변환행렬 문서 원본 보기

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[[파일:2D affine transformation matrix-ko-001.svg|섬네일|350px|변환 행렬들]]
다음은 '''변환행렬'''에 관한 설명이다.

[[선형 대수학]]에서 [[선형 변환]](linear transformations)은 [[행렬]](matrix,매트릭스)로 나타내는 것이 가능하다. 또한 역사적으로 행렬상에서 행렬을 변환(또는 변형)시키는 다양한 표현방법이 조사되어왔다.

== 의미 ==
[[파일:Alias and alibi transformations 1 en.png|300px|섬네일|능동변환과 수동변환]]

행렬을 사용하면 임의의 선형 변환을 계산에 적합한 일관된 형식으로 표시 할 수 있다.<ref>Gentle, James E. (2007). "Matrix Transformations and Factorizations". Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics. Springer. {{ISBN|9780387708737}}.</ref> <math>\left\{\mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{n}\right\}</math>이 <math>\mathbb{R}^{n}</math>의 표준기저이고, 선형 변환 <math>T</math>를 나타내는 행렬을 <math>\mathbf{A}</math>라고 할 때 다음과 같이 표현할 수 있다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/1012749835|제목=Linear algebra|성=Meckes|이름=Elizabeth S.|성2=Meckes|이름2=Mark W.|날짜=2018|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge, United Kingdom|쪽=83-84|isbn=978-1-107-17790-1}}</ref>
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} T(\mathbf{e}_{1}) &  \dots & T(\mathbf{e}_{n}) \end{bmatrix}</math>

선형 변환만이 행렬로 표현할 수 있는 유일한 변환은 아니다. n 차원 유클리드 공간 <math> R^n</math>에서 비선형인 일부 변환은 n + 1 차원 공간 <math>R^{n +1}</math>에서 선형 변환으로 나타낼 수 있다. 여기에는 변환과 같은 [[아핀 변환]](affine transformation) 과 [[사영 변환]](projective transformation 또는 Homography) 이 모두 포함된다. 이러한 이유로, [[정사각 행렬]] 변환은 3D 컴퓨터 그래픽에서 널리 사용된다. 이러한 n + 1 차원 변환 행렬은 아핀 변환 행렬 , 사영 변환 행렬 또는 보다 일반적으로 비선형 변환 행렬 등 그 응용에 따라 다르게 불린다. n 차원 행렬과 관련하여, n + 1 차원 행렬은 [[첨가 행렬]]로 설명 될 수 있다.

물리학에서 [[능동 변환]](active transformation) 은 좌표상에서 시스템의 물리적 위치 값을 변경하고 좌표계가 없는 경우에도 의미를 가진다([[기저 변환]])

[[수동 변환]](passive transformation)은 대상이 되는 물리적 시스템은 변형없이 그대로이고 단지 좌표만이 이동한 것이다.
바꾸어 말하면, 수동 변환은 두 개의 다른 좌표 프레임에서 보았을 때 동일한 대상의 각기 다른 시각을 의미한다.

이처럼 능동 변환과 수동 변환의 차이는 현실세계의 물리적인 현상과 [[좌표계]]를 통해서 구별될수있다. 일반적으로 변환이라는 표현은, 수학에서는 능동변환을 의미한다. 그러나 특히 물리학에서는 상황에 따라 그 중 하나를 의미 할 수 있다.

== 종류 ==
* [[닮음변환행렬]] (크기 변환행렬)
* [[회전변환행렬]]
* [[전단변환행렬]]
* [[반사 행렬|대칭변환행렬]]
* [[직교 사영행렬]]

== 3D 컴퓨터 그래픽 예 ==
* [[회전행렬]]
[[단위벡터|단위 벡터]] <math>(l, m, n)</math>에 의해 정의된 축에 대해 각도 θ를 회전시키는 행렬<ref>Szymanski, John E. (1989). Basic Mathematics for Electronic Engineers:Models and Applications. Taylor & Francis. p. 154. {{ISBN|0278000681}}.</ref>
:<math>\begin{bmatrix}
ll(1-\cos \theta)+\cos\theta & ml(1-\cos\theta)-n\sin\theta & nl(1-\cos\theta)+m\sin\theta\\
lm(1-\cos\theta)+n\sin\theta & mm(1-\cos\theta)+\cos\theta & nm(1-\cos\theta)-l\sin\theta \\
ln(1-\cos\theta)-m\sin\theta & mn(1-\cos\theta)+l\sin\theta & nn(1-\cos\theta)+\cos\theta
\end{bmatrix}.</math>


* [[반사 행렬]](하우스홀더 변환)
좌표상에서 원점을 통과하는 반사된 점을 반영하기 위해 <math>ax + by + cz = 0</math>를 사용할 수 있다. <math>\mathbf{A} = \mathbf{I}-2\mathbf{NN}^T </math>는 다음과 같이 정의된다. <math>\mathbf{I}</math>는 3x3 [[단위행렬]]이고 그리고 <math>\mathbf{N}</math>은 좌표상의 [[벡터 공간|벡터]] [[노름]]에 대한 3 차원 [[단위벡터]]이다. <math>a, b,</math> 및 <math>c</math>의 [[노름 공간]]([[L2 공간|L2]])에서 변환 행렬은 다음과 같이 표현 될 수 있다.
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 - 2 a^2  & - 2 a b & - 2 a c \\ - 2 a b  & 1 - 2 b^2 & - 2 b c  \\ - 2 a c & - 2 b c & 1 - 2c^2 \end{bmatrix}</math>

== 같이 보기 ==
* [[정규 직교 기저]]
* [[동차좌표]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/LinearTransformation.html 매스월드]

{{선형대수학}}

[[분류:행렬]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:변환 (함수)]]