변형 (수학) 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''변형 이론'''은 문제의 해 <math>
P</math>를 약간 다른 해 <math>
P_{\varepsilon}</math>로 변경하는 것과 관련된 [[무한소]] 조건에 대한 연구이다. 여기서 <math>
\varepsilon</math>은 작은 수 또는 작은 크기의 벡터이다. 무한소 조건은 [[제약 조건]]이 있는 문제를 해결하기 위해 [[미분학|미분법]]을 적용한 결과이다.

몇 가지 특징적인 현상은 다음과 같다. 양 <math>
\varepsilon</math>을 무시할 수 있는 제곱을 갖는 것으로 처리하여 1차 방정식을 유도한다. 해를 바꾸는 것이 불가능 ''하거나'' 새로운 것을 가져오지 않는다는 점에서 ''고립된 해''의 가능성; 그리고 무한소 제약 조건이 실제로 '통합'되어 해가 작은 변형을 제공하는지에 대한 질문이다. 어떤 형태로든 이러한 고려 사항은 수학뿐만 아니라 [[물리학]] 및 [[공학]]에서도 수세기의 역사를 가지고 있다. 예를 들어, 수의 기하학에서는 주어진 해 주위의 ([[군의 작용|군 작용]]의) ''열린 궤도''에 대한 위상수학적 해석과 함께 ''고립 정리''라고 불리는 결과 클래스가 인식되었다. [[섭동 이론]]은 또한 일반적으로 [[연산자]]의 변형을 조사한다.

== 복소 다양체의 변형 ==
수학에서 가장 두드러진 변형 이론은 [[복소다양체|복소 다양체]]와 [[대수다양체]]이었다. 이것은 [[이탈리아 대수 기하학 학교|이탈리아 대수기하학파]]에서 변형 방법이 훨씬 더 잠정적으로 응용된 후, [[고다이라 구니히코|코다이라 쿠니히코]]와 도널드 C. 스펜서의 기초 연구에 의해 확고한 기반이 마련되었다. 직관적으로 1차 변형 이론은 [[자리스키 접공간]]을 [[모듈라이 공간]]과 동일시해야 한다고 예상한다. 그러나 일반적인 경우에는 현상이 다소 미묘하게 나타난다.

[[리만 곡면]]의 경우, [[리만 구]]의 복소 구조가 고립되어 있음(모듈라이 없음)을 설명할 수 있다. 종수 1의 경우 [[타원곡선|타원 곡선]]은 [[타원함수|타원 함수]] 이론에서 볼 수 있듯이 복소 구조의 단일 매개변수 계열을 갖는다. 일반적인 고다이라-스펜서 이론은 변형 이론의 핵심으로 [[층 코호몰로지]] 군을 식별한다.

: <math> H^1(\Theta) \, </math>

여기서 ''<math>
\Theta </math>''는 정칙 [[접다발]](의 단면의 [[싹 (수학)|싹]]의 층)이다. 동일한 층의 ''<math>
H^2 </math>''에 장애물이 있다. 이는 일반적인 차원 상의 이유로 곡선의 경우 항상 0이다. 종수 0의 경우 ''<math>
H^1 </math>''도 사라진다. 종수 1의 경우 차원은 [[호지 이론|호지 수]]  ''<math>
h^{1,0} </math>''이므로 1이다. 종수 1의 모든 곡선은 ''<math>
y^2=x^3+ax+b </math>'' 형식의 방정식을 갖는 것으로 알려져 있다. 이는 분명히 두 개의 매개변수 ''<math>
a </math>''와 ''<math>
b </math>''에 의존하는 반면, 그러한 곡선의 동치류에는 하나의 매개변수만 있다. 따라서 동형 타원 곡선을 설명하는 ''<math>
a </math>''와 ''<math>
b </math>''에 관한 방정식이 있어야 한다. ''<math>
b^2a^{-3} </math>''이 동일한 값을 갖는 곡선은 동형 곡선을 설명하는 것으로 나타났다. 즉, ''<math>
a </math>''와 ''<math>
b </math>''를 변경하는 것은 곡선 ''<math>
y^2=x^3+ax+b </math>''의 구조를 변형하는 한 가지 방법이지만 ''<math>
a </math>''와 ''<math>
b </math>''의 모든 변형이 실제로 곡선의 동치류를 변경하는 것은 아니다.

종수 ''<math>
g>1 </math>''인 경우에는 [[세르 쌍대성]]을 사용하여 ''<math>
H^1 </math>''을 다음과 연관시킬 수 있다.

: <math> H^0(\Omega^{[2]}) </math>

여기서 ''<math>
\Omega </math>''은 정칙 [[여접다발]]이고 ''<math>
\Omega^{[2]} </math>'' 표기는 ''텐서 제곱을'' 의미한다(두 번째 [[외대수|외대수 멱]]이 ''아님'' ). 즉, 변형은 리만 곡면의 정칙 [[정칙 이차 미분|2차 미분]]에 의해 규제된다. 이는 다시 고전적으로 알려진 것이다. 이 경우 [[타이히뮐러 공간|타이히뮐러]] 공간이라고 불리는 모듈 공간의 차원은 [[리만-로흐 정리]]에 의해 ''<math>
3g-3 </math>''으로 계산된다.

이러한 예는 모든 차원의 복소 다양체의 정칙 계열에 적용되는 이론의 시작이다. 추가 개발에는 다음이 포함된다. 스팬서의 기술을 [[미분기하학|미분 기하학]]의 다른 구조로 확장; 고다이라-스팬서 이론을 [[알렉산더 그로텐디크|그로텐디크]]의 추상적 대수 기하학으로 동화시켜 결과적으로 초기 연구에 대한 실질적인 설명; 대수학과 같은 다른 구조의 변형 이론.

== 변형 및 평면 사상 ==
변형의 가장 일반적인 형태는 복소 해석적 공간, [[스킴 (수학)|스킴]], 공간에서의 함수들의 싹 등의 평면 사상 <math>f:X \to S</math>이다. 그로텐디크<ref name=":0">{{서적 인용|제목=Several Complex Variables IV|성=Palamodov|연도=1990|총서=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|권=10|쪽=105–194|장=Deformations of Complex Spaces|doi=10.1007/978-3-642-61263-3_3|isbn=978-3-642-64766-6}}</ref>는 변형에 대한 광범위한 일반화를 처음으로 발견하고 그러한 맥락에서 이론을 개발했다. 일반적인 생각은 '''보편족''' <math>\mathfrak{X} \to B</math>이 존재해야 한다는 것이다.  모든 변형은 ''유일한'' [[당김 (범주론)|당김 사각형]]으로 발견될 수 있다.<blockquote><math>\begin{matrix}
X & \to & \mathfrak{X} \\
\downarrow & & \downarrow \\
S & \to & B
\end{matrix}</math></blockquote>많은 경우에 이 보편족은 [[힐베르트 스킴]] 또는 [[견적 계획|Quot 스킴]] 또는 그 중 하나의 몫이다. 예를 들어, 곡선 계수의 구성에서는 힐베르트 방식의 매끄러운 곡선의 몫으로 구성된다. 당김 사각형이 유일하지 않은 경우 족은 '''Versal'''이다.

== 해석 대수의 싹의 변형 ==
변형 이론의 유용하고 쉽게 계산할 수 있는 영역 중 하나는 [[슈타인 다양체]], [[복소다양체|복소 다양체]] 또는 [[복잡한 분석의 다양성|복소 해석 버라이어티]]와 같은 복소 공간의 싹 변형 이론에서 비롯된다.<ref name=":0">{{서적 인용|제목=Several Complex Variables IV|성=Palamodov|연도=1990|총서=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|권=10|쪽=105–194|장=Deformations of Complex Spaces|doi=10.1007/978-3-642-61263-3_3|isbn=978-3-642-64766-6}}</ref> 이 이론은 정형함수들의 싹들의 층, 접공간 등을 고려하여 복소 다양체 및 복소 해석 공간으로 '''대역화''' 될 수 있다. 이러한 대수는 다음과 같은 형식이다.<blockquote><math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots, z_n\}}{I}</math> </blockquote>여기서 <math>\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n \}</math>는 수렴하는 거듭제곱의 환이고 <math>I</math>는 [[이데알]]이다. 예를 들어, 많은 저자들은 평면 곡선의 특이점을 나타내는 대수<blockquote><math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(y^2 - x^n)}</math></blockquote>와 같은 특이점 함수의 싹를 연구한다. 그러면 '''해석 대수의 싹'''은 그러한 대수의 반대 범주에 있는 대상이 된다. 그러면 해석 대수학의 싹의 '''변형''' <math>X_0</math>은  해석 대수의 싹의 평면 사상 <math>f:X \to S</math>로 제공된다.  여기서 <math>S</math>는  <math>X_0</math>가 당김 사각형<blockquote><math>\begin{matrix}
X_0 & \to & X \\
\downarrow & & \downarrow \\
* & \xrightarrow[0]{} & S
\end{matrix}</math></blockquote>에 들어맞는 구별되는 점 <math>0</math>을 갖는다. 이러한 변형은 가환 사각형으로 <blockquote><math>\begin{matrix}
X'& \to & X \\
\downarrow & & \downarrow \\
S' & \to & S
\end{matrix}</math></blockquote>주어진 동치 관계를 갖는다. 여기서 수평 화살표는 동형사상이다. 예를 들어, 해석 대수의 [[가환 그림]]의 반대 그림<blockquote><math>\begin{matrix}
\frac{\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})} & \leftarrow & \frac{\mathbb {C} \{x,y, s\}}{(y^{2}-x^{n} + s)} \\
\uparrow & & \uparrow \\
\mathbb{C} & \leftarrow & \mathbb{C}\{s\}
\end{matrix}</math></blockquote>에 의해 주어진 평면 곡선 특이점의 변형이 있다. 실제로 밀너는 특이점이 상수에 의해 변형되는 변형을 연구했다. 따라서 <math>0</math>이 아닌 <math>s</math> 위의 올은 '''밀너 올'''이라고 한다.

=== 변형의 코호몰로지적 해석 ===
해석 함수의 단일 싹에 많은 변형이 있을 수 있다는 것은 분명하다. 이 때문에 이 모든 정보를 정리하려면 몇 가지 장부 관리 장치가 필요하다. 이러한 조직적 장치는 접 코호몰로지를 사용하여 구성된다.<ref name=":0">{{서적 인용|제목=Several Complex Variables IV|성=Palamodov|연도=1990|총서=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|권=10|쪽=105–194|장=Deformations of Complex Spaces|doi=10.1007/978-3-642-61263-3_3|isbn=978-3-642-64766-6}}</ref> 이는 [[코쥘-테이트 분해|코스쥘–테이트 분해]]를 사용하고 비정규 대수에 대한 추가 생성기를 추가하여 잠재적으로 수정함으로써 형성된다. <math>A</math> . 해석 대수학의 경우 이러한 분해를 처음으로 연구한 수학자인 [[갈리나 튜리나]]의 이름을 따서 '''튜리나 분해'''라고 한다. 이것은 <math>R_0 \to A</math>이 완전열<blockquote><math>\cdots \xrightarrow{s} R_{-2} \xrightarrow{s} R_{-1} \xrightarrow{s} R_0 \xrightarrow{p} A \to 0</math></blockquote>에 들어맞는 해석 대수의 전사 사상인 등급-가환 미분 등급 대수<math>(R_\bullet, s)</math>이다. 그러면 미분 등급 유도 가군 <math>(\text{Der}(R_\bullet), d)</math>을 사용하여 , 그것의 코호몰로지는 해석 대수 <math>A</math>의 싹의 '''접 코호몰로지'''를 형성한다. 이러한 코호몰로지 군은 <math>T^k(A)</math>과 같이 표시된다. <math>T^1(A)</math>는 <math>A</math>의 모든 변형에 대한 정보를 포함하고  완전열<blockquote><math>0 \to T^0(A) \to \text{Der}(R_0) \xrightarrow{d} \text{Hom}_{R_0}(I,A) \to T^1(A) \to 0</math></blockquote>을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다. <math>A</math>가 대수<blockquote><math>\frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(f_1,\ldots, f_m)}</math></blockquote>과 동형이면, 그 변형은 다음과 같다.<blockquote><math>T^1(A) \cong \frac{A^m}{df \cdot A^n}</math></blockquote>여기서 <math>df</math>는 <math>f = (f_1,\ldots, f_m): \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m</math>의 야코비 행렬이다. 예를 들어, <math>f</math>로 주어진 초곡면의 변형들은 변형들  <blockquote><math>T^1(A) \cong \frac{A^n}{\left( \frac{\partial f}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial z_n} \right)}</math></blockquote>을 갖는다. 특이점 <math>y^2 - x^3</math>에 대해,  이는 가군<blockquote><math>\frac{A^2}{(y, x^2)}</math></blockquote>이다. 따라서 유일한 변형은 상수나 선형 요인을 추가하여 제공되므로 <math>f(x,y) = y^2 - x^3</math>의 일반적인 변형은 <math>F(x,y,a_1,a_2) = y^2 - x^3 + a_1 + a_2x </math>이다. 여기서 <math>a_i</math>들은 변형 매개변수이다.

== 함자적 설명 ==
변형 이론을 공식화하는 또 다른 방법은 체 위의 [[국소환|국소]] [[아르틴 대수학|아틴 대수]] [[범주 (수학)|범주]] <math>\text{Art}_k</math> 위의 [[함자 (수학)|함자]]들을 사용하는 것이다. '''준''' '''변형 함자'''는 <math>F(k)</math>이 점인 함자

: <math>F: \text{Art}_k \to \text{Sets}</math>

로 정의된다. 아이디어는 그 점 위에 놓여있는 것이 목적 공간인 점을 중심으로 [[모듈라이 공간]]의 무한소 구조를 연구하고 싶다는 것이다. 일반적으로 실제 공간을 찾는 것보다 모듈라이 문제에 대한 함자를 설명하는 것이 더 쉽다. 예를 들어, <math>\mathbb{P}^n</math> 안의 <math>d</math>차 초곡면의 모듈라이 공간을 고려하려는 경우, 함자

: <math>F: \text{Sch} \to \text{Sets}</math>

를 고려할 수 있다. 여기서

: <math>
F(S) = \left\{
\begin{matrix}
X \\
\downarrow \\
S
\end{matrix}
: \text{ each fiber is a degree } d \text{ hypersurface in }\mathbb{P}^n\right\}
</math>

일반적으로 집합 대신 [[준군]]들의 함자들를 사용하여 작업하는 것이 더 편리하고 필요하다. 이는 곡선의 모듈라이 공간의 경우에도 마찬가지이다.

=== 무한소에 대한 자세한 설명 ===
무한소는 수학자들이 미적분학에서 엄밀하지 않은 논증을 위해 오랫동안 사용해 왔다. 무한소 <math>\varepsilon</math>와 함께 다항식 <math>F(x,\varepsilon)</math>을 고려하면, 1차 항만 실제로 중요하다. 즉,

: <math> F(x,\varepsilon) \equiv f(x) + \varepsilon g(x) + O(\varepsilon^2)</math>

로 볼 수 있다. 무한소를 사용하여 [[단항식]]들의 도함수를 찾을 수 있다:

: <math> (x+\varepsilon)^3 = x^3 + 3x^2\varepsilon + O(\varepsilon^2)</math>

<math>\varepsilon</math> 항은 단항식의 도함수를 포함하고 이는 엄밀하지 않은 미적분학에서 무한소의 사용을 보여주는 예다.  또한 이 방정식을 단항식의 [[테일러 급수]]의 처음 두 항으로 볼 수도 있다. 무한소는 국소 아틴 대수의 [[멱영원]]을 사용하여 엄밀하게 만들 수 있다. 환 <math>k[y]/(y^2)</math>에서 무한소를 쓰는 방법이 효과가 있다는 것을 알 수 있다. 이것이 표기법 <math>k[\varepsilon] = k[y]/(y^2)</math>에 동기를 부여한다. 이를 [[이원수 (수학)|이원수 환]]이라고 한다.

또한 테일러 근사의 고차 항을 고려하려면 아틴 대수 <math>k[y]/(y^k)</math>를 고려할 수 있다. 단항식의 경우, 2차 전개를 작성하고 싶다고 가정해 보겠다. 그러면

: <math>(x+\varepsilon)^3 = x^3 + 3x^2\varepsilon + 3x\varepsilon^2 + \varepsilon^3</math>

테일러 전개(0에서)는 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 떠올리자:

: <math>f(x) = f(0) + \frac{f^{(1)}(0)}{1!}x + \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \cdots </math>

따라서 이전 두 방정식은 <math>x^3</math>의 2차 도함수는 <math>6x</math>임을 보여준다.

일반적으로 우리는 임의의 개수의 변수에서 임의 차수 테일러 전개를 고려하기를 원하므로 체에 대한 모든 국소 아틴 대수의 범주를 고려할 것이다.

=== 동기 ===
준 변형 함자의 정의에 동기를 부여하기 위해 체에 대한 사영 초곡면

: <math>
\begin{matrix}
\operatorname{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4)} \right) \\
\downarrow \\
\operatorname{Spec}(k)
\end{matrix}
</math>

을 고려하자. 이 공간의 무한소 변형을 고려하고 싶다면 데카르트 정사각형을 쓸 수 있다.

: <math>
\begin{matrix}
\operatorname{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4)} \right) & \to & \operatorname{Proj}\left( \dfrac{ \mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3][\varepsilon]}{(x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + \varepsilon x_0^{a_0} x_1^{a_1} x_2^{a_2} x_3^{a_3}) } \right) \\
\downarrow & & \downarrow\\
\operatorname{Spec}(k) & \to & \operatorname{Spec}(k[\varepsilon])
\end{matrix}
</math>

여기서 <math>a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4</math>이다. 그러면 오른쪽 모서리에 있는 공간은 무한소 변형의 한 예이다: <math>\operatorname{Spec}(k[\varepsilon])</math> 안의 [[멱영원]]들([[위상수학|위상]]적으로 점인)의 추가적인 [[스킴 (수학)|스킴]] 이론적 구조는 이 무한소 데이터를 정리하게 해준다. 가능한 모든 전개를 고려하고 싶기 때문에 준 변형 함자를 대상에 대해

: <math>
F(A) = \left\{
\begin{matrix}
\operatorname{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4)} \right) & \to & \mathfrak{X} \\
\downarrow & & \downarrow \\
\operatorname{Spec}(k) & \to & \operatorname{Spec}(A)
\end{matrix}
\right\}
</math>

과 같이 정의한다. 여기서 <math>A</math>는 국소 아틴 <math>k</math> -대수이다.

=== 매끄러운 준 변형 함자 ===
준 변형 함자는 핵에 있는 임의의 원소의 제곱이 0인 임의의 전사 <math>A' \to A</math>에 대해 전사

: <math>F(A') \to F(A)</math>

가 있는 경우 '''매끄럽다(smooth)'''고 한다. 이는 다음 질문에 의해 동기가 부여된다. 변형

: <math>
\begin{matrix}
X & \to & \mathfrak{X} \\
\downarrow & & \downarrow \\
\operatorname{Spec}(k) & \to & \operatorname{Spec}(A)
\end{matrix}
</math>

이 주어지면 이 데카르트 다이어그램을 데카르트 다이어그램으로 확장한 것이 존재합니까?

: <math>
\begin{matrix}
X & \to & \mathfrak{X} & \to & \mathfrak{X}' \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
\operatorname{Spec}(k) & \to & \operatorname{Spec}(A) & \to & \operatorname{Spec}(A')
\end{matrix}
</math>

매끄럽다(smooth)라는 이름은 스킴의 매끄러움에 대한 기준을 높이는 데서 유래한다.

=== 접공간 ===
계획 <math>X</math>의 접공간을 기억하세요.  로 설명될 수 있다. <math>\operatorname{Hom}</math>-집합

: <math>TX := \operatorname{Hom}_{\text{Sch}/k}(\operatorname{Spec}(k[\varepsilon]),X)</math>

여기서 소스는 [[이원수 (수학)|이원수]]의 환이다. 모듈라이 공간의 한 점의 접공간을 고려하고 있으므로 (사전)변형 함자의 접공간을 다음과 같이 정의할 수 있다.

: <math>T_F := F(k[\varepsilon]).</math>

== 변형 이론의 응용 ==

=== 곡선 계수의 차원 ===
[[대수 곡선의 계수|대수 곡선들의 모듈라이 공간]] <math>\mathcal{M}_g</math>의 첫 번째 성질 중 하나는 기초적 변형 이론을 사용하여 유도할 수 있다. 그 공간의 차원은 <blockquote><math>\dim(\mathcal{M}_g) = \dim H^1(C,T_C)</math></blockquote>과 같이 계산될 수 있다. 종수 <math>g</math>인 임의의 매끄러운 곡선에 대해 변형 공간은 모듈라이 공간의 접공간이기 때문이다. [[세르 쌍대성]]을 사용하면 접공간이 <blockquote><math>\begin{align}
H^1(C,T_C) &\cong H^0(C,T_C^* \otimes \omega_C)^\vee \\
&\cong H^0(C,\omega_C^{\otimes 2})^\vee
\end{align}</math></blockquote>와 동형이다. 따라서 [[리만-로흐 정리]]는 <blockquote><math>\begin{align}
h^0(C,\omega_C^{\otimes 2}) - h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) &= 2(2g - 2) - g + 1 \\
 &= 3g - 3
\end{align}</math></blockquote>을 제공한다. 종수 <math>g \geq 2</math>인 곡선의 경우 <math>h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) = 0</math>이다. 왜냐하면<blockquote><math>h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) = h^0(C, (\omega_C^{\otimes 2})^{\vee}\otimes \omega_C)
</math></blockquote>이고 차수는<blockquote><math>\begin{align}
\text{deg}((\omega_C^{\otimes 2})^\vee \otimes \omega_C) &= 4 - 4g + 2g - 2 \\
&= 2 - 2g
\end{align}</math></blockquote>이고 음수 차수 선다발의 경우 <math>h^0(L) = 0</math>이기 때문이다. 따라서 모듈라이 공간의 차원은 <math>3g - 3</math>과 같다.

=== 구부려서 부러트리기 ===
변형 이론은 [[모리 시게후미]]가 [[대수다양체|버라이어티]] 위의 [[대수 곡선|유리 곡선]]의 존재를 연구하기 위해 쌍유리 기하학에 적용한 것으로 유명하다.<ref>{{서적 인용|제목=Higher-Dimensional Algebraic Geometry|성=Debarre|이름=Olivier|저자링크=Olivier Debarre|연도=2001|총서=Universitext|출판사=Springer|장=3. Bend-and-Break Lemmas}}</ref>  양수 차원 [[파노 다양체|파노 버라이어티]]에 대해 모리는 모든 점을 통과하는 유리 곡선이 있음을 보여주었다. 이 증명 방법은 나중에 '''모리의 구부려서 부러트리기(Mori's bend-and-break)'''로 알려지게 되었다. 대략적인 아이디어는 선택한 점을 통과하는 어떤 곡선 ''<math>C</math>''로 시작하여 여러 성분으로 쪼개질 때까지 계속 변형하는 것이다. ''<math>C</math>를'' 성분 중 하나로 대체하면 ''<math>C</math>''의 [[곡면 종수|종수]]나 차수가 감소하는 효과가 있다. 따라서 절차를 여러 번 반복한 후에 결국 종수 0의 곡선, 즉 유리 곡선을 얻게 된다. ''<math>C</math>''의 변형의 존재와 특성은 변형 이론과 [[환의 표수|양의 표수]]로의 축소로부터의 논거를 필요로 한다.

=== 산술 변형 ===
변형 이론의 주요 적용 중 하나는 수론이다. 다음 질문에 대답하는 데 사용할 수 있다: 버라이어티 <math>X/\mathbb{F}_p</math>가 있을 때, 가능한 전개 <math>\mathfrak{X}/\mathbb{Z}_p</math>는 무엇인가? 이 버라이어티가 곡선이라면 <math>H^2</math>이 사라지는 것은 모든 변형의 결과가 <math>\mathbb{Z}_p</math> 위의 버라이어티라는 것을 의미한다; 즉, 매끄러운 곡선

: <math>
\begin{matrix}
X \\
\downarrow \\
\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p)
\end{matrix}
</math>

과 변형

: <math>
\begin{matrix}
X & \to & \mathfrak{X}_2 \\
\downarrow & & \downarrow \\
\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/(p^2))
\end{matrix}
</math>

이 있다면, 언제든지 이를 다음의 가환 그림으로 확장할 수 있다.

: <math>
\begin{matrix}
X & \to & \mathfrak{X}_2 & \to & \mathfrak{X}_3 & \to \cdots \\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\
\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/(p^2)) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/(p^3)) & \to \cdots
\end{matrix}
</math>

이는 <math>\mathbb{Z}_p</math> 위의 곡선을 주는 [[형식적 스킴]] <math>\mathfrak{X} = \operatorname{Spet}(\mathfrak{X}_\bullet)</math>을 구성 할 수 있음을 의미한다.

=== 아벨 스킴의 변형 ===
세르-테이트 정리는 대략적으로 말하면 [[아벨 다양체|아벨 스킴]] ''<math>A</math>''의 변형이 ''<math>p</math>-승'' 비틀림 점으로 구성되는 <nowiki><i id="mwAXo">p-</i></nowiki> 가약군 <math>A[p^\infty]</math>의 변형에 의해 제어된다는 것을 주장한다.

=== 갈루아 변형 ===
변형 이론의 또 다른 적용은 갈루아 변형이다. 이를 통해 우리는 다음 질문에 답할 수 있다. [[갈루아 모듈|갈루아 표현]]

: <math>G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_p)</math>

이 있을 때 어떻게 표현

: <math>G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}_p) \text{?}</math>

으로 확장할 수 있는가?

== 끈 이론과의 관계 ==
대수학(및 [[호흐실트 호몰로지|호흐실트 코호몰로지]])의 맥락에서 발생하는 소위 들리뉴 추측은 변형 이론과 [[끈 이론]]이 관련된 부분에 많은 관심을 불러일으켰다. (대략적으로, 끈 이론이 점입자 이론의 변형으로 여겨질 수 있을 것이라는 기대)  이는 초기 발표에서 몇 가지 문제가 발생한 후 이제 입증된 것으로 받아들여진다. [[막심 콘체비치]]는 이에 대해 일반적으로 인정되는 증거을 제시한 사람들 중 하나이다.

== 같이 보기 ==

* 코다이라-스펜서 사상
* [[이원수 (수학)|이원수]]
* [[변형 함자|슐레진저 정리]]
* 엑설컴
* 여접 복합체
* [[그로모프-위튼 불변량|그로모프–위튼 불변량]]
* 대수 곡선의 모듈라이 공간
* 변성(대수기하학)

== 각주 ==
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== 출처 ==

* {{SpringerEOM|id=d/d030700|제목=deformation}}
* Gerstenhaber, Murray and Stasheff,  James, eds. (1992). ''Deformation Theory and Quantum Groups with Applications to Mathematical Physics'', [[미국 수학회|American Mathematical Society]] (Google eBook) {{ISBN|0821851411}}

=== 교육적 자료 ===

* Palamodov, V. P., III. [https://link-springer-com.colorado.idm.oclc.org/chapter/10.1007/978-3-642-61263-3_3 Deformations of complex spaces]. ''Complex Variables IV'' (very down to earth intro)
* [https://web.archive.org/web/20191118215705/https://www.maths.ed.ac.uk/~ssierra/artin_notes_deformationthy.pdf Course Notes on Deformation Theory (Artin)]
* [https://math.stackexchange.com/a/1124227/251222 Studying Deformation Theory of Schemes]
* {{인용|first=Eduardo|last=Sernesi|title=Deformations of Algebraic Schemes}}
* {{인용|first=Robin|last=Hartshorne|title=Deformation Theory}}
* [https://math.berkeley.edu/~robin/math274root.pdf Notes from Hartshorne's Course on Deformation Theory]
* [http://www.msri.org/summer_schools/419 MSRI – Deformation Theory and Moduli in Algebraic Geometry]

=== 연구 논문 ===

* {{인용|last=Mazur|first=Barry|author-link=Barry Mazur|title=Perturbations, Deformations, and Variations (and "Near-Misses" in Geometry, Physics, and Number Theory|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|year=2004|volume=41|issue=3|pages=307–336|doi=10.1090/S0273-0979-04-01024-9|mr=2058289|url=https://www.ams.org/journals/bull/2004-41-03/S0273-0979-04-01024-9/S0273-0979-04-01024-9.pdf|doi-access=free}}

* {{인용|last=Anel|first=M.|title=Why deformations are cohomological|url=http://mathieu.anel.free.fr/mat/doc/Anel%20-%20WhyDeformationAreCohomological.pdf}}

== 외부 링크 ==

* {{웹 인용|url=http://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/256A/notes/deform.pdf|제목=A glimpse of deformation theory}}, lecture notes by Brian Osserman
[[분류:대수기하학]]