변분법 문서 원본 보기

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'''변분법'''(變分法, {{llang|en|calculus of variations}})이란 [[미적분학]]의 한 분야로, 일반 [[미적분학]]과는 달리 [[범함수]]를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다.

== 정류값 ==
변분법은 범함수의 극댓값, 극솟값을 연구하는데, 이를 합쳐서 '''정류값'''이라 한다. [[함수]]가 [[변수 (수학)|변수]]에 의존하듯이, 범함수는 [[함수]]에 의존하므로 흔히 함수의 함수로 설명한다. 범함수는 정의역의 원소인 <math>y</math>에 대해 정류값을 갖는다. 범함수 <math>J[y]</math>가 함수 <math>f</math>에서 정류값을 갖는다는 것은 <math>\Delta J = J[y]-J[f]</math>이 <math>f</math>의 미소근방에서 같은 [[부호]]를 갖는다는 것이다. 함수 <math>f</math>은 ‘’정류‘’함수 또는 정류점이라 한다. 정류값 <math>J[f]</math>은 <math>f</math>의 미소근방에서 <math>\Delta J \le 0</math>이면 극댓값이라 하고 <math>\Delta J \ge 0</math>이면 극솟값이라 한다.

== 오일러-라그랑주 방정식 ==
{{본문|오일러-라그랑주 방정식}}
오일러-라그랑주 방정식은 함수 <math>q</math>의 함수인 범함수 <math>S</math>를 최소나 최대로 하는 함수 <math>q\left(t\right)</math>를 찾기 위한 것이다. 여기서 <math>S</math>는

:<math>\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t</math>

이다. 여기서:
* <math>q</math>는 구하고자 하는 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족한다:
*: <math>\begin{align}
q \colon [a, b] \subset \mathbb{R} & \to     X \\
                                 t & \mapsto x = q(t)
\end{align}</math>
:여기서 <math>q</math>는 미분 가능한 함수고, <math>q\left(a\right) = x_a, q\left(b\right) = x_b</math>로 정해져 있다.
* <math>q'</math>는 <math>q</math>를 미분한 함수이다.

=== 오일러-라그랑주 방정식의 증명. ===
함수 <math>f</math> 가, 경계값 조건 <math>f\left(a\right) = c, f\left(b\right) = d</math>를 만족하고, 다음과 같이 주어지는 범함수 <math>J</math>를 최대 또는 최소로 만든다고 하자.

: <math> J[f] = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. \,\!</math>

여기서 <math>F</math>가 연속적인 편미분값을 가진다고 가정한다.

만일 <math>f</math>가 범함수<math>J</math>를 최대, 최소로 한다고 하면, <math>f</math>에 매우 작은 변화를 가했을 때,

<math>J</math>의 값이 늘거나(<math>f</math>가 <math>J</math>를 최소화할때) , <math>J</math>의 값이 줄 수 있다(<math>f</math>가 <math>J</math>를 최대화할때).

여기서 <math>f</math>에 매우 작은 변화를 준 함수 <math>g_\epsilon\left(x\right) = f\left(x\right)+\epsilon\eta\left(x\right)</math>를 도입하자.
여기서 <math>\eta\left(x\right)</math>는 <math>\eta\left(a\right) = \eta\left(b\right) = 0</math>를 만족하는 미분가능한 함수이다.
이제, <math>y</math> 대신 <math>g_\epsilon(x)</math>를 넣은 <math>J</math>는 다음과 같은 함수가 된다.

: <math> J(g_\epsilon(x)) = \int_a^b F(x,g_\epsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. \,\!</math>

이제 <math>J</math>를 <math>\epsilon</math>에 대해 미분한 [[전미분]]을 구하면,

: <math> \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \varepsilon} = \int_a^b \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon}(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. </math>

전미분의 정의에서 다음과 같은 식이 나오며,

: <math>\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon}\frac{\partial g_\varepsilon}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g'_\varepsilon}\frac{\partial g'_\varepsilon}{\partial \varepsilon} = \eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'}. </math>

그러므로

: <math> \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \epsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx. </math>

만약 <math>\epsilon = 0</math>이 되면 <math>g_\epsilon = f</math>이고, <math>f</math> 가 <math>J</math>를 극값으로 만드는 함수이므로, <math>J'(0)=J'(g_\epsilon)_{\epsilon=0} = J'(f)= 0</math> 이고,

: <math> J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \,\right]\,dx = 0.</math>

좀 더 정리하기 위해, 두 번째 항에 [[부분적분]]을 한다. 그러면 다음과 같은 식을 얻는다.

: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b. </math>

<math>\eta(a)=\eta(b)=0</math> 이므로,

: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!</math>

[[변분법의 기본정리]]를 적용하면, 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다. <math> 0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}. </math>

(<math> \because </math>(a,b)에서의 모든 컴팩트이면서 매끄러운 함수 <math>\eta(t)
</math>에 대해 <math> \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0 </math>)

== 오일러-라그랑주 방정식의 응용 ==
=== 두 점을 지나는 가장 짧은 곡선 ===

2차원 좌표평면상에 두 점 <math>\left(a, y_a\right)</math>와 <math>\left(b, y_b\right)</math>가 있다고 하자. 그렇다면 이 두 점을 연결하는 가장 짧은 곡선은 다음과 같은 범함수 <math>L</math>를 최소로 만드는 곡선이다.

: <math> L\left[f\right] = \int_a^b \sqrt{1 + f'\left(x\right)^2}\, dx</math>

여기서 <math>f</math>의 경우 두 점을 지나야 하므로 <math>f\left(a\right) = y_a, f\left(b\right)=y_b</math>를 만족하는 함수이다.

위에서 증명한 오일러-라그랑주 방정식을 적용하게 되면, 함수 <math>f</math>는

: <math> 0 = -\frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial f'}\sqrt{1 + f'\left(x\right)^2} </math>

를 만족하여야 한다. 식을 조금 정리해보면,

: <math> \begin{matrix}
 0 &=& \frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial f'}\sqrt{1 + f'\left(x\right)^2} \\
&=& \frac{d}{dx}\frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 + f'\left(x\right)^2}}
\end{matrix}</math>

[[평균값 정리]]에 의해 미분해서 0이되는 함수는 그 구간에선 상수함수이므로,

:<math>\frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 + f'\left(x\right)^2}} = k</math>

가 되고, 좌변의 분모를 양변에 곱한 후 양변을 제곱하여 정리하면 <math>f'\left(x\right)</math>에 대한 이차방정식이므로 다음과 같은 해를 얻을 수 있다.

:<math>f'\left(x\right) = C</math>

따라서 두 점 사이의 곡선중 길이가 최소인 곡선은 <math>f\left(x\right)=Cx + D</math>를 만족하는 직선이다.

=== 페르마의 원리 ===
[[페르마의 원리]]는 빛이 광로를 극소로 하는 경로를 따라 진행한다고 말한다. ''x''좌표가 경로 <math>y=f(x)</math>의 매개변수일 때 광로는
:<math> A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx, \,</math>
으로 주어진다. 굴절률 <math>n(x,y)</math>는 매질에 따라 달라진다.

<math> f(x) = f_0 (x) + \varepsilon f_1 (x)</math>을 이용하면 ''A''의 일계 변분(''A''의 ε에 대한 일계 도함수)는
:<math> \delta A[f_0,f_1] = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0) f_0'(x) f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y (x,f_0) f_1 \sqrt{1 + f_0'(x)^2} \right] dx.</math>
이다. 첫째항에 대해 부분적분을 하면 오일러-라그랑주 공식을 얻게된다.
:<math> -\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0) f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y (x,f_0) \sqrt{1 + f_0'(x)^2} =0. \,</math>

빛의 경로는 위 식을 적분함으로써 결정된다. 이 유도는 라그랑주 광학, 해밀턴 광학에 이용된다.

==== 스넬의 법칙 ====
빛이 렌즈를 들어가거나 나갈때 굴절률은 불연속이다.

:<math> n(x,y) = n_- \quad \hbox{if} \quad x<0, \,</math>
:<math> n(x,y) = n_+ \quad \hbox{if} \quad x>0,\,</math>

이라 하자. (여기서 <math>n_-</math>, <math>n_+</math>은 상수이다.) 오일러 라그랑주 공식은 ''x''<0 또는 ''x''>0인 구간에서 성립하며 굴절률이 상수이므로 경로는 일직선이 된다. ''x''=0,에서 ''f''가 연속이어야 하지만 ''f' ''는 불연속일 수도 있다. 각 범위에서 오일러-라그랑주 방정식에서 부분적분을 하면 일계 변분은
:<math> \delta A[f_0,f_1] = f_1(0)\left[ n_-\frac{f_0'(0_-)}{\sqrt{1 + f_0'(0_-)^2}} -n_+\frac{f_0'(0_+)}{\sqrt{1 + f_0'(0_+)^2}} \right].\,</math>
이 된다.

<math>n_-</math>에 곱해진 항은 입사각의 sine값이며 <math>n_+</math>에 곱해진 항은 굴절각의 sine이다. 굴절의 [[스넬의 법칙]]은 이 두항이 같아야 한다는 것이다. 즉, 스넬의 법칙은 광로의 일계 변분이 사라지는 것과 동치이다.

=== 작용 원리 ===
{{본문|작용 (물리학)}}
고전역학에서 작용 ''S''는 라그랑지안 ''L''의 시간에 대한 적분으로 정의된다. 라그랑지안은 에너지의 차이이다.
:<math> L = T - U, \,</math>
''T''는 역학계의 [[운동에너지]]이고 ''U''는 [[퍼텐셜 에너지]]이다. [[해밀턴의 원리]] (또는 작용 원리)는 보존계는 작용 적분
:<math> S  = \int_{t=t_0}^{t_1} L(x, \dot x, t) dt \,</math>
이 경로 ''x(t)''에 대해 정류값을 갖도록 운동한다는 것이다.
이런 역학계의 오일러-라그랑주 방정식은 라그랑주 방정식이라 불린다.
:<math> \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = \frac{\partial L}{\partial x}, \,</math>
이는 뉴턴의 운동 방정식과 동치이다.

운동량 ''P''는 다음과 같이 정의된다.
:<math> p = \frac{\partial L}{\partial \dot x}. \,</math>
예로
:<math> T = \frac{1}{2} m \dot x^2, \,</math>
이면
:<math> p = m \dot x. \,</math>
[[해밀턴 역학]]은 <math>\dot x</math>대신 운동량이 도입되고, 라그랑지안 ''L''이 다음과 같이 정의된 해밀토니안 ''H''으로 대채될 때 유도된다.
:<math> H(x, p, t) = p \,\dot x - L(x,\dot x, t).\,</math>
해밀토니안은 계의 역학적 에너지이다 : ''H'' = ''T'' + ''U''.

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
* [https://web.archive.org/web/20070911211556/http://www.mpri.lsu.edu/textbook/Chapter8-b.htm Chapter 8: Calculus of Variations], from [https://web.archive.org/web/20070705141725/http://www.mpri.lsu.edu/bookindex.html ''Optimization for Engineering Systems''], by Ralph W. Pike, [[Louisiana State University]].

== 같이 보기 ==
* [[오일러-라그랑주 방정식]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:변분법| ]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:수학적 최적화]]