벡터장 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Vectorfield jaredwf.png|right|섬네일|333px|(−''y'', ''x'')으로 주어진 벡터장]]
[[수학]]의 [[벡터 미적분학]] 등에서 '''벡터장'''(vector field)은 (국소) [[유클리드 공간]]의 각 점에 [[벡터 공간|벡터]]를 대응시킨 것이다. 이는 [[물리학]]에서 [[유체]]의 흐름이나 [[중력장]] 등의 각 점에서의 크기와 방향을 나타내기 위해 사용된다.

보다 수학적으로 엄밀하게 말하면, (접)벡터장은 다양체 위의 [[접다발]]의 [[단면 (올다발)|단면]]으로 정의된다. 이는 [[텐서장]]의 특수한 경우이다.

== 정의 ==
유클리드 공간 <math>\mathbb{R}^n</math>에서 '''벡터장'''은 <math>\mathbf{F}:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n</math>으로 정의되는 [[사상 (수학)|사상]]으로써 [[정의역]] <math>A</math>의 모든 원소 <math>\mathbf{x}</math>에 [[벡터]] <math>\mathbf{F}\left(\mathbf{x}\right)</math>를 대응시킨다. 만약 <math>n=3</math>이라면 벡터장 <math>\mathbf{F}\left( x,y,z\right) =\left( F_1\left( x,y,z\right) ,F_2\left( x,y,z\right) ,F_3\left( x,y,z\right)\right)</math>으로 나타낼 수 있으며 이 때 <math>F_1,~F_2,~F_3</math>는 성분 [[스칼라장]]이라고 한다. <math>n\ne 3</math>일 때도 비슷한 방식으로  <math>n</math>개의 성분 [[스칼라장]]을 가지게 된다. 만약 모든 성분 [[스칼라장]]이 <math>C^k</math> 함수라면 벡터장 <math>\mathbf{F}</math>는 <math>C^k</math>계급에 속한다.

== 기울기벡터장 ==
{{참고|기울기 (벡터)}}
어떤 함수 <math>f:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>가 있을 때 그 함수의 [[기울기 (벡터)|그래디언트]]는 다음과 같이 정의 된다.
:<math>\nabla f\left( x,y,z\right) =\frac{\partial f}{\partial x}\left( x,y,z\right)\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y,z\right)\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\left( x,y,z\right)\mathbf{k}</math>
자세히 살펴보면 <math>\nabla f</math>는 <math>A</math>의 모든 원소 <math>\mathbf{x}</math>에 어떤 [[벡터]]를 대응시키는 벡터장이다. 이를 특별히 '''기울기벡터장'''이라고 한다.

== 예 ==
* 지구의 각 지점에서의 공기의 움직임의 벡터장은 각 지점에서의 바람의 방향과 크기 벡터가 주어지는 벡터장이 된다. 이 벡터장은 각 지점 화살표를 그려서 표시할 수 있으며, 화살표의 방향과 크기가 바람의 방향과 크기가 된다. 기상도에서 [[고기압]]으로 표시되는 지점에서 화살표가 바깥쪽으로 나가는 것처럼 그려질 것이며, [[저기압]]으로 표시된 지점에서는 화살표가 그 지점을 향해 들어오는 형태로 그려질 것이다.
* [[유체]]의 [[속도]]장. 유체의 각 지점에 유체의 속도벡터를 대응시킨 것이다.
<!---
* [[Streamlines, Streaklines and Pathlines]] are 3 types of lines that can be made from vector fields. They are :
::streaklines  — as revealed in [[wind tunnel]]s using smoke.
::streamlines (or fieldlines)— as a line depicting the instantaneous field at a given time.
::pathlines — showing the path that a given particle (of zero mass) would follow.
--->
* [[자기장]]. 대략적인 자기장의 모습은 자석 주위에 철가루를 뿌려 확인할 수 있다.
* [[맥스웰 방정식]]을 사용하면, 초기조건이 주어졌을 때 유클리드 공간의 모든 점에서 단위 [[전하]]가 느끼는 힘의 크기와 방향을 구할 수 있으며, 이 힘의 벡터로 정의된 것이 [[전기장]]이다.
* 질량이 있는 물체가 만드는 [[중력장]]도 벡터장이다. 구대칭을 갖고 있는 물체가 만드는 중력장은 구의 중심을 향하며, 크기가 중심에서부터의 거리의 제곱에 반비례하는 벡터장을 이룬다. 이 때 이 벡터장은 [[중력]]에 의한 [[위치 에너지]]함수의 기울기벡터장이다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[스칼라장]]
* [[장선]]
* [[벡터 미적분학]]
* [[리 미분]]
* [[곡선의 미분기하학]]

== 참고 문헌 ==
{{서적 인용|isbn=0-7167-4992-0|제목=Vector Calculus(Fifth Edition)|저자=Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company|연도=2003}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분위상수학]]
[[분류:벡터 미적분학]]