벡터 미적분학 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[파일:Derivada vectorial.PNG|thumb]]
'''벡터 미적분학'''(-微積分學, {{Llang|en|vector calculus}}) 또는 '''벡터 해석학'''(-解析學, {{Llang|en|vector analysis}})은 주로 3차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb{R}^3</math>에서 [[벡터장]]의 [[미분]]과 [[적분]]을 다루는 분야이다. '벡터 미적분학'이라는 용어는 벡터 미적분학뿐만 아니라 [[편미분]]과 [[중적분]]을 포함하는 [[다변수 미적분학]]을 가리키기 위해 사용하기도 한다. 벡터 미적분학은 [[미분기하학|미분 기하학]]과 [[편미분방정식]]에 중요한 개념들을 포함하며, [[전자기장]]과 [[중력장]], [[유체동역학]] 등 [[공학]]과 [[물리]] 분야에서 유용하게 사용된다.

벡터 미적분학은 19세기 말 [[조사이어 윌러드 기브스]]와 [[올리버 헤비사이드]]에 의해 [[사원수]]로부터 발전하였으며, 대부분의 표기와 용어는 1901년 기브스와 에드윈 비드웰 윌슨의 책 《벡터 해석학''<sub>Vector Analysis</sub>''》에서 확립되었다. [[외적]]을 사용하는 기존 형식에서, [[외대수]]를 사용하는 [[기하적 대수학]]은 더 높은 차원으로 확장할 수 있는 반면 벡터 미적분학은 확장하지 못한다.

== 기본 개념 ==

=== 스칼라장 ===
{{본문|스칼라장}}스칼라장은 [[공간]]의 각 점에 [[스칼라 (수학)|스칼라]]를 대응시킨 것으로, 스칼라는 [[스칼라 (물리)|물리량]]을 나타내는 수이다. 스칼라장의 예시로는 공간 내의 [[온도]] 분포, 유체의 [[압력]]분포 등이 있다.

=== 벡터장 ===
{{본문|벡터장}}벡터장은 [[공간]]의 각 점에 [[벡터 공간|벡터]]를 대응시킨 것이다.<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=tdF8uTn2cnMC&pg=PA12|title=Vector Analysis Versus Vector Calculus|authors=Galbis, Antonio & Maestre, Manuel|year=2012|publisher=Springer|page=12|isbn=978-1-4614-2199-3}}</ref> 벡터장 중 하나인 평면 벡터장은 평면 위의 각 점에서 특정 크기와 방향을 가진 화살표들을 그려 나타낸다. 벡터장은 공간 내에서 [[유체]]의 속도와 방향이나 [[자기|자기력]] 및 [[중력]]과 같은 힘의 세기와 방향 등을 나타낼 때 자주 사용하며, 선을 따라 이동할 때의 일을 계산하는 등에 응용된다.

== 벡터 대수학 ==
벡터 미적분학의 대수적 연산을 벡터 대수학이라 하며, 벡터 공간에서 정의되어 벡터장에 적용된다. 아래는 기초 대수적 연산들이다.<ref>{{웹 인용|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|date=2020-03-25|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2021-01-30}}</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+
벡터 미적분학의 표기
!연산
!표기
!설명
|-
|벡터 덧셈
|<math>\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2</math>
|두 벡터를 더하여 새로운 벡터를 얻는다.
|-
|[[스칼라 곱셈]]
|<math>a \mathbf{v}</math>
|스칼라와 벡터를 곱하여 벡터를 얻는다.
|-
|[[스칼라곱]]
|<math>\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2</math>
|두 벡터를 곱하여 스칼라를 얻는다.
|-
|[[벡터곱]]
|<math>\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2</math>
|<math>\mathbb{R}^3</math> 내의 두 벡터를 곱하여 (유사)벡터를 얻는다.
|}
아래는 벡터의 [[삼중곱]]이다.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+
삼중곱
!연산
!표기
!설명
|-
|[[삼중곱#스칼라 삼중곱|스칼라 삼중곱]]
|<math>\mathbf{v}_1 \cdot (\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3)</math>
|두 벡터의 벡터곱과 나머지 벡터를 스칼라곱한다.
|-
|[[삼중곱#벡터 삼중곱|벡터 삼중곱]]
|<math>\mathbf{v}_1 \times (\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3)</math>
|두 벡터의 벡터곱과 나머지 벡터를 벡터곱한다.
|}

== 연산자 및 정리 ==

=== 미분 연산자 ===
{{본문|기울기 (벡터)|발산 (벡터)|회전 (벡터)|라플라시안}}벡터 미적분학은 스칼라장이나 벡터장에서 정의된, 주로 [[델 (연산자)|델]] 연산자(<math>\nabla</math>)로 나타나는 다양한 [[미분 연산자]]들을 다룬다. 아래는 세 기본 벡터 연산자들이다.<ref>{{웹 인용|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/calculus-analysis-symbols/|title=List of Calculus and Analysis Symbols|date=2020-05-11|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2021-01-31}}</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+
미분 연산자
!연산
!표기
!설명
!정의역/치역
|-
|[[기울기 (벡터)|기울기]]
|<math>\operatorname{grad}(f)=\nabla f</math>
|스칼라장에서 증가율과 방향
|스칼라장에서 벡터장으로 사상
|-
|[[발산 (벡터)|발산]]
|<math>\operatorname{div}(\mathbf{F})=\nabla\cdot\mathbf{F}</math>
|벡터장 내의 주어진 점에서 밖으로 향하는 선속의 밀도
|벡터장에서 스칼라장으로 사상
|-
|[[회전 (벡터)|회전]]
|<math>\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla\times\mathbf{F}</math>
|<math>\mathbb{R}^3</math> 벡터장 내의 점에서 회전하는 정도
|벡터장에서 (유사)벡터장으로 사상
|-
! colspan="4" scope="row" |{{mvar|f}} 는 스칼라장, {{mvar|F}}는 벡터장
|}
아래는 라플라스 연산자이다.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+
라플라스 연산자
!연산
!표기
!설명
!정의역/치역
|-
|[[라플라스 연산자|라플라시안]]
|<math>\Delta f=\nabla^2 f=\nabla\cdot \nabla f</math>
|스칼라장 내 점의 함수값과 근방 점들의 평균 함수값의 차이
|스칼라장에서 스칼라장으로 사상
|-
|벡터 라플라시안
|<math>\nabla^2\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})</math>
|벡터장 내 점의 함수값과 근방 점들의 평균 함수값의 차이
|벡터장에서 벡터장으로 사상
|-
! colspan="4" scope="row" |{{mvar|f}} 는 스칼라장, {{mvar|F}}는 벡터장
|}
정의역과 치역이 [[다변수 함수|다변수]]인 함수에는 [[야코비 행렬]]이 유용하게 사용된다.

=== 적분 정리 ===
세 기본 벡터 연산자는 각각 [[미적분학의 기본정리|미적분학의 기본 정리]]를 더 높은 차원으로 일반화하는 아래의 정리들에 대응한다.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+
벡터 미적분학의 적분 정리
!정리
!식
!설명
|-
|[[선적분의 기본정리|기울기 정리(선적분의 기본정리)]]
|<math>\ L = L[p\to q]  </math>일 때 <math> \int_{L \subset \mathbb R^n}\!\!\! \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} \ =\ \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)\ </math>
|[[보존벡터장]]에서 [[곡선]] L의 선적분은 곡선의 양 끝점 p와 q의 변화량과 같다.
|-
|[[발산 정리]]
|<math> \underbrace{ \int \!\cdots\! \int_{V \subset \mathbb R^n} }_n (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV
\  = \ \underbrace{ \oint \!\cdots\! \oint_{\partial V} }_{n-1} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} </math>
|벡터장에서 n차원 물체 ''V''의 발산함수의 적분값은 ''V''의 n-1차원 폐곡면을 통과하는 선속과 같다.
|-
|[[스토크스의 정리#켈빈-스토크스 정리|회전 정리(켈빈-스토크스 정리)]]
|<math> \iint_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{\Sigma} \ =\ \oint_{\!\!\!\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} </math>
|<math>\mathbb{R}^3</math> 내의 [[곡면]] Σ에서 벡터장의 회전의 적분값은 곡면을 둘러싼 폐곡선의 [[선적분]]과 같다.
|-
! colspan="3" scope="row" |<math>\varphi</math>는 스칼라장, {{mvar|F}}는 벡터장
|}
2차원에서의 발산 정리와 회전 정리는 그린 정리가 된다.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+
그린 정리
!연산
!식
!설명
|-
|[[그린 정리]]
|<math> \iint_{A\,\subset\mathbb R^2} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) dA \ =\ \oint_{\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right ) </math>
|<math>\mathbb R^2</math> 내의 영역 ''A''에서 벡터장의 발산(또는 회전)의 적분은 영역을 감싸는 폐곡선의 [[선속]](또는 선적분)과 같다.
|-
! colspan="3" scope="row" |발산일 때 {{math|1=''F'' = (''M'', −''L'')}}, 회전일 때 {{math|1=''F'' = (''L'', ''M'', 0)}}. {{mvar|L}}과 {{mvar|M}}은 {{math|(''x'', ''y'')}}에 대한 함수.
|}
== 응용 ==

=== 선형 근사 ===
{{본문|선형 근사}}선형 근사는 복잡한 함수를 그와 거의 비슷한 선형 함수로 근사하기 위해 사용한다. 실함수 {{math|''f''(''x'', ''y'')}}가 주어졌을 때 {{math|(''a'', ''b'')}} 주변의 {{math|(''x'', ''y'')}}에 대한 함수 {{math|''f''(''x'', ''y'')}}는 아래와 같이 근사된다.

<math>f(x,y)\ \approx\ f(a,b)+\tfrac{\partial f}{\partial x} (a,b)\,(x-a)+\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).</math>

식의 우변은 함수 {{math|1=''z'' = ''f''(''x'', ''y'')}}의 {{nowrap|{{math|(''a'', ''b'')}}}}에서의 접평면의 방정식이다.

=== 공학 및 물리 ===
벡터 미적분학은 다음 분야들에서 사용된다.

* [[질량 중심|질량중심]]
* [[장 (물리학)#장이론|장이론]]
* [[운동학]]
* [[맥스웰 방정식]]

== 같이 보기 ==
* [[기울기 (벡터)]]
* [[발산 (벡터)]]
* [[회전 (벡터)]]
* [[델 (연산자)]]
* [[라플라스 연산자]]
* [[벡터장]]
* [[그린 정리]]
* [[스토크스의 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
{{참고 자료 시작}}
* Sandro Caparrini (2002) "[https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs004070200001?LI=true The discovery of the vector representation of moments and angular velocity]", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
* {{서적 인용|title=A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System|last=Crowe|first=Michael J.|year=1967|edition=reprint|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-67910-5|title-link=A History of Vector Analysis}}
* {{서적 인용|title=Vector Calculus|url=https://archive.org/details/vectorcalculus0000mars_e1l4|last=Marsden|first=J. E.|year=1976|publisher=W. H. Freeman & Company|isbn=978-0-7167-0462-1}}
* {{서적 인용|title=Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus|last=Schey|first=H. M.|year=2005|publisher=W. W. Norton & Company|isbn=978-0-393-92516-6}}
* Chen-To Tai (1995). ''[http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7868 A historical study of vector analysis]''. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
{{참고 자료 끝}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{springer|id=p/v096360|title=Vector analysis}}
* {{springer|id=p/v096350|title=Vector algebra}}
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/vector%20analysis.htm Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis]

{{전거 통제}}

[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:수리물리학]]