변수 변환 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''변수 변환'''(變數變換, {{llang|en|change of variables}})은 하나 또는 여러 개의 항으로 이루어진 식을 하나의 변수 또는 식으로 바꾸는 과정으로, 대개 교과서에서는 '''치환'''이라고 부르며, 계산을 간단하고 유용하게 하거나 어떤 명제를 증명하기 위해 필요한 과정이다.

== 다항식에 대한 변수 변환 ==
[[다항식]]의 변수를 다른 변수로 대신하는 기법은 다항 방정식의 근을 구하거나 다항식의 성질을 연구할 때 유용하다.

이러한 변수 변환의 한 가지 예는 다음과 같다. 다항식
:<math>f(x)=x^2-1</math>
에 변수 변환
:<math>x=2t+1</math>
를 적용하면
:<math>f(2t+1)=(2t+1)^2-1=4t^2+4t</math>
가 된다.

=== 무리 방정식의 풀이 ===
이러한 기법의 한 가지 응용은 다음과 같다. [[무리 방정식]]
:<math>x+\sqrt{x+1}-1=0</math>
의 근을 구하는 과정에서, 변수 변환
:<math>\sqrt{x+1}=t</math>
를 사용할 수 있다. 이를 대입하여 식을 다시 정리하면 [[이차 방정식]]
:<math>t^2+t-2=0</math>
으로 전환된다. 이 이차 방정식의 근은 <math>t=1,-2</math>인데,
:<math>t=\sqrt{x+1}\ge0</math>
이어야 하므로, <math>t=-2</math>는 무연근이다. 즉, <math>t=1</math>만을 취한다. 다시
:<math>\sqrt{x+1}=1</math>
로부터 <math>x</math>를 풀면 원래의 무리 방정식의 근 <math>x=0</math>이 나온다.

=== 상반 방정식의 풀이 ===
[[상반 방정식]]의 풀이에서 자주 사용되는 변수 변환은
:<math>x+\frac1x=t</math>
이다. 예를 들어, 4차 상반 방정식
:<math>ax^4+bx^3+cx^2+bx+a\qquad(a\ne0)</math>
은 양변을 <math>x^2</math>로 나누면
:<math>ax^2+bx+c+\frac bx+\frac a{x^2}=0</math>
를 얻으며, 더 정리하면
:<math>a\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+b\left(x+\frac1x\right)+c=0</math>
을 얻는다. 위의 변수 변환은 이를
:<math>a(t^2-2)+bt+c=0</math>
로 전환시키며, 이로부터 둘 이하의 <math>t\in(-\infty,2]\cup[2,\infty)</math>를 푼 뒤, 다시
:<math>t=x+\frac1x</math>
에 대입하여 얻는 둘 이하의 방정식으로부터 각각 둘 이하의 <math>x\ne0</math>을 풀면, 원래의 상반 방정식의 넷 이하의 근을 얻는다.

=== 다항식의 기약성의 판단 ===
또 한 가지 응용은 [[다항식]]
:<math>x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1</math>
이 [[기약 다항식]]인지를 판단하는 과정에서, 변수 변환
:<math>x=y+1</math>
를 사용하는 것이다. 이 변수 변환은 기약 다항식의 기약성과 비기약성을 보존한다. 그러면 이 다항식은 7-[[아이젠슈타인 다항식]]
:<math>y^6+7y^5+21y^4+35y^3+35y^2+21y+7</math>
로 전환되므로, 전환된 다항식은 기약 다항식이며, 따라서 원래의 다항식 역시 기약 다항식이다.

== 적분에서의 변수 변환 ==
=== 정적분의 변수 변환 ===
[[정적분]]
:<math>\int_a^bf(x)dx</math>
의 계산에서, 직접적인 계산보다 [[치환 적분]]을 통한 계산이 더 간편할 때가 많다. 이 경우에 변수 변환
:<math>x=x(t)</math>
을 적용한 결과는
:<math>\int_{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)}f(x(t))\frac{dx}{dt}dt</math>
이다.

한 가지 구체적인 예는 다음과 같다.
:<math>\int_1^2\frac{\ln x}xdx=\int_0^{\ln2}tdt=\frac12\ln^22</math>
여기서 사용한 변수 변환은
:<math>x=e^t</math>
이다.

그 밖에도 [[삼각 치환]] · [[쌍곡 치환]] · [[바이어슈트라스 치환]] · [[오일러 치환]]이 사용된다.

=== 중적분의 변수 변환 ===
중적분
:<math>\iint\cdots\int_Df(x_1,\dots,x_n)dx_1\cdots dx_n</math>
을 변수 변환
:<math>x_1=x_1(t_1,\dots,t_n)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>x_n=x_n(t_1,\dots,t_n)</math>
에 의하여 계산하는 공식은
:<math>\iint\cdots\int_Df(x_1,\dots,x_n)dx_1\cdots dx_n=
\iint\cdots\int_{x^{-1}(D)}f(x_1(t_1,\dots,t_n),\dots,x_n(t_1,\dots,t_n))\left|\det\frac{\partial(x_1,\dots,x_n)}{\partial(t_1,\dots,x_n)}\right|dt_1\cdots dt_n</math>
이다.

한 가지 예는 다음과 같다.
:<math>\;\iint\limits_{x^2+y^2\le9}x^2+y^2dxdy=\iint\limits_{{0\le r\le3}\atop{0\le\theta\le2\pi}}r^3drd\theta=
\int_0^3r^3dr\int_0^{2\pi}d\theta=\frac{81}{2}\pi</math>
여기서 사용한 변수 변환은 [[극좌표]] 변환
:<math>x=r\cos\theta</math>
:<math>y=r\sin\theta</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[대입 (수학) | 대입]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|저자=丘维声
|제목=高等代数. 下册
|언어=zh
|판=2
|연도=2003-08
|출판사=高等教育出版社
|위치=北京
|isbn=978-7-04-011877-3
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Change of variables in an integral}}
* {{매스월드|id=ChangeofVariablesTheorem|title=Change of variables theorem}}
* {{nlab|id=change of integration variables|title=Change of integration variables}}
* {{플래닛매스|urlname=changeofvariableindefiniteintegral|title=Change of variable in definite integral}}
* {{플래닛매스|urlname=ChangeOfVariablesInIntegralOnMathbbRn|title=Change of variables in integral on Rn}}
* {{proofwiki|id=Change of Variables in Summation over Finite Set|제목=Change of variables in summation over finite set}}
* {{proofwiki|id=Change of Variables in Indexed Summation|제목=Change of variables in indexed summation}}

[[분류:초등대수학]]
[[분류:수리물리학]]