보건 도표 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''보건 도표'''(Vogan圖表, {{llang|en|Vogan diagram|보건 다이어그램}})는 실수 [[반단순 리 대수]]에 대응되는 일종의 [[그래프]]이다.<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어=en}}</ref> 복소수 [[반단순 리 대수]]를 분류하는 [[딘킨 도표]]에 데이터를 추가한 것이다. 구체적으로, 일부 꼭짓점은 검게 칠해져 있으며, 일부 흰 꼭짓점의 쌍은 선으로 이어져 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 실수 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>. 그 복소화를 <math>\mathfrak g^{\mathbb C}</math>로 표기하자.
* <math>\mathfrak g</math>의 카르탕 대합 <math>\theta\colon\mathfrak g\to\mathfrak g</math>. 이에 따라 [[카르탕 분해]] <math>\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p</math>를 정의할 수 있다.
* <math>\theta</math>-안정 극대 콤팩트 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h=\mathfrak t\oplus\mathfrak a\subseteq\mathbb g</math>와 그 복소화 <math>\mathfrak h^{\mathbb C}\subseteq\mathfrak g^{\mathbb C}</math>
* <math>(\mathfrak g^{\mathbb C},\mathfrak h^{\mathbb C})</math>의 [[근계]] <math>\Delta</math> 속의, [[양근]]의 선택 <math>\Delta^+\subseteq\Delta</math>. 또한, 이에 정의되는 [[전순서]] 아래 항상 <math>\mathrm i\mathfrak t</math>가 <math>\mathfrak a</math>보다 먼저 등장한다고 하자.

그렇다면, <math>\theta</math>는 <math>\Delta^+</math> 위에 [[군의 작용|작용]]하며, 이는 크기 1 또는 2의 궤도들을 정의한다. 이 경우,
* 허수 단순근들은 크기 1의 궤도를 갖는다 (<math>\theta</math>의 작용의 [[고정점]]이다).
* <math>\Delta^+</math>의 선택에 따라 실수 단순근은 존재하지 않는다.
* [[복소수]] 단순근들은 크기 2의 궤도를 갖는다.

이 데이터에 대응되는 '''보건 도표'''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>\Delta^+</math>의 [[딘킨 도표]] <math>\Gamma</math>. 이는 <math>\operatorname V(\Gamma) = \Delta^+</math>인 유한 [[그래프]]이며, 각 변에는 양의 정수 무게 <math>\operatorname E(\Gamma)\to\mathbb N</math>가 주어져 있으며, 이 무게가 양수인 변에는 방향이 주어져 있다. 
* <math>\operatorname V(\Gamma)</math>의, <math>\theta</math>에 대한 궤도들로의 [[집합의 분할|분할]]. 흔히, 크기 2의 궤도의 경우 두 꼭짓점들을 선으로 이으며, 크기 1의 궤도는 따로 표시하지 않는다.
* <math>\theta</math>에 대한 크기 1의 궤도에 대하여, 콤팩트 근인지 여부. 흔히, 비콤팩트 근을 검게 칠하고, 콤팩트 근을 희게 칠한다.

=== 추상적 보건 도표 ===
'''추상적 보건 도표'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[딘킨 도표]] <math>\Gamma</math>
* <math>\Gamma</math> 위의, <math>\operatorname{Cyc}(2)=\langle\theta | \theta^2=1\rangle</math> [[군의 작용|작용]]
* <math>\theta</math>의 고정점 가운데, 특별한 [[부분집합|부분 집합]] (“검은 꼭짓점”).
모든 추상 보건 도표는 항상 실수 [[반단순 리 대수]]의 보건 도표로 실현될 수 있다.<ref name="Knapp"/>{{rp|403, Theorem 6.88}}

== 성질 ==
서로 다른 보건 도표가 같은 실수 [[반단순 리 대수]]에 대응될 수 있으며, 이 경우 두 보건 도표가 서로 동치라고 하자. 임의의 보건 도표에 대하여, 이와 동치이며, 하나 이하의 검은 꼭짓점만을 갖는 보건 도표를 찾을 수 있다.<ref name="Knapp"/>{{rp|409, Theorem 6.96}}

아무 꼭짓점이 칠해지지 않으며, <math>\theta</math>의 작용이 자명한 경우, 이에 대응되는 실수 [[반단순 리 대수]]는 콤팩트 형태이다.

== 예 ==
<math>\mathsf A_n=\mathfrak{sl}(n+1;\mathbb C)</math> [[딘킨 도표]]를 생각하자.
:<math>\underbrace{\circ - \circ - \dotsb - \circ}_n</math>
각 꼭짓점에 대하여, 이를 칠하면 얻어지는 실수 리 대수는 다음과 같다.
:<math>\underset{\mathfrak{su}(1,n)}\circ - \underset{\mathfrak{su}(2,n-1)}\circ - \dotsb - \underset{\mathfrak{su}(n,1)}\circ</math>

마찬가지로, <math>\mathsf A_n = \mathsf A_{2k}</math>에서, <math>\theta</math>가 자명하지 않게 작용한다고 하자.
:<math>
(
\begin{matrix}
\overbrace{\circ - \circ - \dotsb - \circ}^k \\
\underbrace{\circ - \circ - \dotsb - \circ}_k \\
\end{matrix}</math>
이는 <math>\mathfrak{sl}(n+1;\mathbb R)</math>에 대응한다.

== 역사 ==
미국의 수학자 데이비드 알렉산더 보건({{llang|en|David Alexander Vogan}}, 1954~)이 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]