변형 수축 문서 원본 보기

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[[호모토피 이론]]에서 '''변형 수축'''(變形收縮, {{llang|en|deformation retract}})은 [[호모토피 유형]]을 보존시키면서 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 그 [[부분 공간]]으로 오그라뜨리는 과정이다. 모든 변형 수축은 [[호모토피 동치]]이며, 반대로 모든 호모토피 동치는 변형 수축들로 나타낼 수 있다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 공간]] <math>i\colon A\hookrightarrow X</math>에 대하여, 만약 [[연속 함수]] <math>r\colon X\to A</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, <math>r</math>를 <math>X</math>에서 <math>A</math>로의 '''약한 변형 수축'''이라고 한다.
*<math>r\circ i=\operatorname{id}_A</math>
* <math>i\circ r\simeq\operatorname{id}_X</math>
즉, 그림으로는 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&=&\downarrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\
A&\xleftarrow[r]{}&X
\end{matrix}\qquad\begin{matrix}
A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\uparrow&\simeq&\uparrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\
A&\xleftarrow[r]{}&X
\end{matrix}
</math>
즉, 다음 조건들을 만족시키는 [[호모토피]] <math>h\colon X\times[0,1]\to A</math>가 존재하여야 한다.
:<math>h(x,0)=x\qquad\forall x\in X</math>
:<math>h(x,1)\in A\qquad\forall x\in X</math>
:<math>h(x,1)=r(x)\qquad\forall x\in X</math>
:<math>r(a)=a\qquad\forall a\in A</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 공간]] <math>i\colon A\hookrightarrow X</math>에 대하여, 만약 [[연속 함수]] <math>r\colon X\to A</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, <math>r</math>를 <math>X</math>에서 <math>A</math>로의 '''강한 변형 수축'''({{llang|en|strong deformation retract}})이라고 한다.<ref name="Hatcher">{{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}</ref>{{rp|2}}<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|361}}
*<math>r\circ i=\operatorname{id}_A</math>
* <math>i\circ r\simeq\operatorname{id}_X\quad(\operatorname{rel}A)</math>
즉, 그림으로는 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&=&\downarrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\
A&\xleftarrow[r]{}&X
\end{matrix}\qquad\begin{matrix}
A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\uparrow&\simeq\operatorname{rel}A&\uparrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\
A&\xleftarrow[r]{}&X
\end{matrix}
</math>
즉, 다음 조건들을 만족시키는 [[호모토피]] <math>h\colon X\times[0,1]\to A</math>가 존재하여야 한다.
:<math>h(x,0)=x\qquad\forall x\in X</math>
:<math>h(x,1)\in A\qquad\forall x\in X</math>
:<math>h(x,1)=r(x)\qquad\forall x\in X</math>
:<math>h(a,t)=a\qquad\forall a\in A,\;t\in[0,1]</math>

== 성질 ==
위상 공간 <math>X</math>의 약한 변형 수축 <math>A\subseteq X</math>가 주어졌을 때, <math>A</math>는 <math>X</math>와 (강하게) [[호모토피 동치]]이다.

일반적으로, 위상 공간 <math>X</math> 및 <math>Y</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|16, Corollary 0.21}}
* <math>X</math>와 <math>Y</math>가 (강하게) [[호모토피 동치]]이다.
* 어떤 위상 공간 <math>Z</math> 및 포함 사상 <math>X\hookrightarrow Z</math> 및 <math>Y\hookrightarrow Z</math>에 의하여, <math>X</math>와 <math>Y</math>는 둘 다 <math>Z</math>의 약한 변형 수축이다.
* 어떤 위상 공간 <math>Z</math> 및 포함 사상 <math>X\hookrightarrow Z</math> 및 <math>Y\hookrightarrow Z</math>에 의하여, <math>X</math>와 <math>Y</math>는 둘 다 <math>Z</math>의 강한 변형 수축이다.

위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[축약 가능 공간]]이다.
* <math>\{x\}</math>가 <math>X</math>의 약한 변형 수축을 이루는 <math>x\in X</math>가 존재한다.
그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|18, Exercise 0.6b, 0.7}}

== 예 ==
원점을 제거한 유클리드 공간 <math>\mathbb R^n\setminus\{0\}</math>의 부분 공간인 <math>n-1</math>차원 [[초구]]
:<math>S^{n-1}=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\setminus\{0\}\colon\|\mathbf x\|=1\}</math>
는 다음과 같은 [[호모토피]]를 통해 강한 변형 수축을 이룬다.
:<math>h\colon\left(\mathbb R^n\setminus\{0\}\right)\times[0,1]\to\mathbb R^n\setminus\{0\}</math>
:<math>h\colon(\mathbf x,t)\mapsto\|\mathbf x\|^{-t}\mathbf x</math>

== 역사 ==
[[카롤 보르수크]]가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다.<ref>{{저널 인용|title=Sur les rétractes|이름=Karol|성=Borsuk|저자링크=카롤 보르수크|journal=Fundamenta Mathematicae|volume=17|호=1|날짜=1931|pages=152–170|issn=0016-2736|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv17i1p12bwm|zbl= 0003.02701|jfm=57.0729.04|언어=fr}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=DeformationRetract|title=Deformation retract}}
* {{매스월드|id=StrongDeformationRetract|title=Strong deformation retract}}
* {{nlab|id=deformation retract|title=Deformation retract}}

== 같이 보기 ==
* [[수축 (범주론)]]
* [[호모토피 동치]]

[[분류:호모토피 이론]]