벡터 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''벡터 함수'''(Vector function)는 점 <math>P</math>에서 다음과 같은 형태로 주어지는 함수를 말한다.
:<math>v=v\left( P \right)=\left[ v_{1}\left( P \right),v_{2}\left( P \right),v_{3}\left( P \right) \right]</math>

여기서 점 P는 [[정의역]] 내의 한 점으로, 실제 문제에 있어서 정의역은 3차원 공간, [[곡면]], 곡선 등으로 나타난다. 이 경우 벡터함수를 주어진 정의역(또는 곡면 또는 곡선)에서의 [[벡터장]](vector field)이라 부른다.

데카르트 좌표 <math>x, y, z</math>를 이용하여 <math>v\left( P \right)</math>를 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>v\left( x,y,z \right)=\left[ v_{1}\left( x,y,z \right),v_{2}\left( x,y,z \right),v_{3}\left( x,y,z \right) \right]</math>

벡터장의 각 성분의 표현은 좌표계의 선택에 의하여 달라질 수 있지만, 이에 대한 기하학적 또는 물리적인 의미는 주어진 점 <math>P</math>에만 의존하며, 선택한 데카르트 좌표와는 무관하다.

== 벡터함수의 도함수 ==
다음 극한이 존재할 때, 벡터함수 <math>v\left( t \right)</math>를 점 t에서 미분가능하다고 한다.
:<math>v'\left( t \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{v\left( t+\Delta t \right)-v\left( t \right)}{\Delta t}</math>
이 벡터함수 <math>v'\left( t \right)</math>를 <math>v\left( t \right)</math>의 도함수라고 한다.

데카르트 좌표계를 사용하여 각 성분을 살펴보면 다음과 같다.
:<math>v'\left( t \right)=\left[ v_{1}'\left( t \right),v_{2}'\left( t \right),v_{3}'\left( t \right) \right]</math>

따라서 도함수 <math>v'\left( t \right)</math>는 각 성분을 따로따로 미분함으로써 구해진다.

== 벡터함수의 편도함수 ==
2변수 또는 3변수를 갖는 벡터함수의 편도함수를 살펴보자. 벡터함수
:<math>v=\left[ v_{1},\,v_{2},\,v_{3} \right]=v_{1}i+v_{2}j+v_{3}k</math>
의 각 성분함수가 n개의 변수 <math>t_{0},\cdots ,t_{n}</math>에 대한 미분가능한 함수라고 가정하자. 이때, 변수 <math>t_{m}</math>에 관한 v의 [[편미분|편도함수]](partial derivative) <math>\partial v/\partial t_{m}</math>는 다음과 같은 벡터함수로 정의된다.
:<math>\frac{\partial v}{\partial t_{m}}=\frac{\partial v_{1}}{\partial t_{m}}i+\frac{\partial v_{2}}{\partial t_{m}}j+\frac{\partial v_{3}}{\partial t_{m}}k</math>

== 참고 도서 ==
* {{서적 인용
  | 성 = Kreyszig
  | 이름 = Erwin
  | 제목 = Advanced Engineering Mathematics 8th ed.
  | url = https://archive.org/details/advancedengineer0008krey
  | 출판사 = John Wiley & Sons, INC.
  | 연도 = 1999
  |ISBN=0-471-15496-2 }}
== 같이 보기 ==
* [[곡선]]
* [[다가 함수]]

{{전거 통제}}

[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:함수의 종류]]