벡터 퍼텐셜 문서 원본 보기

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'''벡터 퍼텐셜'''({{lang|en|vector potential}})은 자기장에 대하여 정의되는 위치 함수이다. 이를 공간에 대하여 [[회전 (벡터)|회전 미분]]하면 자기장이 얻어진다. 즉, 그 [[회전 (벡터)|회전]]이 [[자기장]]인 [[벡터장]]이다. [[전기장]]의 퍼텐셜인 [[전위]]에 대응되는 값으로, 벡터 퍼텐셜과 전위는 [[상대성 이론]]에서 [[전자기 퍼텐셜]] [[사차원 벡터]]를 이룬다. 기호는 라틴 대문자 [[A]]. [[국제단위계|국제 단위]]는 [[테슬라 (단위)|테슬라]] [[미터]] (T · m) 또는 [[웨버 (단위)|웨버]] 매 [[미터]] (Wb/m)이다.

== 정의 ==
[[가우스 자기 법칙]]에 따르면 [[자기장]] <math>\mathbf{B}</math>의 [[발산 (벡터)|발산]]은 항상 0이 된다. 즉,
:<math>\nabla\cdot\mathbf B=0</math>.
그 발산이 0인 [[벡터장]]은 (약간의 수학적 조건을 만족하면) 항상 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
:<math>\mathbf B=\nabla\times\mathbf A</math>.
여기서 <math>\nabla\times</math>는 [[회전 (벡터)|회전]] 연산자이고, <math>\mathbf A</math>는 '''벡터 퍼텐셜'''이다. (다만, 이 조건을 만족하는 벡터장 <math>\mathbf A</math>는 유일하지 않다.)

== 전기장과 자기장의 표현 ==
자기장<math>\mathbf{B}</math>의 시간에 따른 변화량이 없을 때 전기장 <math>\mathbf{E}</math>는 스칼라 퍼텐셜의 기울기만으로 나타낼 수 있다. 그 이유는 자기장의 시간에 따른 변화가 없을 경우 [[패러데이 법칙]]에 의하여 전기장의 회전이 0이 되기 때문이다. 하지만 자기장이 시간에 따라 변화하는 경우, 전기장을 퍼텐셜로 표현할 때 스칼라 퍼텐셜로만은 표현할 수 없고 벡터 퍼텐셜에 의한 효과가 추가된다.

i) <math>\nabla \times \mathbf{E} = 0 \Rightarrow \mathbf{E} = - \nabla V</math>

ii) <math>\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \Rightarrow \mathbf{E} = - \nabla V- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>

== 게이지 변환 ==
위 두 방정식을 만족하는 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않으며 전기장과 자기장을 변화시키기 않는 범위 내에서 변화시킬 수 있다. 단, 주의해야 할 것은 전기장과 자기장을 변화시키지 않는 범위 내에서 벡터 퍼텐셜을 변화시키려면 스칼라 퍼텐셜 V까지 같이 변화시켜야 한다는 것이다. 전기장과 자기장을 변화시키지 않으면서 두 퍼텐셜을 변화시키는 과정을 [[게이지 변환]](gauge transformation)이라고 부른다.
:<math>\mathbf{A'} = \mathbf{A} + \nabla \lambda</math>
:<math>V' = V - \frac{\partial \lambda}{\partial t}</math>

위 두 식의 <math>\lambda</math>는 임의의 스칼라 함수이며 [[게이지 이론|게이지 함수]]라고 부른다. 이 게이지를 바꾸어가며 두 퍼텐셜을 바꿀 수 있다. 흔히 쓰이는 게이지로는 [[쿨롱 게이지]]({{lang|en|Coulomb gauge}})와 [[로렌츠 게이지]] 등이 있다.

=== 쿨롱 게이지 ===
쿨롱 게이지에서는 벡터 퍼텐셜의 발산이 0인 조건을 추가하여 벡터 퍼텐셜을 정한다. 스칼라 퍼텐셜이 [[푸아송 방정식]]을 만족하기 때문에 [[정전기학]]에서 주로 쓰이는 게이지이다.
:<math>\nabla \cdot \mathbf{A} = 0</math>

:<math>\nabla ^2 V = - \frac{\rho}{\epsilon}</math>

=== 로렌츠 게이지 ===
[[로렌츠 게이지]]에서는 벡터 퍼텐셜의 발산이 다음과 같은 관계를 만족하도록 한다. 전기장과 자기장이 시간에 따라 변화하는 일반적인 상황에서 주로 쓰이는 게이지이다.
:<math>\nabla \cdot \mathbf{A} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t}</math>

로렌츠 게이지 아래에서 맥스웰 방정식을 정리하면 두 퍼텐셜이 다음과 같은 두 방정식을 만족함을 알 수 있다.
:<math>\nabla ^2 \mathbf{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J}</math>
:<math>\nabla ^2 V - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 V}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\epsilon_o}</math>

스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜에 관련된 위 두 방정식의 해는 다음과 같다.
:<math>V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r'},t_r)}{|\mathbf{r-r'}|} d\tau' </math>
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)}{|\mathbf{r-r'}|} d\tau' </math>
:<math>t_r = t -\frac{|\mathbf{r-r'}|}{c}</math>

<math>t_r</math>는 전기장과 자기장을 만드는 근원 역할을 하는 전하와 전류로부터 거리를 고려한 시간으로서 [[지연 시간]]({{lang|en|retarded time}})이라고 부른다. 지연 시간으로 계산된 퍼텐셜을 [[지연 퍼텐셜]]이라고 부른다.

== 같이 보기 ==
* [[전위|전기 퍼텐셜 (전위)]]
* [[아로노프-봄 효과]]
* [[스토크스의 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:퍼텐셜]]
[[분류:벡터 미적분학]]