현]]에 대한 [[연관 벡터 다발]] <math>\operatorname{ad}(P) = P \times_G \mathfrak{lie}(G)</math>을 정의할 수 있다.
* <math>\pi</math>의 [[주접속]] <math>\nabla_A</math>
** 그 곡률을 <math>F \in\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))</math>라고 하자.
* <math>\operatorname{ad}(P)</math>의 [[매끄러운 단면]] <math>\phi \in \Gamma^\infty (\operatorname{ad}(P))</math>
** 이에 대한 공변 미분 <math>\nabla_A \phi \in \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))</math>을 정의할 수 있다.
그렇다면, 이 데이터에 대한 다음과 같은 1차 [[편미분 방정식]]을 '''보고몰니 방정식'''이라고 한다.
:<math>F_A = * \nabla_A\phi</math>
보고몰니 방정식의 해는 물리학적으로 '''[[자기 홀극]]'''을 나타낸다.

=== 자기 홀극 ===
편의상, 게이지 군 <math>G=\operatorname{SU}(2)</math> 및 <math>M=\mathbb R^3</math>를 생각하자.

보고몰니 방정식의 해 가운데, 유한한 에너지
:<math>\int_M (\langle F,F\rangle + \langle \mathrm D\phi,\mathrm D\phi\rangle)\,\mathrm d^3x <\infty</math>
를 가지는 것들의, [[게이지 변환군]]
:<math>\mathcal C^\infty(\mathbb R^3,\operatorname{SU}(2))</math>
의 작용에 대한 [[동치류]]를 '''자기 홀극'''이라고 한다. 만약 <math>M = \mathbb R^3</math>인 경우, 이는 다음 조건을 함의한다.<ref name="AH"/>{{rp|15, (2.4)}}
:<math>|\phi| = \phi_0 - \frac k{2r} + \mathcal O(r^{-2})</math>
:<math>\frac{\partial|\phi|}{\partial\theta} = \mathcal O(r^{-2})</math>
:<math>|\mathrm D\phi| = \mathcal O(r^{-2})</math>
여기서 <math>\theta</math>는 <math>\mathbb R^3</math>의 구면 좌표에서 임의의 방향으로의 각 좌표이며, <math>r</math>는 원점으로부터의 거리이다. <math>\Phi_0</math>는 임의의 상수이며, <math>k\in\mathbb Z</math>는 '''자하'''(磁荷, {{llang|en|magnetic charge}})이다. 주어진 자하의 보고몰니 방정식의 [[모듈라이 공간]]을 <math>\mathcal N_k</math>라고 하자.

이 대신, <math>\mathbb R^3</math>의 임의의 한 방향을 골라, 이 방향의 무한대에서 게이지 변환이 자명하다는 조건을 가할 수 있다. 이러한 게이지 환의 군을
:<math>\mathcal G_0 \le \mathcal G = \mathcal C^\infty(\mathbb R^3,\operatorname{SU}(2))</math>
라고 하자. 그렇다면 유한 에너지 보고몰니 방정식 해의 <math>\mathcal G_0</math> 동치류를 '''틀 갖춘 자기 홀극'''({{llang|en|framed monopole}})이라고 하자.<ref name="AH"/>{{rp|15–16}}. 자하가 <math>k</math>인 틀 갖춘 자기 홀극의 [[모듈라이 공간]]을 <math>\mathcal M_k</math>라고 하자. 그렇자면 정의에 따라 이는 U(1) [[주다발]]
:<math>\operatorname U(1) \hookrightarrow \mathcal M_k \twoheadrightarrow \mathcal N_k</math>
을 이룬다.

== 성질 ==
=== 순간자와의 관계 ===
보고몰니 방정식은 4차원 [[양-밀스 순간자]]가 따르는 자기 쌍대성 방정식
:<math>F^{(4)}=\pm*F^{(4)}</math>
을 [[차원 축소]]하여 얻을 수 있다. 이 경우, 4차원의 게이지 퍼텐셜 <math>A</math>는 3차원의 게이지 퍼텐셜과 스칼라장으로 분해된다. 즉, 4차원 [[주접속]]의 곡률은
:<math>F^{(4)} =
\begin{pmatrix}
0 & \nabla_A \Phi \\
-\nabla_A\Phi & F
\end{pmatrix}</math>
의 꼴이다. 따라서, 이 경우 자기 (반)쌍대 방정식은
:<math>F = \pm*\nabla_A\Phi</math>
가 된다. 물론, 부호 ±는 <math>\Phi</math>를 재정의하여 없앨 수 있다.

=== 모듈라이 공간 ===
<math>\mathbb R^3</math> 위의 SU(2) 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간 <math>\mathcal M_k</math>는 <math>4k</math>차원 [[리만 다양체]]이며, [[초켈러 다양체]]이다. (그 위의 [[리만 계량]]은 해의 L<sup>2</sup> 계량으로 주어진다.) 즉, <math>\mathcal N_k</math>는 <math>4k-1</math>차원 [[리만 다양체]]이다. 또한, 이 위에는 아벨 리 군 <math>\mathbb R^3 \times \operatorname U(1)</math>이 작용하며, 이에 대한 [[몫공간]]
:<math>\frac{\mathcal M_k}{\mathbb R^3\times\operatorname U(1)} = \tilde{\mathcal M}_k</math>
을 정의할 수 있다. <math>\tilde{\mathcal M}_k</math>는 <math>4(k-1)</math>차원 [[초켈러 다양체]]이다.

특히, <math>\mathcal M_1 = \mathbb R^3 \times \operatorname U(1)</math>이다. 즉, 하나의 자기 홀극은 자명한 모듈라이 공간을 갖는다. 이러한 <math>k=1</math> 해는 '''프라사드-소머필드 해'''({{llang|en|Prasad–Sommerfield solution}})라고 하며, 다음과 같다.
:<math>A = \left(\frac1{\sinh r}-\frac1r\right)\epsilon_{ijk} \frac{x^j}r\sigma^k \,\mathrm dx^i</math>
:<math>\phi = \left(\frac1{\tanh r}-\frac1r \right)\frac{x^i}r\sigma_i</math>
여기서 <math>\sigma_i</math>는 리 대수 <math>\mathfrak{su}(2)</math>의 기저를 이루는 [[파울리 행렬]]이다.

<math>k=2</math>일 때, <math>\tilde{\mathcal M}_2</math>는 '''[[아티야-히친 다양체]]'''이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0005160|제목=(Anti-)Instantons andthe Atiyah-Hitchin Manifold|이름=Amihay|성=Hanany|이름2=Boris|성2=Pioline|언어=en}}</ref> 이는 [[점근 국소 평탄 공간]]이며, ADE 분류에서 D<sub>0</sub>형에 해당한다.<ref>{{저널 인용|제목=ALF gravitational instantons and collapsing Ricci-flat metrics on the K3 surface|이름=Lorenzo|성=Foscolo|arxiv=1603.06315|언어=en}}</ref> (반면, A<sub>&minus;1</sub>형은 <math>\mathbb R^3\times\mathbb S^1</math>이며, A₀형은 [[토브-너트 공간]]이며, A<sub>''n''</sub>은 <math>(n-1)</math>중 토브-너트 공간이다. E형은 존재하지 않는다.) [[아티야-히친 다양체]]는 SU(2) 등거리군을 가지며, 이는 원점을 중심으로 하는 회전에 해당한다. 아티야-히친 다양체의 2겹 [[피복 공간]]은 D₁형 [[점근 국소 평탄 공간]]이다.

=== 남 방정식 ===
{{본문|남 방정식}}
보고몰니 방정식의 해는 [[남 방정식]]으로 구성된다.<ref name="AH"/>{{rp|Chapter 16}}

== 역사 ==
예브게니 보리소비치 보고몰니({{llang|ru|Евге́ний Бори́сович Богомо́льный}})가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Евгений Борисович|성=Богомольный|제목=Ядерная физика|제목=Устойчивость Классических Решений|날짜=1976|issn=0044-0027|권=24|쪽=861–870|언어=ru}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[긴즈부르크-란다우 이론]]
* [[자이베르그-위튼 이론]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=A note on monopole moduli spaces |이름=Michael K.|성=Murray|이름2=Michael A.|성2=Singer|arxiv=math-ph/0302020|날짜=2003|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Magnetic monopole}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:자기 홀극]]