변수분리법 문서 원본 보기

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수학에서, '''변수분리법'''(變數分離法, {{llang|en|separation of variables}})은 변수가 여러 개인 함수에 대한 [[편미분 방정식]]과 [[상미분 방정식]]의 한 쪽 변에 한 변수를 몰아 옮긴 후, 각 변수에 대해 따로 방정식을 세워 쉽게 풀기 위한 방법이다.

== 상미분 방정식 ==
상미분 방정식이 다음과 같은 꼴로 쓰일 수 있다고 할 때,

:<math>\frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x)),\qquad\qquad (1)</math>

<math>y = f(x)</math>로 놓아 좀 더 간단한 꼴로 만들면:

:<math>\frac{dy}{dx}=g(x)h(y).</math>
''h''(''y'') &ne; 0 일 때 양변을 ''h''(''y'')로 나눠서, 다음과 같은 꼴을 만들 수 있다:

:<math>{dy \over h(y)} = {g(x)dx},</math>

이렇게 했을 때, ''x'' 와 ''y'' 가 각 등호의 한쪽 편에만 나타난 모양을 변수분리되었다고 한다.

=== 다른 표기법 ===

고등학교 수학에 쓰인 표기법만으로는 <math>dx</math>, <math>dy</math> 라는 표현이 거북할 수 있을 것이다. 이럴 경우 방정식을 다음과 같은 꼴로 써도 무방하다.

:<math>\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x),</math>

하지만 이 방법을 쓸 때 왜 이 방정식 모양이 "변수분리" 라고 불리는 지 나타나지 않는다.

이를 좀 더 잘 보이기 위해 양변을 <math>x</math>에 대해 적분하면,

:<math>\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx, \qquad\qquad (2) </math>

라는 방정식을 얻을 수 있으며, 이를 [[치환적분]]을 통해 다른 방식으로 나타내면

:<math>\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx </math>

꼴로, "변수분리"의 뜻이 명확한 표현을 얻을 수 있다.

이 양변의 적분을 할 수 있으면 방정식(1) 에 대한 해를 얻게 되는 것이다. 이때 <math>\frac{dy}{dx}</math>를 일반 분수처럼 써서 <math>dx</math>, <math>dy</math>를 옮긴 것과 같은 모양을 얻을 수 있다는 것에 주목할 수 있다.

== 편미분 방정식 ==
''n''개의 변수에 대한 함수 F 가 다음과 같은 꼴로 주어졌다고 하자.

:<math> F(x_1,x_2,\dots,x_n) </math>

이에 대한 [[편미분 방정식]]을 풀어야 할 때, 때때로 다음과 같은 모양을 한 답이 있을 수 있는지 시도해 보는 것이 편리할 때가 있다.

:<math> F = F_1(x_1) \cdot F_2(x_2) \cdots F_n(x_n) </math>

다음과 같은 함수가 답일 수 있는지 시도해 보는 것도 가능하다.

:<math> F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n) </math>

이 때 , 편미분방정식이 상미분방정식의 묶음으로 표현될 수 있으며, ''변수분리상수''라는 것이 도입될 수 있다. 이 방법으로 풀 수 있는 방정식을 변수분리 가능한 [[편미분방정식]]이라고 한다.

== 참고 문헌 ==
* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. {{ISBN|1-58488-299-9}}.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Fourier method}}
* {{매스월드|id=SeparationofVariables|title=Separation of Variables}}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/education/edu-pde.htm Methods of Generalized and Functional Separation of Variables] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [https://web.archive.org/web/20100125064547/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/PDE:Integration_and_Separation_of_Variables Examples] of separating variables to solve PDEs.

{{토막글|수학}}

[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:편미분 방정식]]